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电磁学（赵凯华）答案第2章 稳恒磁场 1. 一边长为2a的载流正方形线圈，通有电流I试求：(1)轴线上距正方形中心为r0处的磁感应强度；(2) 当a=1.0cm , I=5.0A , r0=0 或10cm时，B等于多少特斯拉？ 解 〔1〕沿轴向取坐标轴OX，如下图利用一段载流直导线产生磁场的结果，正方形载流线圈每边在点P产生的磁感应强度的大小均中:为: ,式 由分析可知，4条边在点P的磁感应强度矢量的方向并不一样，其中AB边在P点的 B1方向如下图由对称性可知，点P上午B应沿X轴，其大小等于B1在X轴投影 的4倍设B1与X轴夹角为α那么: 把r0=10cm , a=1.0cm ,I=5.0A 带入上式，得B=3.9×10-7(T)把r0=0cm , a=1.0cm ,I=5.0A 带入上式，得B=2.8×10-7(T)可见，正方形载流线圈中心的B要比轴线上的一点大的多2. 将一根导线折成正n边形，其外接圆半径为a，设导线栽有电流为I，如下图试求：(1)外接圆中心处磁感应强度B0；(2) 当n→∞时，上述结果如何？ 解: 〔1〕设正n边形线圈的边长为b，应用有限长载流直导线产生磁场的公式，可知各边在圆心处的感应强度大小相等，方向相同，即： 所以，n边形线圈在O点产生的磁感应强度为：因为2θ=2π/n,θ=π/n，故有：于纸面对外。

由右手法那么，B0方向垂直 〔2〕当n→∞时，θ变的很小，tanθ≈θ，所以：代入上述结果中，得： 此结果相当于一半径为a，载流为I的圆线圈在中心O点产生磁感应强度的结果，这一点在n→∞时，是不难想象的3. 如下图，载流等边三角形线圈ACD，边长为2a，通有电流I试求轴线上距中心为r0处的磁感应强度 解:由图可知，要求场点P的合场强B，先分别求出等边三角形载流线圈三条边P点产生的磁感应强度Bi ，再将三者进展矢量叠加由有限长载流导线的磁场公式可知，AC边在P点产生的磁感应强度 BAC的大小为： 由于⊿ACP为等腰三角形，且PC垂直AC，即： 代入上述结果中，得：由右手螺旋定那么可知，BAC的方向垂直于ACP平面对外，如下图由对称性可知，AC，CD，DA三段载流导线在P点产生的磁感应强度BAC、 BCD、BDA在空间方位上对称，且它们在垂直于Z轴方向上的重量相互抵消，而平行于Z轴方向上的分量相等，所以： 依据等边三角形性质，O点是⊿ACP的中心，故: ，并由⊿EOP可知sinα=,所以P点的磁感应强度BP的大小为： 磁感应强度BP的方向沿Z轴方向 4. 一宽度为b的半无限长金属板置与真空中，匀称通有电流I0。

P点为薄板边线延长线上一点，与薄板边缘距离为d试求P点的磁感应强度B 解: 建立坐标轴OX，如下图，P点为X轴上一点整个金属板可视为无限多条无限长的载流导组成，取其随意一条载流线，其宽度为dx，上载有电流dI=I0dx/b，它在P点产生的场强为： dB的方向垂直纸面对里由于每一条无限长直载流线P点激发上的磁感应强度dB具有一样的方向，所以整个载流金属板在P点产生的磁感应强度为各载流线在该点产生的dB的代数和，即： BP方向垂直纸面对里5. 两根导线沿半径方向引到金属环上的A、C两点，电流方向如下图试求环中心O处的磁感应强度 解: 由毕-萨定律可知，两载流直线的延长线都通过圆心O，因此她们在O点产生的磁感应强度为零图中电流为I1的大圆弧在O点产生的B2的方向垂直纸面对里应用载流圆线圈在中心处产生磁场的结果B=μ0I/2r，可知B1、B2的大小为:那么O点的磁感应 强 度的大小为:设大圆弧和小圆弧的电阻为R1、R2，那么: 有:B0=0 , 因大圆弧和小圆弧并联，故I1R1 = I2R2，即:,代入表达式得 6. 如下图，一条无限长导线载有电流I，该导线弯成抛物线形态，焦点到顶点的距离为a，试求焦点的磁感应强度B。

