（整理版）灵活应用导数的概念解题.doc

灵活应用导数的概念解题初学导数的同学往往感觉导数的概念比拟抽象，对定义的方法也不太熟悉，要结合瞬时速度、光滑曲线的切线、斜率等实际背景，从物理和几何两方面入手，逐步理解导数的概念，熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题，求导的本质是求极限，在求极限的过程中，要准确分析和把握给定的极限式与导数的关系，力求使所求极限的结构形式转化为极限的形式，即导数的定义，这是能够顺利求导的关键例1、求函数在x＝1处的导数解析1：〔导数定义法〕，，∴解析2：〔导函数的函数值法〕，，∴，∴点评：根据导数的概念求函数的导数是求导数的根本方法确定y=f(x)在点x= x0处的导数有两种方法：一是导数定义法，二是导函数的函数值法例2、设函数y=f(x)在点x= x0处可导，试求以下各极限的值〔1〕；〔2〕(3)假设，那么等于〔 〕A.-1 B.-2 C.1 D.解析：〔1〕〔2〕＝＝＝〔3〕∵∴＝＝＝，应选C. 点评：解决此类问题不能盲目地套用导数的定义，要准确地分析和把握给定的极限式与导数的关系，将所求极限的形式恒等变形转化为极限的结构形式，即导数的定义，这是解决这类问题的关键，因此，必须深刻理解导数的概念。

例3、设，试问f〔x〕在x=0处是否可导？解析：函数f〔x〕在x=0的两侧〔不包括x=0在内〕虽然其对应法那么是用同一个式子表示的，但在x=0处其对应值为零，对应法那么和两侧的不同，故按导数定义：由f〔0〕=0，即f〔x〕在x=0处有定义所以f〔x〕在x=0处可导，即f‘〔0〕=0点评：对分段表示的非初等函数，在判断函数在区间的交接点处是否可导时，都应该从定义出发求其导数，当交接点的两侧函数的对应法那么用不同式子表示时，应分别求函数在该点处的左右导数，看其是否存在且相等，从而决定在该点处函数是否可导请读者判断函数，在x=0处是否连续、可导？例4、设f〔x〕＝x(2－| x |)，那么f‘〔0〕的值等于〔 〕A.0 B.1 C解析：由导数的定义知∴f‘〔0〕＝2，故应选C.点评：此题也是求分段函数在分段点处的导数，一般要用定义求解，应防止出现以下错误：∵ ，∴ 从而f‘〔0〕＝0例5、设函数在x处可导，证明： = f‘〔x〕 证明：===[ f‘〔x〕+ f‘〔x〕]= f‘〔x〕点评：值得注意的是，假设极限存在，f(x)在x处的导数不一定存在，读者可以从函数y=│x│在x=0处的可导性来说明这一点。

但假设极限存在，那么f(x)在x处可导，读者可自行证明例6、曲线和在它们的交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积是___________.解析：由方程组 得曲线的交点是A(1,1).对曲线求导数， 曲线在点A处的切线斜率K1=，切线方程是l1：y=－x+2对曲线求导数，曲线在点A处的切线斜率K1=，切线方程是l2：y=2x－1又l1、l2与x轴的交点坐标分别为(2,0)，〔,0〕∴它们与轴所围成的三角形的面积为：点评：此题先求曲线的交点，再由导数求过该交点曲线的切线方程，最后求得所围成的图形面积例7、求曲线y=x3在横坐标分别为0、x0、x的点处的切线方程错解：设所求切线的斜率为K，那么按导数的几何意义，K= f‘〔x〕=3x2，根据直线方程的点斜式，所求切线方程分别为：y-0=3x2〔x-0〕……〔1〕 y-=3x2〔x- x0〕……〔2〕 y- x3=3x2〔x-x〕……〔3〕显然，以上得到的三个方程不是直线方程〔因为它们均不是x、y的一次式〕，故结果是错误的究其原因，对方程〔1〕、〔2〕错在切线的斜率不应该用任意一点的导数代入，而应该分别用在x=0、x= x0处的导数值代入，对方程〔3〕错在没有把切点坐标〔x，y〕〔其中y=x3〕和切线上任意一点的坐标区分开来，均采用了记号x，y。

正确解法应为：设所求切线的斜率为K，那么按导数的几何意义，斜率K分别为：K1= f‘〔0〕=3x2│x=0=0， K2= f‘〔x0〕=3x2│x= x0=3，K3==3x2根据直线方程的点斜式，所求切线方程分别为：y-0=0〔x-0〕，即y=0……〔1，〕 y-=3〔x- x0〕，即y=3x-2……〔2，〕 y- x3=3x2〔x-x〕，即y=3x2x-2x3……〔3，〕其中〔3，〕式中〔x，y〕的为切线上点的坐标，〔x，y〕为切点坐标〔y=x3〕点评：有人认为方程〔1，〕即y=0〔x轴〕穿过曲线y=x3，不是该曲线在点〔0，0〕处的切线方程，你认为这种说法正确吗？从此例可知，求曲线在某点处的切线方程有两种方法：〔1〕假设曲线对应的函数在某点处的导数存在，那么曲线在该点处的切线斜率存在，由点斜式即可求出切线方程；〔2〕假设曲线对应的函数在某点处的导数不存在，可由切线的定义求出切线的方程如函数在x=0处的导数不存在，画出函数的图象，再由切线的定义，不难得出曲线在x=0处的切线方程为：x=0〔y轴，斜率不存在〕例8、求过点〔2，0〕与曲线相切的直线方程错解：设所求切线的斜率为K，那么，故所求直线方程为： 即 。

假设作出曲线及直线的图象，就可以看出所求的直线和曲线不相切错因在于一开始就没有判定所给的点〔2，0〕是否在曲线上，而想当然的把该点当作切点来考虑了事实上点〔2，0〕根本不在曲线上正确解法：设平面上通过点〔2，0〕的所有直线方程〔y轴除外〕为：y=K〔x-2〕，切点为〔x0，y0〕，那么在切点处，直线和曲线的纵坐标相等且具有相同的斜率，因此有：，解得：K=-1，x0=1，故所求直线方程为：y=-〔x-2〕即y=-x+2点评：解答此类问题常见的错误是：不能确定所给点的位置，或忽略切点既在曲线上，也在切线上这一关键条件，或受思维定势的消极影响，先设出切线方程，再利用直线和抛物线相切的条件，使得解题的运算量变大数学问题的解决，要充分考虑题设条件，捕捉隐含的各种因素，确定条件与结论的相应关系本节中常见的思维误区有：〔1〕盲目套用导数的定义；〔2〕对导数的几何意义不清楚；〔3〕在求某点的切线时，对该点的位置不明确解题中一定要注意总结，不断反思，逐步提高解题能力。