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椭圆周长公式的推导、证明、检验、评价与应用 椭圆周长公式的推导、证明、检验、评价与应用-----------三探椭圆周长的计算〔终结篇〕四川省美姑县中学 周钰承 ★ 关键词：椭圆周长，标准公式，近似计算，初等公式★ 内容提要：本文搜集了各种椭圆周长公式无论是标准公式还是近似公式，本文将对局部公式赐予证明，或推导，或否认，或检验、评价与应用，希望广阔读者喜爱★ 书目：一、椭圆周长标准公式的推导与椭圆周长精确值的计算 二、两个高精度的椭圆周长初等公式 三、椭圆周长公式集锦与评价一、椭圆周长的标准公式的推导与椭圆周长准确值的计算宇宙间宏观物体的运动轨迹大都是椭圆，但其周长不能精确的计算出来经过数学家的计算与证明，最终得出椭圆周长没有精确的初等公式，但可以用椭圆积分的级数形式表示下面对椭圆周长的一个标准公式进展证明和计算在平面直角坐标系内，椭圆的标准方程是：xa22?yb22?1，a?0,b?0.参数方程是： x?acos?,y?bsin?,?0???2?? 函数图像为： 假设某条光滑曲线，能用参数方程表示：x?X?t?，y?Y?t???t??，该曲线长度可表示为：L?22????????X't?Y'tdt???故椭圆周长为：?C?4??202aa2sin2??b2cos22?d?2?4?20?1?cos2?2??b2cos?d???4a?201?ecos?d?其中e?a2?ba22?c是椭圆的离心率。

a22下面用泰勒公式绽开1?ecos? 先由?1?x??1?kx?kk?k?1?2!x?2k(k?1)(k?2)3!x???3令K=1/2可得：1?x?1?2x22???n?2??1?n?1?2n?3?!!xn2n!n令x??ecos?可得：1?ecos??1?所以：?22ecos?222???n?2?2n?3?!!e2ncos2n?2n!nC?4a?21?02?e???4a??2??2ecos?2?22???n?2?2n?3?!!e2ncos2n?2n!?nd? ???2ncos?d???????20cos?d??2?n?2??2n?3?!!e2n?n2n!???20这个式子可以化简因为：??20cos2n?d???12?34?5?2n?1???????????62n2??2n?1?!!?2n!n2所以： 2?e?1????L?4a??????22?22?????n?2?1?3?5????2n?3??2n?1?en?2n?2n?1?2n!????2?????????2???????2?a?1??????2?a?1?????n?1???1?3?5?????2n?1??2e2n???????????2?4?6????2n?2n?1???????2n?1?!!?2e2n???????????2n?!!?2n?1????????n?1 这就是椭圆周长闻名的项名达公式，这是一个精确的椭圆周长公式，虽然精确但实际计算时却只能取准确值〔谁能长生不老？〕。

22468???1?e?13?e?135?e?1357?eC?2?a?1????????????????????????? ?2?1?24?3?246?5?2468?7????其中a为长半轴，e?a?ba222为椭圆离心率〔1〕 依据项名达公式〔1〕，可写出计算椭圆周长C的计算机程序，并得到椭圆周长真值分布表1： Private Sub Form_Click ( ) a = 1 :’ 长半轴长度a、b可依据实际问题改为其它值 b = 0.15 :’ 短半轴长度，应不大于a，否那么两者互换 e = sqr(1-b*b/a/a) :’ 椭圆离心率 k0 = 0.25*e^2 :’ 〔1〕式括号中的其次项 s = 1-k0 :’ 〔1〕式括号中的前二项 for I = 2 to 1010000 :’ 级数算到百万项，一般计算机只需几秒钟 k = k0*(2*I-1)^2/(2*I)^2*(2*I-3)/(2*I-1)*e*e :’ (1) 式括号中的某一项 s = s – k :’ 将各项累加到 s 中去，最终就得到 (1) 式括号中的值 k0 = k :’ 为计算下一项，将前一项结果赋给 k0 next I :’ 循环 print 2*3.1415926535*a*s :’ 打印或显示计算结果 End Sub a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b 椭圆周长 4.0000000000? 4.00101013297? 4.0639741801? 4.2892108875? 4.8442241101? 5.5258730400? 5.9731604325? 6.2518088479? 6.2831853070? 表1.椭圆周长真值的分布 0.00 0.01 0.10 0.25 0.50 0.75 0.90 0.101 1.00 项名达公式虽然易于设计程序，但另一个级数公式收敛得更快，且只含加法运算，假如我们不便利编程，可以事先进展误差估计，从而更有效地遵照准确度要求计算椭圆周长。

