第四章复变函数级数教学案例.ppt

第四章 级数 本章介绍复变函数级数的概念,重点是Taylor级数、Laurent级数及其展开.1 复数列的极限2 复数项级数4.1 复级数的基本概念4.1.1 复数列的极限称 为复数列, 简称 为数列, 记为 定义4.1设 是数列， 是常数. 如果e 0, 存在正整数N, 使得当nN 时, 不等式 成立, 则称当n时, 收敛于 或称 是 的极限, 记作或从而有该结论说明: 判别复数列的敛散性可转化为判别两个实数列的敛散性.反之, 如果 那么存在正整数N, 使得当nN 时, 所以例4.1 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.解：1）2) 由于 an=n cos in=n ch n,因此, 当n时, an. 所以an发散. 4.1.2 复数项级数为复数项级数.称为该级数的前 n 项部分和.设 是复数列, 则称 级数收敛与发散的概念如果级数 的部分和数列 收敛于复数 S, 则称级数收敛, 这时称S为级数的和, 并记做 如果 不收敛，则称级数发散. 复数项级数与实数项级数收敛的关系定理4.2 级数 收敛的充要条件是 都收敛, 并且 证明由 及定理4.1, 易证. 说明 复数项级数的收敛问题两个实数项级数的收敛问题解 因为级数收敛, 所以原复数项级数发散. 练习 级数 是否收敛?发散, 而级数级数收敛的必要条件定理4.3如果级数 收敛, 则 证明由定理4.2及实数项级数收敛的必要条件 知, 重要结论: 发散.于是在判别级数的敛散性时, 可先考察?非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.定义 设 是复数项级数, 如果正项级数 收敛, 则称级数 绝对收敛. 绝对收敛级数的性质定理4.4若级数 绝对收敛, 则它必收敛.绝对收敛 和 都绝对收敛. 都收敛, 故原级数收敛. 但是级数条件收敛, 所以原级数非绝对收敛, 是条件收敛的.解 因为例4.2 级数 是否绝对收敛? 1 幂级数的概念2 幂级数的敛散性3 幂级数的性质4.2 幂 级 数为复变函数项级数. 为该级数前n项的部分和.设 是定义在区域D上的复变函数列, 称4.2.1 幂级数的概念称为该级数在区域D上的和函数.如果对 级数 收敛, 即 则称级数 在 点收敛, 且 是级数和. 如果级数 在D内处处收敛, 则称其在 区域D内收敛. 此时级数的和是函数这类函数项级数称为幂级数.当 或 时,或 的特殊情形函数项级数的形式为定理 (Abel定理) 若级数 在 处收敛，则当 时, 级数 绝对收敛; 若级数 在 处发散，则当 时, 级数 发散. 4.2.2 幂级数的敛散性收敛圆与收敛半径(1) 对所有的正实数都收敛.级数在复平面内绝对收敛.(2) 对所有的正实数都发散.级数在复平面内除原点外处处发散.(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收敛的正实数.设 时, 级数收敛; 时, 级数发散. 如图:由 , 幂级数 收敛情况有三种:.收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域. 幂级数的收敛范围是因此，事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?以 为中心的圆域.收敛半径根据前面所述的三种情形, 分别规定为论比较复杂, 没有一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.解级数收敛,级数发散.绝对收敛, 且有在 内, 级数例4.3 求级数 的和函数与收敛半径.所以收敛半径收敛半径的计算方法(3) 当 时, 收敛半径 (1) 当 时, 收敛半径 (2) 当 时, 收敛半径 定理 (比值法) 设级数 如果则例4.4 对任何复数z , 级数 都绝对收敛，即它们的收敛半径 事实上, 容易验证, z取任意正实数时, 它们均绝对收敛.例4.5求下列幂级数的收敛半径由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此可得出下面几个性质. (1) 设级数 和 的收敛半径分别为 和 则在 内, 4.2.3 幂级数的性质(2) 设级数 的收敛半径为 r.如果在 内, 函数 解析, 并且则当 时,说明: 上述运算常应用于将函数展开成幂级数.前面关于级数 的性质, 如果将 换成之后, 对于级数 当然也成立. 例4.6 把函数 表示成形如的幂级数, 其中a与b是不相等的复常数 .代数变形 , 使其分母中出现凑出 把函数 写成如下的形式:当 即 时,所以例4.7 求 的收敛半径与和函数.解 因为 所以当 时,又因为 从而,（3） 设幂级数 收敛半径为R, 并且在 内, 则 是 内的解析函数, 且在收敛圆 内, 可以逐项求导和逐项积分, 即 1) 当 时, 2) 设C是 内的一条分段光滑曲线,则 特别地, 如果C是圆内部的以z0为起点、z为 终点的分段光滑曲线, 则 例4.8 求 的收敛半径与和函数.利用逐项积分得所以解 因为 所以。