希尔伯特23个数学问题.doc

1 希尔伯特 23 个数学问题 希尔伯特 23 个数学问题 —— 在 1900 年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了 23 个最重要的数学问题这 23 个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞 希尔伯特的 23 个问题分属四大块：第 1 到第 6 问题是数学基础问题；第 7 到第 12 问题是数论问题；第 13 到第 18 问题属于代数和几何问题；第 19 到第 23 问题属于数学分析 （1）康托的连续统基数问题 1874 年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设1938 年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与 ZF 集合论公理系统的无矛盾性1963 年，美国数学家科思（P.Choen）证明连续统假设与 ZF 公理彼此独立因而，连续统假设不能用 ZF 公理加以证明。

在这个意义下，问题已获解决 （2）算术公理系统的无矛盾性 欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔 1931 年发表不完备性定理作出否定根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936 年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性 （3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的 问题的意思是：存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等德思（M.Dehn）1900 年已解决 （4）两点间以直线为距离最短线问题 此问题提的一般满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件1973 年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决 （5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群） 这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群1952 年，由格里森（Gleason） 、蒙哥马利（Montgomery） 、齐宾（Zippin）共同解决1953 年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果 （6）对数学起重要作用的物理学的公理化 1933 年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。

后来，在量子力学、量子场论方面取得成功但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑 （7）某些数的超越性的证明 需证：如果 α 是代数数，β 是无理数的代数数，那么 αβ 一定是超越数或至少是无理数（例如，2√2 和 eπ） 苏联的盖尔封特（Gelfond）1929 年、德国的施奈德（Schneider）及西格尔（Siegel）1935 年分别独立地证明了其正确性但超越数理论还远未完成目前，确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法 （8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题 素数是一个很古老的研究领域希尔伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孪生素数问题黎曼猜想至今未解决哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决，其最佳结果均属中国数学家陈景润 （9）一般互反律在任意数域中的证明 1921 年由日本的高木贞治，1927 年由德国的阿廷（E.Artin）各自给以基本解决而类域理论至今还在发展之中 （10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？ 求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约 210-290，古希腊数学家）方程可解。

1950 年前后，美国数学家戴维斯（Davis） 、普特南（Putnan） 、罗宾逊（Robinson）等取得关键性突破1970 年，巴克尔（Baker） 、费罗斯（Philos）对含两个未知数的方程取得肯定结论1970 年苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况答案是否定的尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系 作者：eucild 2005-5-5 1059 　 回复此发言 --------------------------------------------------------------------------------2 希尔伯特 23 个数学问题 （11）一般代数数域内的二次型论 德国数学家哈塞（Hasse）和西格尔（Siegel）在 20 年代获重要结果60 年代，法国数学家魏依（A.Weil）取得了新进展 （12）类域的构成问题 即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去此问题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远 （13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性 七次方程 x7+ax3+bx2+cx+1=0 的根依赖于 3 个参数 a、b、c；x=x(a,b,c)。

这一函数能否用两变量函数表示出来？此问题已接近解决1957 年，苏联数学家阿诺尔德（Arnold）证明了任一在〔0，1〕上连续的实函数 f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1--9)，这里 hi 和 ξi 为连续实函数柯尔莫哥洛夫证明 f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1--7)这里 hi 和 ξi 为连续实函数，ξij 的选取可与 f 完全无关1964 年，维土斯金（Vituskin）推广到连续可微情形，对解析函数情形则未解决 （14）某些完备函数系的有限的证明 即域 K 上的以 x1,x2,…,xn 为自变量的多项式 fi（i=1,…，m） ，R 为 K〔X1，…，Xm]上的有理函数 F（X1，…，Xm）构成的环，并且 F（f1，…，fm）∈K[x1，…，xm]试问 R 是否可由有限个元素 F1，…，FN 的多项式生成？这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于 1959 年用漂亮的反例给出了否定的解决 （15）建立代数几何学的基础 荷兰数学家范德瓦尔登 1938 年至 1940 年，魏依 1950 年已解决。