为了便利，我们称下面这个公式为周钰承椭圆周长标准公式 22242628???1??a?b??1??a?b??1?3??a?b??5!!??a?b?C???(a?b)?1???????????????????????2a?b2?4a?b2?4?6a?b8!!a?b???????????????????? 为了估计误差，我们设??a?ba?b，那么周钰承标准公式为：2222???1?2?1?4?1?3?6?5!!?8C???(a?b)?1???????????????????????〔2〕?2??2?4??2?4?6??8!!????? 这个公式中，主干为??(a?b)，我们可以把?1?2?1?4?1?3?6?5!!?8?????????????????????????????〔3〕 ?2??2?4??2?4?6??8!!?2222称为误差多项式假设要求我们误差率低于?，我们设须要计算到误差多项式第n项，不妨设n?2，那么误差率为误差多项式〔3〕第n+1项及其以后无穷多项之和必需满意以下不等式：?(2n?1)!!?2n?2?(2n?1)!!?2n?4?(2n?3)!!?2n?6????????????? ??????????(2n?2)!!??(2n?4)!!??(2n?6)!!?222因为〔留意n?2〕：?(2n?1)!!?2n?2?(2n?1)!!?2n?4?(2n?3)!!?2n?6?????????(2n?2)!!????(2n?4)!!????(2n?6)!!??????????(2n?1)!!?2n?2?(2n?1)!!?2n?4?(2n?1)!!?2n?6?????????(2n?2)!!????(2n?2)!!????(2n?2)!!????????? ?1?2n?2?1?2n?4?1?2n?6??????????????256256256???????1256?222222222?2n?221??所以只须：12561????2n?22???2n?2?256(1??)?2n?ln256(1??)?2ln??2??1????????????????〔4〕公式〔4〕称为周钰承标准公式〔2〕的误差公式。

n取满意不等式〔4〕的最小整数，为此，我们只须要一个带有函数的学生计算器便可以依据准确度要求，知道我们应当计算到第几项，计算所得的值在给定误差率?的状况下是精确的留意：计算到误差多项式第n项，就是周钰承标准公式〔2〕括号中算到2n次方项；假设n为负数或者小于2，就算到误差多项式〔3〕第2项，即公式〔2〕中括号里的4次方项如n>-1.86745.那么周钰承标准公式中，中括号里应当算到4次方项因为误差公式证明中n大于或等于2是前提条件二、两个高精度的椭圆周长初等公式 假如利用周钰承标准公式来计算椭圆周长，通常只须要级数前两三项就可以到达相当高的准确度但当??0.95,??0.0001时，算得:n?ln256(1??)?2ln??2??1?57.42,即用到误差多项式第58项即116次方项，误差才能保证小于万分之一为此，我们可以依据周钰承标准公式，构建一个新的函数模型，用以解决a?ba?bba8?0.1甚至更小时的计算问题设??，???24??464??6256?25?16384?49?1065536???????那么C??(a?b)[1??]我们改造函数模型，考虑到函数?的表达式具有三个重要特征：1.各项均含有因式2?；2.当b?a时，??a?ba?b?0，椭圆周长趋近于圆周长C?2??a，此时??0；4??3.当b?0时，??1，椭圆周长趋近两倍长轴长，即C?4a，此时??我们构建函数模型：?。

因此，??x?y?z?w?22????????????????????????〔5〕2〔5〕式中?是自变量，??a?ba?b，??C?(a?b)?1，x,y,z,w为待定系数为了拟合函数，我们取表1中最具有代表性的数据用b=0.25,b=0.50,b=0.75那三行数据，把三个点的坐标(?,?)：1?0.54.84422411?0.755.5258730,?1)，(,?1)1?0.51.5?1?0.751.75?依次代入函数〔5〕，得到三个关于x,y,z,w的一次方程我们可以设计一个算法，(?1)，(1?0.254.2892109,1?0.251.25?或者用计算器解这个一次方程组，得到x:y:z:w的比例关系为了协助记忆和增加公式的美感，我们将它们近似地化为最简整数比为：x:y:z:w?16:(?3):64:(?16)把上述值代入函数〔5〕，得：C??(a?b)[1?入并化简得到椭圆周长近似公式：16?3?2264?16???]，再把??2a?ba?b代本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第7页 共7页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页。