2003年南京大学数学分析解答.doc

一、下列极限1)设，求；0a nlimnna11max{1,}1,01lim1,1n nn nnnnaaaaAbelnna aaa a不等式2)设，求；), 3 , 2 , 1( ,2,211Lnxxxnnnlimnx11222nnnnnxxxxx归纳法证明然后：数列单调递增，且有界所以存在极限不难得到极限为3) 注意这一条非常有用 nlim.112xx ex 11(1)2xexx222211111111(1)(1) [ln(1)]()112limlimlim11121(1)111lim()lim(1( ))2xxxxxxxxxxeoexxxxxxxxexxxxoexxe   原式二、过 p(1,0)点作抛物线的切线，求：2yx1） 切线方程； 2） 由抛物线、切线及 x 轴所围成的平面图形面积； 3） 该平面图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转一周的体积 解：1）000 00000 011'|2()2222112(1)3(1)222x xyyxxxxxxxxyxx2）311222003 52 26223totalcurvetotaltotalcurvecurveSSSS SSS Sxdxxdxx dx 323122222202(2)2 122(122)22(2)(12 )5xtotalcurvetotaltotalcurve curveyVVVV VVVVxdxVxxdxttdt三、对任一求在（0,1）中最大值，并证明该最大值对任一, 00y)1 ()(0 0xxyxy均小于任一。

00y1e解：本题比较基本00000000112 0000000210 000000 01 00100101000'( )(1)((1) )11''()(1)((1) )(1)1(1)01( )(1)1110()(1)111(1)yyyyyyxyyxy xxy xy xyyxyxyyyyxyyxyyxyyyxyxyxy yy y 取到极值可见在取到最大值, 不难证明递减1 e四、设 f(x)在上有连续导数，且，试证：), 0[ 0)0(, 0)(fkxff(x)在内仅有一个零点), 0( 证明：本题其实可以加强的，不需要 f（0）<0，只要在负无穷开始连续可导就可以了 )0 ( )(0)'( )( )(0)x( )0fxk f xffkf xfkxx f x至多有一个零点当足够大的时候，显然可以得到五、计算下列积分1） 设，求102)0(1)1ln()(dxxxaI);1 ()(II和解：本题求不出 I（a） ，但是可以找到 I’(a)和 I(1)的关系111222200011222001ln4-4ln(1)'( )[](1)(1)111441ln2(1)ln(1)[]11142 (1)ln2(1)ln248xdxxdxI adxxxxxIddaII   2），其中 S 为上半球面 SzyxzdxdyydzdxxdydzI23 222)(的外侧。

)0(2222zazyx解： 找到对称的面是本题的重要之处因为，若找到的是2222xyzaz=0 的平面，只会给题目带来更多的麻烦另外，似乎可以作代换直接做33 222222'2233 222'2S':()() 13222()SSS SVxdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdyxyzxyz xdydzydzdxzdxdydxdydzIaxyz   为下半球面的外侧六、设在上（R）可积.01,10,)1 ()(xexxxnxnn当当)(xf] 1 , 1[1） 求，并讨论在上的一致收敛性； nlim)(xn)}({xn] 1 , 1[2） 求（要说明理由） nlim11)()(dxxxfn解：1）不难得到在 0 点不是一致的，和 xn相似1) ,010,0( )lim( )1,0,10ln(1) 01,[ ,1],,ln(1)|( )( )| (1) [1 (1)](1)(1)ln(2) 01,[ 1,],,|( )( )|nnnnxnnm nnN mnn mnxxxxxxexxNmnNxxxxxxNmnNxxe       当当当当()(1)11(3) 0,[ 2 ,0)(0,2 ],,2 1|()()| 10.[ ,1][ 1,]xm n xNnnnneexxmnNnxxe     UU所以在内闭一致收敛2）像这种题目，只要内闭一致收敛就可以了，不必要一定要完全一致的。

1[ 1,1]1111 00011 00( )( ),max{|( )|}lim( )( )lim( )( )lim( )( )lim( )( )lim( )( )lim( )( )xxnnnnnnnnnnnnF xf t dt MF xf xx dxf xx dxf xx dxf xx dxMf xx dxf x dxMM     1111 000lim( )( )lim( )( )lim( )( )02lim( )( )2nnnnnnnnf xx dxf x dxMf xx dxMf xx dxM            七、设的收敛半径，令，试证明在0)(nn nxaxfR nkk knxaxf0)())((xffn[a,b] 上一致收敛于，其中[a,b]为任一有穷闭区间.)(xff解：反正我觉得，证明他一致收敛，一致连续。

然后，综合起来就可以了，这道题目 写的可能有一点乱01000( )( )( )( ),lim0Cauchy'( )'( )( ),[ , ],lim( )()lnnnnnnn n nxxfxfxf xaf xRafxfxf xa xx xa bf xf x  首先，在任意闭区间内一致连续接着证明，在任意闭区间内一致收敛于由于,的收敛区间利用收敛准则，和等比数列求和不难得到命题成立另外，同样可以证明，在任意闭区间内一致收敛于下证在任意闭区间内一致连续00000 110000 0()0000im [( )()]lim ()0( )[ , ]'( ) [ , ],(())( ())( )( ())limlim'( ())()()()'( ())nn NNnnxxxxn Nn NNNnnxf xnfxfxa xa xf xa bfx xa bf fxf f xf xf f xff xfxf xxf xff xQ所以，在内一致连续同理，在任意闭区间内一致连续有00lim(())( ())nnf fxf f x 界，所以。