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[研究生入学考试题库]考研数学二模拟278一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．问题:1. 曲线的渐近线的条数为______A.0．B.1．C.2．D.3．答案:C[解析] 对于这类渐近线的求解问题，我们首先分析极限和，如果存在则函数有水平渐近线．本题中显然=，所以y=1是水平渐近线．同时显见题设中函数不存在斜渐近线；又由于题设函数存在断点，且断点为x=±1，并且在x=1的极限，所以x=1是题设中函数的垂直渐近线，又因为，所以x=-1不是题设中函数的渐近线．综上，题设中函数有两条渐近线，分别是水平渐近线y=1以及垂直渐近线x=1．答案选C．问题:2. 设函数f(x)=(ex-1)(e2x-2)·…·(enx-n)，其中n为正整数，则f'(0)=______A.(-1)n-1(n-1)!B.(-1)n(n-1)!．C.(-1)n-1n!．D.(-1)nn!．答案:A[解析] 思路一：这是一道求导数值的题目，根据题设函数的特殊结构，我们首先可以考虑使用定义进行求解： 根据导数的定义有，将f(x)代入以上定义式可得： 在上述式子中应用等价替换ex-1～x，代入以后得到： 即为所求． 思路二：由于只求解一次导数，所以我们可以采用直接求导的方法进行，对上述f(x)求导一次并且令x=0，可以知道除了对ex-1这一乘积因子求导且令x=0以后，所得结果不为0，对其余乘积因子求导后都含有ex-1这一项，令x=0以后该项都为零，所以有： 也有相同的结论．问题:3. ______ A． B． C． D． 答案:B[解析] 根据对数的性质， 原式= 由定积分的定义可以将上式数列极限转化为积分，且 f(x)=ln(1+x)2，x∈[0，1] 所以 故答案为B． 问题:4. 微分方程y"-λ2y=eλx+e-λx(λ＞0)的特解形式为______A.a(eλx+e-λx)．B.ax(eλx+e-λx)．C.x(aeλx+be-λx)．D.x2(aeλx+be-λx)．答案:C[解析] 本题是确定二阶线性常系数非齐次方程特解的题． 由题意可知：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是r2-λ2=0，特征根为±λ，由于非齐次项eαx中α1=λ，α2=-λ，于是就有y"-λ2y=eλx，y"-λ2y=e-λx，两个非齐次微分方程分别有特解y=axeλx，y=bxe-λx，所以原非齐次方程有特解y=x(aeλx+be-λx)，所以答案选C． 问题:5. 设函数，若反常积分f(x)dx收敛，则A.α＜-2．B.α＞2．C.-2＜α＜0．D.0＜α＜2．答案:D[解析] 由收敛可知，与均收敛． 是瑕点， 因为收敛，所以α-1＜1得α＜2． ，要使其收敛，则α＞0． 所以0＜α＜2，故选D． 问题:6. 设函数y=f(x)在区间[-1，3]上的图形如图：则函数的图形为______ A． B． C． D． 答案:D[解析] 本题主要考查变限积分的性质．　　 由图可知，F(x)=0点导数不存在可排除A，由F(0)=0可排除C；在[2，3]上，有，可排除B．故答案选D．问题:7. 设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr，可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，下列命题正确的是______A.若向量组Ⅰ线性无关，则r≤s．　　　B.若向量组Ⅰ线性相关，则r＞s．C.若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s．D.若向量组Ⅱ线性相关，则r＞s．答案:A[解析] 对于A，若向量组Ⅰ线性无关，则r(α1，α2，…，αr)=r．又向量组Ⅰ可由向量组Ⅱ线性表示，则r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤s，所以有r≤s．A正确． 对于B，若向量组Ⅰ线性相关，则r(Ⅰ)＜r，又r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤s，因此无法判断r与s的大小．所以B错误． 对于C，若向量组Ⅱ线性无关，则有r(Ⅱ)=s，又r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)=s，即r(Ⅰ)≤s，又r(Ⅰ)≤r，即无法判断r与s的大小．C错误．对于D也是同理． 当然，对于选项B、C、D也可以举简单的反例来说明． 问题:8. 矩阵与相似的充分必要条件为______A.a=0，b=2．B.a=0，b为任意常数．C.a=2，b=0．D.a=2，b为任意常数．答案:B[解析] 题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值． 由的特征值为2，b，0可知，矩阵的特征值也是2，b，0．　　 因此, 所以a=0 将a=0代入可知，矩阵的特征值为2，b，0．此时，两矩阵相似，与b的取值无关，故选B．二、填空题问题:1. 设y=(1+sinx)x，则=______．答案:-πdx[解析] y=(1+sinx)x=exln(1+sinx) 所以 dy=(1+sinx)xd[xln(1+sinx)] =(1+sinx)x[+ln(1+sinx)]dx故．问题:2. 