关于无穷远元素和射影平面.pdf
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引言在欧氏平面上，通过引入无穷远元素扩充欧氏平面的方法给出射影平面的概 念1.中心射影1.1.直线与直线间的中心射影设l，' l是共面二直线，点o是此平面内l与' l外任一点若o与l上任一点A之连线OA交' l于'A则我们定义：定义 1 'A叫做A点从o投影到' l上的中心射影下的对应点OA叫做投射线，o叫做投射中心，简称射心图（1）显然A也是'A在l上以o为射心的中心射影下的对应点取不同的射心，就得到不同的中心射影如果l与' l相交与C点，则C位自对应点，如图（ 1）在欧氏平面上，中心射影不能建立两直线上点之间的一一对应如果l上的一点P使OP平行于' l，则P的对应点'P将不存在同样在' l上也有一点'Q，使'OQ平行于l， 所以'Q在l上的对应点也不存在 我们将P与'Q分别称为l与' l上的影消点1.2. 平面与平面之间的中心射影设与'是二平面，点o是平面外一点，若o与上任一点A之连线OA交'与'A则我们定义：图（ 2）定义 2'A叫做A点从o投影到平面'的中心射影下的对应点OA叫做OA'AB'BC'Ql' lP投射线，o叫做投射中心，简称射心显然A也是'A在上以O为射心的中心射影下的对应点。
可以看出在中心射影下平面内的一直线AB对应平面'上的直线''A B图（2）当与'相交时，其交线c为自对应直线，其上的每一点C都是自对应点同样，平面到平面的中心射影也不能建立两平面点之间的一一对应如图（2） ， 如果平面上的一点P与o的连线OP平行于平面'， 那么P在'上的对应点便不存在， 我们也称点P为影消点若通过o作与'平行的平面 a 交平面于直线 m 则直线m在'上的对应直线也不存在，我们称直线m为影消线类似的可以定义平面'上的影消点与影消线显然，影消点的轨迹是影消线2.无穷远元素为了使中心射影是一一对应， 我们必须将欧氏平面加以扩拓广所以我们引进了无穷远元素为此约定，这约定是我们欧氏平面里的概念决不矛盾约定—在平面内对于任何一组平行线引入唯一一点叫做无穷远点，此点在组中每一直线上而不在此组之外的任何直线上无穷远点记以P ，为区别起OABC'A'B'cQmp见，平面上原有的点称非无穷远点或普通点由此可以证明空间里的一组平行线只有一公共点，即这组直线上的无穷远点一平面内直线的方向有无穷多， 所以平面内的无穷远点也有无穷多，由于每一点直线上只有一个无穷远点， 所以平面上无穷远点的轨迹应该与此平面上每一条直线只有一个交点，因此约定：约定二一平面内一切无穷远点的集合组成一条直线叫做无穷远直线。
无穷远直线记作 l ，为区别起见，平面内原有的直线叫做非无穷远直线或普通直线无穷远直线实际上是三维空间中平行平面的交线空间里有无数多个方向， 因此有无数多个无穷远点， 这些无穷远点的轨迹与每个平面既然相交于一条无穷远直线，因此约定：约定三空间里一切无穷远点的集合组成一个平面叫做无穷远平面无穷远平面可记以，为了区别起见，空间里的原有平面叫做非无穷远平面或普通平面定义 3无穷远点，无穷远直线，无穷远平面统称为无穷远元素平面上的无穷远元素为无穷远点与无穷远直线3.射影直线与射影平面定义 4 在欧氏直线上添加了一个无穷远点以后，便得到一条新直线，我们将它叫做仿射直线图（3）图 3 是仿射直线的模型同样地，将此概念加以推广即可得到仿射平面的概念定义 5欧氏平面上添加一条无穷远直线即得到仿射平面图 4 是欧氏P.空间中的仿射平面的模型图（4）设有以o为球心的球面，过球心o作平面交球面于大圆C，我们规定：半球面S为仿射平面，大圆C上的点为无穷远点，且通过o的大圆C的每一直径的两个端点当作一个无穷远点，半球面上的其它点为非无穷远点大圆C为无穷远直线 半球面上的大圆孤为普通直线， 相交于C上同一点的半大圆孤就是平行直线。
