具有某些特性的函数.ppt

§4 具有某些特性的函数,在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数.其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地回顾一下.,一 有界函数 有上界函数、有下界函数的定义 定义１ 设 为定义在Ｄ上的函数，若存在数 ，使得对每一个 有 ， 则称 为Ｄ上的有上（下）界函数，称 为在Ｄ上的一个上（下）界. 注：（１） 在Ｄ上有上（下）界，意味着值域 是一个有上 （下）界的数集；（２）又若 为在Ｄ上的一个上（下） 界，则任何大于Ｍ（小于Ｌ）的数也是 在Ｄ上的上（下）界.所以，函数的上（下）界若存在，则不是唯一的.如： ，１是其一个上界，下界为－１，则易见任何小于－１的数都可作为其下界；任何大于１的数都可作为其上界；（3）函数 在Ｄ上无上（下）界：对任一 ，都存在 ，使得 .,,,,,,,,,,,,,,2．有界函数定义 定义２ 设 为定义在Ｄ上的函数.若存在正数Ｍ，使得对每一个 有 ，则称 为Ｄ上的有界函数. 注：（１）几何意义： 为Ｄ上的有界函数，则 的图象完全落在 和 之间；（２） 在Ｄ上有界 在Ｄ上既有上界又有下界；例子： ；（3）函数 在Ｄ上无界：对任一 ,都存在 ，使得 .例1 证明 为 上的无上界函数.证 对任何正数 ，取 上的一点 ，则有 ，故按上述定义， 为 上的无上界函数.,,,,,,,,,,,,,,,,,,例2 设 为Ｄ上的有界函数.证明： （1） ； （2） . 证 （1）对任何 有 ， ＋ 上式表明，数 ＋ 是函数 在 上的一个下界，从而（2）可类似于（1）证之. 注 例2中的两个不等式，其严格的不等号有可能成立.(p17),,,,,,,,,,,,,,,,二 单调函数 1．单调函数的定义 定义３ 设 为定义在Ｄ上的函数， (1)若 ，则称 为Ｄ上的增函数；若 ，则称 为Ｄ上的严格增函数; (2)若 ，则称 为Ｄ上的减函数；若 ，则称 为Ｄ上的严格减函数;增函数和减函数统称为单调函数，严格增函数和严格减函数统称为严格单调函数. 例3 证明： 在 上是严格增函数. 证 ，设 ，则 即 ，所以函数 在 上是严格增函数.,,,,,,,,,,,,,,例4 讨论函数 在Ｒ上的单调性. 解： ，设 ，显然有 .但此函数在Ｒ上不是严格增的，若取 ， ，则有 ，所以函数 在Ｒ上是增函数.例5 讨论函数 在Ｒ上的单调性. 解 ，设 ， 可正可负，所以函数 在Ｒ上不是单调函数. 但若在区间 上分别讨论，有 ，所以在区间 上函数 严格减，在区间 函数严格增。

注（１）单调性与所讨论的区间有关，要会求 出给定函数的单调区间；（２）严格单调函数的几何意义：严格单调 函数的图象与任一平行于 轴的直线 至 多有一个交点.这一特征保证了它必 有反函数.,,2．反函数存在性 定理１.2 设 为严格增（减）函数，则 必有反函数 ，且 在其定义域 上也是严格增（减）函数. 证明：设 在 上严格增.对任一 有 ，使 ，下面证明这样的 只能有一个.事实上，对于 内任一 ，由 在 上的严格递增性，当 时 ，当 时 ，总之 .这就说明，对每一个 ，都只存在唯一的一个 ，使得 ，从而函数 存在反函数 .现证 也是严格增的.任取 .设 ,,则 ， .由 及 的严格增性，显然有 ，即 .所以反函数 是严格增的.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例6讨论函数 在 上反函数的存在性；如果 在 上不存在反函数，在 的子区间上存在反函数否？ 解 函数 在 上是严格增的，有反函数 ； 在 上是严格减的，有反函数 ；但 在 上不是单调的，也不存在反函数.例7 证明： 当 时在Ｒ上严格增，当 时在Ｒ上严格递减。

证明 设 .给定 ， .由有理数的稠密性，可取到有理数 ，使 ，（参见§1例1），故有 ，这就证明了 当 时在Ｒ上严格增.类似可证 当 时在Ｒ上严格递减.,,,,,,,,,,,,,,,,三 奇函数和偶函数 定义４ 设Ｄ为对称于原点的数集， 为定义在Ｄ上的函数.若对每一 个有 （１） ，则称 为Ｄ上的奇函数； （２） ，则称 为Ｄ上的偶函数. 注 （1）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点 对称，偶函数的图象关于 轴对称；（2）奇偶性的前提是定义域对称，因此 没有必要讨论奇偶性;（3）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函 数性质时，只须讨论原点的左边或右边即可.,,,,,,,例8 为 上的奇函数； 为 上的偶函数； 在 上既不是奇函数，也 不是偶函数，因若取 ，等式 与 均不成立.,,,,,,,,,四 周期函数 1. 周期函数定义设 为定义在数集Ｄ上的函数，若存在 ，使得对一切 有 ，则称 为周期函数，称 为 的一个周期. 几点说明 （1）若 是 的周期，则 也是 的周期，所以周期若存在，则不唯一.因此有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数 的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为 的“基本周期”，简称“周期”. （2）任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期.,,,,,,,,例9 函数 ， ，周期为 ；函数 ，周期为 ；函数 ，任何正数都是周 期，但无基本周期；， 任一有理数都是周期，任一无理数都不是周期，但无基本周期.[作业] P20：P21：,,,,,,,,,。