[研究生入学考试题库]考研数学三真题2021年.docx

[研究生入学考试题库]考研数学三真题2021年一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．问题:1. 当x→0时，是x7的______A.低阶无穷小B.等价无穷小C.高阶无穷小D.同阶但非等价无穷小答案:C[考点] 本题主要考查了无穷小的比较及求函数极限． [解析] 因为，所以是x7的高阶无穷小，故答案为C．问题:2. 函数在x=0处______A.连续且取得极大值B.连续且取得极小值C.可导且导数为0D.可导且导数不为0答案:D[考点] 本题主要考查了连续与可导的定义及函数极限． [解析] 因为，所以f(x)在x=0处连续．因为，即f(x)在x=0处可导且．故答案为D．问题:3. 设函数f(x)=ax-blnx(a＞0)有两个零点，则的取值范围是______ A．(e，+∞) B．(0，e) C． D． 答案:A[考点] 本题主要考查了利用函数的单调性讨论零点． [解析] f(x)=ax-blnx(a＞0)，则x＞0，，若b≤0，则f'(x)＞0，f(x)单调递增，不可能有两个零点，所以b＞0，且，．令，得，当时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，当时，f'(x)＞0，f(x)单调递增．要使f(x)有两个零点，则，即，故答案为A．问题:4. 设函数f(x，y)可微，且f(x+1，ex)=x(x+1)2，f(x，x2)=2x2lnx，则df(1，1)=______A.dx+dyB.dx-dyC.dyD.-dy答案:C[考点] 本题主要考查了多元复合函数微分法． [解析] 两边对x同时求导，得，(1)；，(2)；将x=0代入(1)式，得，(3)；将x=1代入(2)式，得，(4)；联立(3)(4)，解得，，，所以．故答案为C．问题:5. 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为______A.2，0B.1，1C.2，1D.1，2答案:B[考点] 本题主要考查了求矩阵的特征值及二次型的正负惯性指数． [解析] 二次型，对应的二次型矩阵 (λ+1)λ(λ-3)．所以A的特征值为-1，0，3，正惯性指数与负惯性指数依次为1，1．故答案为B． 问题:6. 设A=(α1，α2，α3，α4)为4阶正交矩阵，若矩阵，k表示任意常数，则线性方程组Bx=β的通解x=______A.α2+α3+α4+kα1B.α1+α3+α4+kα2C.α1+α2+α4+kα3D.α1+α2+α3+kα4答案:D[考点] 本题主要考查了正交矩阵的定义和性质及线性方程组求通解． [解析] 因为A=(α1，α2，α3，α4)为4阶正交矩阵，所以α1，α2，α3，α4线性无关，且α1，α2，α3，α4为单位向量，两两正交，，则r(B)=3，而，所以齐次线性方程组Bx=0的通解为x0=kα4．又因为，，则α1+α2+α3为Bx=β的一个特解，故线性方程组Bx=β的通解为x=α1+α2+α3+kα4，故答案为D．问题:7. 已知矩阵，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，使得PAQ为对角矩阵，则P，Q可以分别取______ A． B． C． D． 答案:C[考点] 本题主要考查了矩阵的运算． [解析] 将A、B、C、D四个选项分别代入验证： A项，； B项，； C项，； D项，． 故答案为C． 问题:8. 设A，B为随机事件，且0＜P(B)＜1，下列命题中不成立的是______ A．若P(A|B)=P(A)，则 B．若P(A|B)＞P(A)，则 C．若，则P(A|B)＞P(A) D．若，则P(A)＞P(B)答案:D[考点] 本题主要考查了概率的性质及条件概率． [解析] 由P(A|B)=P(A)得，A，B相互独立，则，故A项成立；，得P(AB)＞P(A)P(B)，则 ，故B项成立；由，得，则，故C项成立；，，由，得，D项不成立，故答案为D．问题:9. 设(X1，Y1)，(X2，Y2)，…，(Xn，Yn)为来自总体的简单随机样本，令θ=μ1-μ2，，则______ A．是θ的无偏估计， B．不是θ的无偏估计， C．是θ的无偏估计， D．不是θ的无偏估计， 答案:C[考点] 本题主要考查了二维正态分布及其期望、方差、协方差、相关系数的性质． [解析] (X1，Y1)，(X2，Y2)，…，(Xn，Yn)为来自总体的简单随机样本，，i=1，2，…，n．，且Xi，Yi的相关系数为ρ，i=1，2，…，n，且X1，X2，…，Xn相互独立，Y1，Y2，…，Yn相互独立，Xi，Yj(i≠j)相互独立．．因为，所以是θ的无偏估计； ，故答案为C．问题:10. 设总体X的概率分布为，利用来自总体的样本值1，3，2，2，1，3，1，2，可得θ的最大似然估计值为______ A． B． C． D． 