高考数学压轴专题2020-2021备战高考《三角函数与解三角形》真题汇编及答案.pdf

数学高考三角函数与解三角形试题含答案 一、选择题 1已知0, ， 3 sin 35 ，则 cos 2 6 （） A 24 25 B 24 25 C 7 25 D 7 25 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据余弦的二倍角公式先利用sin 3 求得 2 cos 2 3 .再由诱导公式求出 sin 2 6 ,再利用同角三角函数关系中的平方关系求得cos 2 6 .根据角的取值范 围,舍去不合要求的解即可. 【详解】 因为 3 sin 35 由余弦二倍角公式可得 2 2 237 cos 21 2sin12 33525 而 2 cos 2cos 2sin 2 3626 所以 27 sin 2cos 2 6325 由同角三角函数关系式可得 224 cos 21sin2 6625 因为0, 则 4 , 333 ,而 3 sin0 35 所以 , 33 则, 33 所以 2 2,2 33 3 2, 3262 ,即 3 2, 662 又因为 7 sin 20 625 ,所以 3 2, 62 故cos 20 6 所以 24 cos 2 625 故选 :B 【点睛】 本题考查了同角三角函数关系式及诱导公式的化简应用,三角函数恒等变形及角的范围确定, 综合性较强 ,属于中档题 . 2如图，直三棱柱ABCA B C的侧棱长为 3， ABBC，3ABBC，点E，F 分别是棱 AB，BC上的动点，且AEBF，当三棱锥BEBF 的体积取得最大值时， 则异面直线 A F与AC所成的角为（ ） A 2 B 3 C 4 D 6 【答案】 C 【解析】 【分析】 设AEBFa， 1 3 BEBFEBF VSB B V ，利用基本不等式，确定点 E，F的位置，然后根据//EFAC，得到A FE即为异面直线A F与AC所成的角， 再利用余弦定理求解. 【详解】 设AEBFa，则 2 3 119 33 3288 BEBF aa Vaa ，当且仅当 3aa，即 3 2 a时等号成立， 即当三棱锥BEBF的体积取得最大值时，点 E，F分别是棱AB，BC的中点， 方法一：连接A E，AF，则 3 5 2 A E， 3 5 2 AF， 22 9 2 A FAAAF， 13 2 22 EFAC ， 因为//EFAC，所以 A FE即为异面直线A F与AC所成的角， 由余弦定理得 222 81945 2 424 cos 93 22 22 22 AFEFA E A FE A F EF ， 4 A FE 方法二：以 B为坐标原点，以BC、BA、BB分别为 x轴、y轴、 z轴建立空间直角坐 标系， 则0,3,0A，3,0,0C， 0,3,3A ， 3 ,0,0 2 F， 3 , 3, 3 2 A F uuu u r ，3, 3,0AC uuu r ， 所以 9 9 2 2 cos, 9 2 3 2 2 A F AC A F AC A FAC uuuu r u uu r uuuu r uuu r u uu u ruuu r， 所以异面直线 A F与AC所成的角为 4 故选： C 【点睛】 本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理 论证运算求解的能力，属于中档题. 3函数cos2,2fxx x的图象与函数sing xx的图象的交点横坐标的 和为（） A 5 3 B2C 7 6 D 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】 令sincos2xx，有 2 sin12sinxx，所以sin1x或 1 sin 2 x .又 ,2x， 所以 2 x或 3 2 x或 6 x或 5 6 x，所以函数cos2,2fxx x的图 象与函数sing xx的图象交点的横坐标的和 35 2 2266 s，故选 B. 【点睛】 本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养. 4函数sin 2 6 yx的图象可由函数3 sin 2cos2yxx的图象（） A向右平移 3 个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍，横坐标不变 得到 B向右平移 6 个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍，横坐标不变 得到 C向左平移 3 个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 1 2 ，横坐标不变得 到 D向左平移 6 个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 1 2 ，横坐标不变得 到 【答案】 D 【解析】 【分析】 合并3sin2cos2yxx得： 2sin 2 6 yx，利用平移、伸缩知识即可判断选项。

【详解】 由3sin2cos2yxx得：2sin2 6 yx 将它的图象向左平移 6 个单位， 可得函数2sin 22sin 2 666 yxx的图象， 再将上述图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 1 2 ，横坐标不变得到： sin2 6 yx图 象. 故选： D 【点睛】 本题主要考查了三角函数图象的平移、伸缩变换，考查了两角差的正弦公式，属于中档 题 5在ABC中， 0 60 ,10,ABCD是边AB上的一点，2,CDCBD的面积为 1， 则BD的长为（） A 3 2 B4C2D1 【答案】 C 【解析】 11 210sin1sin 2 5 BCDBCD 22 2 2 210221042 5 BDBD ,选 C 6若函数( )sin()f xAx（其中0A ， | |) 2 图象的一个对称中心为( 3 ， 0) ， 其相邻一条对称轴方程为 7 12 x，该对称轴处所对应的函数值为1，为了得到 ( )cos2g xx 的图象，则只要将( )fx 的图象 ( ) A向右平移 6 个单位长度B向左平移 12 个单位长度 C向左平移 6 个单位长度D向右平移 12 个单位长度 【答案】 B 【解析】 【分析】 由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得fx 的解析式，再根据函数sinyAx的图象变换规律，诱导公式，得出结论 【详解】 根据已知函数sinfxAx ( 其中0A， ) 2 的图象过点 ,0 3 ， 7 , 1 12 ， 可得1A， 1 27 4123 ， 解得：2 再根据五点法作图可得2 3 ， 可得： 3 ， 可得函数解析式为： sin 2. 