如果平面与半球面S相切，且平面与平面平行，就可以建立S上的点与平面上的点之间的一一对应设A为S上的任一点，直线OA交与'A，令对应为'AA, 则是S的点与平面的点之间的一一对应， 这个一一对应使得大圆C（即S上的无穷远直线）对应上的无穷远直线定义 6如果把仿射直线上的非无穷远点与无穷远点同等看待而不加区分，那么这条直线就叫做射影直线图（5）射影直线是可以看作是封闭的，因此欧氏平面上的圆常看作射影直线的模型如图（ 5） ，将射影直线的概念加以推广，就可以得到射影平面的概念定义 7 在仿射平面上，如果对于普通元素和无穷远元素不加区分，即可得到射影平面（二维射影空间） 射影平面也是封闭的我们可以作一个默比乌斯带，它是射影平面的一部分如图（6） ，图（6）把长方形带纽转，使A与'A粘合，B与'B粘合，这样所得的带的边界是一条封闭的曲线从带上任一点M出发，平行于边界移动， 不越边界能移到该点所在带子的背面，所以它是单侧曲面， 分不出正反面， 如果把默比乌斯带的两个同样的边界都粘合起来，就可以得到射影平面，它是封闭的单侧曲面但在欧氏空间里，我只能看到射影平面的一部分，如图 6 在欧氏直线上添加了一个无穷远点以后便得到了一条新的直线，我们把它叫做仿射直线。
如果将仿射直线上的有穷远点与无穷远点同等看待而不加区分，则这条仿射直线就叫做射影直线反过来，如果在一条射影直线上任取一个特定点叫做无穷远点，而将其余的点叫做有穷远点， 这样的射影直线就是仿射直线， 如果在仿射直线上再去掉这个无穷远点，就成为通常的欧氏直线了',A A,'B BMA'AB'B4. 射影直线（平面）与欧氏直线（平面）的关系4.1. 射影直线与欧氏直线的区别1）因为射影直线是封闭的，所以它上的一个点不能把射影直线分为两部分，（2）两个点才可以把射影直线分为两个线段，（3）射影直线上的三个点，不能排成唯一顺序（一点介于两点之间） 如图 7 图（7）4.2. 射影平面也与欧氏平面的区别在欧氏平面上一条直线可以把平面分成两个区域在射影平面上， 一条直线并不能该平面分为两个区域 因为连结两个点的线段有两个，其中只有一个线段与另一直线相交而另一个线段一定不与此直线相交在欧氏平面上， 两条相交直线可以把平面分成四个区域而在射影平面上，由于直线是封闭的， 且二直线有且只有一个交点， 所以两直线只能把射影平面分成两个区域，如（图8）图（8）又如：欧氏平面的不共点的三直线平面分为七个部分，但射影平面内的不共点的三直线平面分为四部分， （ 图 9）（图 9）还应注意，在射影平面上点和直线的结合关系是：两个不同的点决定一条直线，两条不同的直线有且只有一个交点。
5. 图形的射影性质 . 引进无穷远元素以后， 便可以通过中心射影建立一平面上二直线上点之间的一一对应，这种一一对应称为透视对应. 同样，也可以通过中心射影建立二平面之间点的一一对应，也称为透视对应. 定义 8 经过中心射影（透视对应）后图形的不变性质（量）叫做图形的射影性质（不变量），如同素性，结合性都是射影性质. 另外，如圆锥曲线经过中心射IV II III ⅠI II III 影后的象还是圆锥曲线，所以我们说圆锥曲线具有射影性质. 圆经过某些中心射影不变，但经过另一些中心射影可能变成其它二次曲线而不一定是圆，因此圆这一图形不具有射影性质 . 例证明；（1）相交于影消线的二直线必射影成平行直线（2）单比不是射影不变量证明：（1）如图（ 10） ，设平面上二直线1l ，2l 相交于影消线 m上一点P经射影对应后，1l 与2l 的对应直线分别为' 1l 和' 2l 由于射影对应保持结合性不变，所以P点的对应点是' 1l和' 2l 的交点，即'P点由于' 1l 与' 2l 相交于无穷远点，所以' 1l ∥' 2l 图（10）图（11）（2）如图，设三直线, ,a b c. 交于O点，c平分( , )a b，直线l和' l分别交三直线, ,A B C和''',,A B C并使 AOBO 且''A OB O 于是()ACAOABCBCBO '''(''')'''A CA OA B CB CB O所以 () 1ABC， (''') 1A B C因此单比不是射影不变量 . 所以我们将以下结论 . ( 一)同素性，结合性确实射影性质，但是平行性不是射影性质。