答案:A[考点] 本题主要考查了最大似然估计法． [解析] 似然函数，则lnL(θ)=3ln(1-θ)-3ln2+5ln(1+θ)-5ln4，令，解得，所以θ的最大似然估计值为．二、填空题问题:1. 若，则 答案:[考点] 本题主要考查了复合函数求导． [解析] 问题:2. 答案:6[考点] 本题主要考查了瑕积分的计算． [解析] x=3是瑕点， 问题:3. 设平面区域D由曲线与x轴围成，则D绕x轴旋转所成旋转体的体积为______．答案:[考点] 本题主要考查了旋转体体积和定积分的计算． [解析] 问题:4. 差分方程Δyt=t的通解为______．答案:[考点] 本题主要考查了非齐次差分方程的求解． [解析] 对应齐次方程为yt+1-yt=0，通解为．设原方程的一个特解为y*=t(at+b)，代入原方程，得(t+1)[a(t+1)+b]-t(at+b)=t，整理，得2at+a+b=t，比较两边同次幂的系数，得，即原方程的特解为，所以原方程的通解为．问题:5. 微分方程y"'-y=0的通解为y=______．答案:[考点] 本题主要考查了高阶常系数齐次线性微分方程的求解． [解析] 特征方程为，解得特征根为λ1=1，，所以通解为．问题:6. 甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球．令X，Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数______．答案:[考点] 本题主要考查了随机事件的概率及相关系数． [解析] 由题意知，X，Y可能的取值分别为0，1，P{X=0，Y=0}=P{Y=0|X=0}，，，，所以X，Y的联合分布律及边缘分布律为，得E(X)=E(Y)=0.5，E(X2)=E(Y2)=0.5，E(XY)=0.3，D(X)=E(X2)-[E(X)]2=0.25，D(Y)=0.25，Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.3-0.52=0.05，故X与Y的相关系数 三、解答题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．问题:1. 已知存在，求α的值．答案:解： 因为极限存在，所以，解得．问题:2. 求函数的极值．答案:解：f(x，y)的定义域为x≠0， 得驻点(-1，0)，， 对于点(-1，0)，，B=0，C=1，B2-AC=-3＜0， 所以点(-1，0)为极小值点，极小值为f(-1，0)=2； 对于点，B=0，C=4，B2-AC=-96＜0， 所以点为极小值点，极小值为 问题:3. 设有界区域D由曲线x2+y2=1和直线y=x与x轴在第一象限围成的部分，计算二重积分 答案:解：在极坐标系下计算二重积分． 积分区域， 令u=r2(1+sin2θ)，0≤u≤1+sin2θ，则 所以 令t=1+sin2θ，1≤t≤2，则 问题:4. 设n为正整数，y=yn(x)是微分方程xy'-(n+1)y=0满足条件的解． (1)求yn(x)； (2)求级数的收敛域及和函数．答案:解：(1)方程整理，得， 通解； (注：可采用另外一种方法． 方程整理，得， 两边积分，得ln|y|=(n+1)ln|x|+ln|C|， 整理得通解y=Cxn+1) 因为， 所以； (2)， 当|x|＜1时，级数绝对收敛； 当x=1时，级数为收敛； 当x=-1时，级数为收敛； 所以的收敛域为[-1，1]； 当x∈(-1，1)时， ， 所以， 又因为S(x)在x=-1处连续且级数在x=-1处收敛， 所以，S(x)=(1-x)ln(1-x)+x，x∈[-1，1)； 当x=1时，， 综上可知， 问题:5. 设矩阵仅有两个不同的特征值，若A相似于对角矩阵，求a，b的值，并求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．答案:解： ， 因为A有两个不同的特征值，则b=1或b=3， (1)当b=1时，即λ1=λ2=1，λ3=3， 因为A相似于对角阵，所以二重特征值λ1=λ2=1一定对应有两个线性无关的特征向量， λ1=λ2=1时，，r(E-A)=1，得a=1， 对应的特征向量， λ3=3时，， 对应的特征向量， 故； (2)当b=3时，即λ1=λ2=3，λ3=1， λ1=λ2=3时，，r(3E-A)=1，得a=-1， 对应的特征向量， λ3=1时，， 对应的特征向量， 故．问题:6. 在区间(0，2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X，较长的一段长度记为Y，令． (1)求X的概率密度； (2)求Z的概率密度； (3)求．答案:解：(1)因为X+Y=2，且0＜X＜Y，则X在(0，1)上服从均匀分布，所以X的概率密度为 (2)因为X+Y=2，则Y=2-X，，Z的分布函数为， 当z＜1时，显然不成立，所以FZ(z)=0； 当z≥1时， (方法一)， 综上可知， 所以Z的概率密度为 (方法二)， 所以Z的概率密度为； 综上可知，Z的概率密度为 (3)。