微分方程y'+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=______．答案:e-xsinx[解析] 本题是一道已知一阶线性非齐次微方程初值的问题，先对方程进行变型，两端同时乘叫w(x)=ex，原方程变为w(x)y'+w(x)y=cosx，即(yex)'=cosx，对两端作定积分得，即yex=sinx，所以微分方程的解为y=e-xsinx．问题:3. 函数z=f(lnx+)，其中函数f(u)可微，则=______．答案:0[解析] 函数对x求导，得 对y求导得 故 问题:4. 曲线上对应于t=1点处的法线方程为______．答案:y+x-ln2-=0[解析] 由曲线，可知 曲线对应于t=1点处的法线斜率为． 当t=1时，x=，y=ln2． 法线方程为y-ln2=-(x-)，即y+x-ln2-=0． 问题:5. 设平面区域D由y=x，圆x2+y2=2y及y轴所围成，则二重积分=______．答案:[解析] 如图所示， 问题:6. 设A，B为3阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A-1+B|=2，则|A+B-1|=______．答案:3[解析] |A+B-1|=|A(B+A-1)B-1 =|A||B+A-1||B-1| =3·2·=3． 三、解答题问题:1. 已知函数．设，试求α的取值范围．答案:易知，当α≤0时，． 当α＞0，x→∞时，原极限属于型，可使用洛必达法则，所以有： ， 此时，①若α-1≤0，即α≤1，则． 即当0＜α≤1时，． ②若α＞1，则需要继续求解，但原极限满足使用洛必达法则的条件，因此： 所以当α＞1时，． 下面只需考虑在α＞1时的值． 当x→0+时，ln(1+x2)～-x2．所以 所以当3-α＞0，即α＜3时，． 综上：当1＜α＜3时，有．问题:2. 求积分答案:解法一：由于,故是反常积分． 令arcsinx=t，有x=sint，t∈[0，π/2) 解法二： 令arcsinx=t，有x=sint，t∈[0，π/2) 故，原式=．问题:3. 已知函数f(u)具有二阶导数，且f'(0)=1，函数y=y(x)由方程y-xey-1=1所确定．设z=f(lny-sinx)，求，．答案:由方程y-xey-1=1y(0)=1， 求导得y'-ey-1-xey-1y'=0y'(0)=1． 再求导得y"-2ey-1y'-x(ey-1y')=0，y"(0)=2． 现由 z=f(lny-sinx)求导得， ，所以 又 ，所以 ．设奇函数f(x)在[-1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：4. 存在ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=1；答案:由于f(x)在[-1，1]上为奇函数，故f(0)=0． 令F(x)=f(x)-x，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且F(1)=f(1)-1=0，F(0)=f(0)-0=0．由罗尔定理，知存在ξ∈(0，1)，使得F'(ξ)=0，即f'(ξ)=1． 5. 存在η∈(-1，1)，使得f"(η)+f'(η)=1．答案:欲证ξ使f"(ξ)+f'(ξ)=1，等价于要证，即要证，从而要证． 令g(x)=exf'(x)-ex，由于f(x)是奇函数，所以f'(x)是偶函数，由(Ⅰ)的结论可知，f'(ξ)=f'(-ξ)=1，g(ξ)=g(-ξ)=0．由罗尔定理可知，存在η∈(-1，1)，使得g'(η)=0，即f"(η)+f'(η)=1． 问题:6. 求微分方程y"(x+y'2)=y'满足初始条件y(1)=y'(1)=1的特解．答案:本题是二阶可降阶微分方程的初始值问题． 首先令y'=P，代入方程得 ， 将方程改写成 将微分方程看成是x对P的函数关系式，这时二阶微分方程就可降阶为一阶线性微分方程． 将方程两端同时乘以，取，则原方程变为 对方程两边积分得： ， 由初始条件知当x=1时，P=1，代入上式得C1=0， 两端积分得： ， 由初始条件y(1)=1，解得C=，那么特解为 一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲面由x2+y2=2y(y≥)，x2+y2=1(y≤)连接而成．7. 求容器的容积；答案:[解] 方法一：直接求体积 由题意可得曲线的方程可表示为 由旋转体体积公式得 方法二：利用对称性 由于容器是对称的，求旋转体体积时可以只求-1≤y≤的部分． 当-1≤y≤时，曲线方程可表示为 由旋转体体积公式得 8. 若将容器内的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功? (长度单位为m；重力加速度为gm/s2；水的密度为103kg/m3) 答案:采用微元法 取微元Δy，对于任意区间[y，y+dy]对应水的体积微元为πf2(y)dy，水的质量微元为ρgπf2(y)dy(ρ为水的密度)，其升高的距离为dy=2-y，需要做的功为 dW=ρgπf2(y)(2-y)dy 故抽出全部水所需要做的功为 问题:9. 已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，，其中D：{(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分 答案:本题要计算二重积分，直接求积分难度显然很大，因为题目中并未涉及，如何转化是关键． 方法一： 正向思维，利用分部积分法，直接求解． 交。