解: 此题采纳极坐标用毕-萨定律得电流元Idl在焦点P处产生的磁感应强度为: , 由于Idl与r的夹角为θ，由图可知，Idlsinθ=Irdψ, 所以dB的大小为:方向由右手螺旋定那么可知， , 垂直纸面对外由于全部电流元Idl在P点产生的磁感应强度方向一样，所以P点 的总产生的磁感应强度为:程为: ,因抛物线的极坐标方 , 因此:7. 如下图，两块无限大平行载流导体薄板M、N，每单位宽度上所载电流为j，方向如下图，试求两板间Q点处及板外P点处的磁感应强度B 解: 无限长载流直导线产生磁感应强度的公式B=μ0Ir0/2πr可知，M板Q点激发的磁感应强度BM的大小为：dBy = dBsinα由对称性可知：点到M, dBx = -dBcosα，, 设Qa，那么：板的垂直距离为 由几何关系可知：a/r=cosα,x=tanα,dx=ada/cos2α，代入上式： BM的方向沿X轴方向，因此，Q点的磁感应强度BM+BN=0，采纳同样的方法得，M板在P点产生磁感应强度为：N板在P点产生磁感应强度为：,说明在P点两块板产生磁感应强度一样，所以P点的B为B = BM+BN= -μ0ji，B的方向沿X轴负向。

8. 如下图，通有电流强度为I的细导线，平行的、严密的单层缠绕在半个木球上，共有N匝，设木球的半径为R，试求球心O点处的磁感应强度 解: 由图可知，绕有载流导线的木球可看成是有无限多个不同半径的同心载流圆线圈组成，球心O在载流圆线圈的轴线上，那么球心O点的磁感应强度B0是各个载流圆线圈在该点激发的磁感应强度的矢量和如图坐标系OXY，在X轴线上距原点Ox处任取一弧宽为dl的圆环，半径为y，圆环上绕有dN匝导线，即：通过该圆环上的电流dI=IdN=2INdθ/ π,由载流线圈在轴线上随意一点产生的磁感应强度公式，可知dI在O点激发的磁感应强度dB大小为： dB的方向沿X轴正向由几何关系：x=Rsinθ,y=Rcosθ,带入上式得： 由于全部载流线圈在O点激发的B方向一样，故O点总的磁感应强度可由矢量积分简化为标量积分，即： B0的方向沿X轴正向9.匀称带电的球面围着它的某始终径作匀速旋转试求在该球面上各点的磁感应强度B. 解: 如下图，匀称带电的球面绕沿X轴的直径以角速度ω旋转球面上随意面元所带电荷因旋转而形成电流将球面分成很多环状球带，每一球带因旋转而形成的电流在X轴上随意一点P处都将产生磁感应强度dB。

设球面半径为R，面电荷密度为σ，绕沿X轴的直径以角速度为ω旋转，球心在原点O取从φ到〔φ+dφ〕的环状球带，其面积为dS=2πrdl=2πrRdφ，所带电量为dQ=σdS=2πRrσdφ，由于旋转，该球带上电荷形成沿环状带流淌的电流，电流强度为dI=dQ/T ,T为旋转周期，故： dI=ωdQ/2π=ω2πRrσdφ/2π=Rσωr dφ设该环状球带的中心位于x处，那么：x=Rcosφdx= -Rsinφdφ = -rdφ因此，dI可表为dI = -Rσωdx，该环状球带dI在直径上随意一点P点产生的dB为： , 式中i是X轴方向的单位矢量，式中的r为 r2 = R2 △x2， 本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第10页 共10页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页。