二)单比不是射影不变量OAB Cabc'A'B'Cl' lO1l2lmp' 1l' 2l'p'6. 例题例 1 证明：一直线与它的平行平面相交于一个无穷远点证明：设直线 a 平行于平面，过直线 a任作一平面与相交于a//a，故//aa，所以 a aP一方面a即 P, 所以 aP图（12）例 2证明：一组平行平面相交于一条无穷远直线证明：如图 (13） ，给定一组平行平面1、2、3........n，其中一平面i内的直线il 上无穷远点为 P ，过il作一平面与组内其它平面交于一组平行线12, .....nl ll ，图（13）根据约定一， P 应是这组平行线的交点所以P 应在1、2、3........n，的每一个平面内又因为P 的选择有任意性，所以，根据约定一，这些平行平面交于一条无穷远直线a' a1aiana1lilnlP例 3 如图(14) ，在一个中心射影中，O为 射影中心，在一平面的影消线上取定两点P，Q，在平面上，任取一点R求证：PRQ经中心射影后等于常量图（14）证明：因为,P Q为影消线上两点，O为射心，所以//OP, //OQ. 若PRQ在平面内的射影为'''P R Q, 则//'',//''OPR P OQR Q于是'''POQP R Q而POQ为定值，所以PRQ经射影后为一定值。
例 4．如图（15） ，设三直线121212,,PP R R 交于一点S，121212,,PP RR 分别交两直线12,Ox Ox 于111,,P Q R 与222,,P Q R 求证：直线12PQ与21PQ的交点，12Q R 与21Q R 的交点，12RP 与21R P 的交点在一直线上，且所在的直线通过O图（15-1）图（15-2）证明：将直线OS投影到无穷远，这只需在直线1Ox ，2Ox 所定平面外任取''''PPOQP'RR一点V，取平面'平行于V与OS所定平面，则以V为投影中心建立的向的中心投影将OS投影成的无穷远直线 O S，如图（ 15-2 ）设,,,,,,,12111222x x P Q R P Q R 分别为,,,,12111222,,,x x P Q R P Q R ，在此中心投影下的象在图（15-2） 里，显然直线12PQ 与21PQ 的交点，12Q R 与21Q R的12RP 与21R P的交点在一直线上，且所在的直线平行于' 1P ，1Q ，1R 所在的直线或2P ，2Q ，2R所在的直线由于中心投影保持给合性不变，所以在图（15-1）里有直线12PQ 与21PQ 的交点，12Q R 与21Q R 的交点12RP 与21R P的交点，在一直线上且点O也在这三点所在的直线上。
结论本论文中为了建立， 二直线，二平面间的中心射影， 成立了一一对应在欧氏平面 上引入了无穷远元素， 使欧氏平面推广到射影平面最后，讨论了图形的射影性 质参考文献[1] 梅向明，刘增贤，王汇淳等编. 高等几何（第二版） . 北京：高等教育出版社M 1983 年 11 月， （17-18 页）. [2] 梅向明，刘增贤，王汇淳等编 . 高等几何 . 北京： 高等教育出版社M SHU1983年 1 月， （36-44 页）. [3] 毛澍芬沈世明等编 . 射影几何 . 上海科学技术出版社M 1985年 8 月. （48-66页）. [4] 张永顺，金成相 . 高等几何 . 辽宁人民出版社M 1984年. （225-254 页）. [5] 周兴和 . 高等几何 . 科学技术出版社M 2003年 9 月（1-20 页）. [6] 钟集. 高等几何 . 北京：高等教育出版社M 1984年 8 月 1 日（1-9 页）. [7] 陈灿辉 . 高等几何自学。
