
高数微积分--定积分.docx
10页定积分的换元法定理设函麴Xx)在区间明加上连续,函数= 0(,) 满足条件:(1)例)=% 夕(夕)= 5;(2)0⑺在[a,0](或4,a]上具有连续导数,.其值域不越渺,外则有f{x}dx-^f[
0)角星令x = a sin i,贝Udx = a costdt当x = 0时j = 0当x = 〃时j =—& L 2所以{ yja2 - x2 dx =]:々? cos2 tdtmi,2 万 2 i r=^- [2(1 +cos2r)Jr=—(r + -sin2/)2 =2 J 2 2 0换无公式也可以反过来更用:=f1 f(y)dy (c =d a),d =奴〃))产例X)Jc例2 计算]:8s、xsin xdx解因「cos5 xsin xdx = -J2 cos5 xd cos xl^y =cosx,当X = o时,y = l,当时,y=0所以j?c。
/ Xsi仙心=一/"办=]/力= [:/]:此种方法可以不明显写II新变量,如上例也 可这样解:斤 <解 「8S、xsinxdx = - | 2cos^ xd cosxJo Jo注:当不明显写出新变计时,积分限就不变电例3证明谢a)在[-出]上连续目.为偶函数,则 fa fa(2)J /(x)Jx= 21 f(x)dx苟'(x)在上连续且为奇函数,贝!J f(x)dx=0J-af f(x)dx = f: f(x)dx+]"(x)dx在J f(x)dx^ 令x = -t,则将j /(x)t/x= 一f/(T)力=£ = ];'/(一x)dx于是J:/(x)dx=工 /(r)dx +二 [:"(-x) + /(x)H”(1)荀(x)是偶函嬴则一(%) +,(-*) = 2/(%)一一 .. fa ca所以 I f(x)dx =2| f(x)dx J-a J()(2)荀(x)为奇函数,贝ljf (t) + f(x) = 0所以 J"f(x)dx=0若f(x)在[0,1]上连续,证明J 2 f (sin x)dx = £2 f (cos x)dx:, 「xf (sin x)dx = /(sinx)dr,并由此计算["in:公J。
1 + COS - X作业P242 1.(4) (8) (9)(10) (13)3. (2)定积分的分步积分法设〃*),心)在区间向上具有连续导数,则有于是‘(«v)'Jx = u vdx-\-^ uVdx 即 =ru'vdx+ [ uVdxJa Ja所以这个公式就是定积分的)步枳分公式C例1计算Jlnxdx解 ii = Inx ,v = x,du = —dx,dv = dx xInx<2>分及N轴所围曲 边梯形面积为At则dA = /(x)dr rb' =』/")心右下图所示图形面积为bA =[/*)_4(门心例1.计算两条抛物线 所围图形的面积.解:由得交点(0,0 ,(1,1 y在第一象限所围 y2 = x 2 (1,1; Ad=A = f 0 1 ( x - x dx o y = x2 x 1 x +d x x 1 = 3y 2 = 2 x与直线y = x - 4所围图形 例2.计算抛物线 的面积.解:由得交点y (2,- 2 , (8,4则有y+d y y o y 2 = 2x (8,4为简便计算,选取y作积分变量,y = x-4 (2,- 2 x d A = ( y + 4 - 1 y 2 dy . . A= / 2 -2 4 = 18二、平面曲线的弧长 弧长元素(弧微分:ds = (dx + (d y 2 2 y ds y = f (x ' 2 d x =1+ y 因此所求弧长 s = f 1 + y ' 2 d x a b o a xx+dx b x = f 1 + f 2 ( x d x a b作业 P245 1. (8 (10 (11 P260 1. (3 (4。