注一舒伯特（Schubert）计数演算的严格基础 一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观的解法希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切的关系但严格的基础至今仍未建立 （16）代数曲线和曲面的拓扑研究 此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目后半部要求讨论备 dxdy=YX 的极限环的最多个数 N（n）和相对位置，其中 X、Y 是 x、y 的 n 次多项式对 n=2（即二次系统）的情况，1934 年福罗献尔得到 N(2)≥1；1952 年鲍廷得到 N(2)≥3；1955 年苏联的波德洛夫斯基宣布 N(2)≤3，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑问关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦 1957 年证明了（E2）不超过两串1957 年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了 n＝2 的方程具有至少 3 个成串极限环的实例1978 年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有 4 个极限环的具体例子1983 年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有 4 个极限环，并且是（1，3）结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第（16）问题提供了新的途径。

17）半正定形式的平方和表示 实系数有理函数 f(x1,…，xn)对任意数组（x1，…,xn）都恒大于或等于 0，确定 f 是否都能写成有理函数的平方和？1927 年阿廷已肯定地解决 （18）用全等多面体构造空间 德国数学家比贝尔巴赫（Bieberbach）1910 年，莱因哈特（Reinhart）1928 年作出部分解决 （19）正则变分问题的解是否总是解析函数？ 德国数学家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基（1939）已解决 （20）研究一般边值问题 此问题进展迅速，己成为一个很大的数学分支日前还在继读发展 （21）具有给定奇点和单值群的 Fuchs 类的线性微分方程解的存在性证明 此问题属线性常微分方程的大范围理论希尔伯特本人于 1905 年、勒尔（H.Rohrl）于1957 年分别得出重要结果1970 年法国数学家德利涅（Deligne）作出了出色贡献 （22）用自守函数将解析函数单值化 此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907 年克伯（P.Koebe）对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破其它方面尚未解决 作者：eucild 2005-5-5 1059 　 回复此发言 --------------------------------------------------------------------------------3 希尔伯特 23 个数学问题 （23）发展变分学方法的研究。

这不是一个明确的数学问题20 世纪变分法有了很大发展 希尔伯特(Hilbert，David，1862～1943)德国数学家，生于东普鲁士哥尼斯堡(前苏联加里宁格勒)附近的韦劳 中学时代，希尔伯特就是一名勤奋好学的学生，对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣，善于灵活和深刻地掌握以至应用老师讲课的内容1880 年，他不顾父亲让他学法律的意愿，进入哥尼斯堡大学攻读数学1884 年获得博士学位，后来又在这所大学里取得讲师资格和升任副教授1893 年被任命为正教授，1895 年，转入格廷根大学任教授，此后一直在格廷根生活和工作，于是 930 年退休在此期间，他成为柏林科学院通讯院士，并曾获得施泰讷奖、罗巴切夫斯基奖和波约伊奖1930 年获得瑞典科学院的米塔格－莱福勒奖，1942 年成为柏林科学院荣誉院士 希尔伯特是一位正直的科学家，第一次世界大战前夕，他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的《告文明世界书》上签字战争期间，他敢干公开发表文章悼念“敌人的数学家”达布希特勒上台后，他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策由于纳粹政府的反动政策日益加剧，许多科学家被迫移居外国，曾经盛极一时的格廷根学派衰落了，希尔伯特也于 1943 年在孤独中逝世。

希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之一他领导了著名的格廷根学派，使格廷根大学成为当时世界数学研究的重要中心，并培养了一批对现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家希尔伯特的数学工作可以划分为几个不同的时期，每个时期他几乎都集中精力研究一类问题 按时间顺序，他的主要研究内容有不变式理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、一般数学基础，其间穿插的研究课题有：狄利克雷原理和变分法、华林问题、特征值问题、 “希尔伯特空间”等在这些领域中，他都做出了重大的或开创性的贡献 希尔伯特认为，科学在每个时代都有它自己的问题，而这些问题的解决对于科学发展具有深远意义他指出：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡和终止 ”在 1900 年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了 23 个最重要的数学问题这 23 个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。

他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的。