3 fxx 故把sin 2 3 fxx的图象向左平移 12 个单位长度， 可得sin 2cos2 36 yxx的图象， 故选 B 【点睛】 本题主要考查由函数sinyAx的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求 出 A，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数sinyAx的图象变换规 律，诱导公式的应用，属于中档题 7要得到函数ysin（2x+ 9 ）的图象，只需将函数y cos（2x 9 ）的图象上所有点 （） A向左平移 5 18 个单位长度B向右平移 5 18 个单位长度 C向左平移 5 36 个单位长度D向右平移 5 36 个单位长度 【答案】 D 【解析】 【分析】 先将函数cos 2 9 yx转化为 7 sin 2 18 yx，再结合两函数解析式进行对比，得 出结论 【详解】 函数 75 cos 2sin 2sin 2sin 2 99218369 yxxxx 要得到函数sin 2 9 yx的图象， 只需将函数cos 2 9 yx的图象上所有点向右平移 5 36 个单位长度，故选D 【点睛】 本题考查函数sinyAxb的图象变化规律，关键在于能利用诱导公式将异名函 数化为同名函数，再根据左右平移规律得出结论 8函数 1sincos1sincos1 tan0 1sincos1sincos32 xxxx fxxx xxxx 的最小值为 （） A 16 2 3 B 5 3 3 C 24 3 3 D 4 3 3 【答案】 B 【解析】 【分析】 利用二倍角公式化简函数fx，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】 22 22 2sin2sincos2cos2sincos 1sincos1 sincos 222222 1sincos1 sincos 2cos2sincos2sin2sincos 222222 xxxxxx xxxx xxxxxx xxxx 2sinsincos2cossincos sincos 2 222222 22 sin cossin 2cossincos2sinsincos 22 222222 xxxxxx xx xx xxxxxxx ， 则 21 tan0 sin32 fxxx x ， 32 2222 21sin2cos16coscos1 ( ) sin3cossin3cos3sincos xxxx fx xxxxxx . 令cos0,1tx， 32 61g ttt为减函数，且 1 0 2 g， 所以当0 3 x时， 1 1,0 2 tg t，从而0fx； 当 32 x时， 1 0,0 2 tg t，从而0fx. 故 min 5 3 33 fxf. 故选： A 【点睛】 本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题. 9直线 ya与函数( )tan(0) 4 f xx的图象的相邻两个交点的距离为2， 若fx在,0m mm上是增函数，则m的取值范围是（） A (0, 4 B (0, 2 C 3 (0, 4 D 3 (0, 2 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据直线 ya与函数 fx的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，得到 1 2 ，则 1 tan 24 fxx，然后求得其单调增区间，再根据fx在,0m mm上是增 函数，由(,)m m是增区间的子集求解. 【详解】 因为直线 ya与函数fx 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期， 所以 1 2 ， 1 tan 24 fxx， 由 1 2242 kxk，得 3 22() 22 kxkkZ， 所以fx在 3 , 22 上是增函数， 由 3 (,), 22 m m， 解得0 2 m. 故选： B 【点睛】 本题主要考查正切函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题 10我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“ 三斜求积术 ” ，用现代式子表示即 为：在ABC中，角 ,,A B C所对的边分别为, ,a b c，则 ABC的面积 2 222 2 1 () 42 abc Sab.根据此公式，若cos3cos0aBbcA，且 222 2abc ，则ABC的面积为（） A 2 B2 2C 6 D2 3 【答案】 A 【解析】 【分析】 根据cos3cos0aBbcA，利用正弦定理边化为角得 sincoscossin3sincos0ABABCA，整理为sin13cos0CA，根据 sin0C，得 1 cos 3 A，再由余弦定理得 3bc，又 222 2abc ，代入公式 2 222 2 1 () 42 cba Sbc求解 . 【详解】 由cos3cos0aBbcA得sincoscos sin3sincos0ABABCA， 即sin3sincos0ABCA，即sin1 3cos0CA， 因为 sin0C，所以 1 cos 3 A， 由余弦定理 222 2 2cos2 3 abcbcAbc，所以3bc， 由ABC的面积公式得 2 222 22211 ()312 424 cba Sbc 故选： A 【点睛】 本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11已知 243 3sin5cos 77 ，则tan 14 （） A 5 3 B 3 5 - C 3 5 D 5 3 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据诱导公式计算得到 35 tan 73 ，故 3 tantan 1472 ，解得 答案 . 【详解】 由诱导公式可知 2433 3sin3sin 33sin 777 ， 又 243 3sin5cos 77 得 33 3sin5cos 77 ， 所以 35 tan 73 ， 313 tantan 3 。