2023年不等式的易错点.pdf

学习必备 欢迎下载 汉川二中 程涛 一．不等式的性质易错点 （1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； （2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘， （3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方： 1.已知abc ，且0abc  则ca的取值范围是______（答：12,2 ） 2.对于实数cba,,中，给出下列命题：①22,bcacba 则若；②babcac则若,22； ③22, 0bababa则若；④baba11, 0则若；⑤baabba则若, 0； 、⑥baba则若, 0； ⑦bcbacabac则若, 0； ⑧11,abab若， 则0,0ab其中正确的命题是______ （答：②③⑥⑦⑧） ； 3.设,,1x yRxy 则使成立的充分不必要条件是 A 1xy  B 1122xy或 C 1x D x<-1 错解:选 B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清，正确答案为 D。

4. 下列四组条件中，甲是乙的充分不必要条件的是（ ） A． 甲 a＞b，乙 a1 ＜b1 B 甲 ab ＜0，乙 ∣a+b∣＜∣a－b∣ C 甲 a=b ，乙 a ＋b=2ab D 甲 1010ba ，乙 2120baba 正确答案： D 错因：学生对不等式基本性质成立的条件理解不深刻 5.a,b∈R，且 a>b，则下列不等式中恒成立的是（ ） A.a2>b2 B.( 21) a <(21)b C.lg(a－b)>0 D.ba>1 正确答案：B错误原因：容易忽视不等式成立的条件 6.若 a>b>0，且mbma>ba，则 m 的取值范围是（ A. mR B. m>0 C. m<0 D. – b

二．解不等式常见的思维误区有： （1）概念模糊变形不同解. 常见于解分式不等式、对数不等式、无理不等式、指数不等式、含绝对值不等式、含排列数或组合数的不等式等等. （2）以偏概全，未分类或分类不全，对某些含有参数的不等式，未进行分类讨论，片面认为是某种情况. 含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键． ” 学习必备 欢迎下载 （3）忽视隐含条件，信息不能被全部挖掘出来、 提醒： （1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示； （2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值 1..已知二次函数2( )(0)f xaxbx a满足1( 1)2f ，2(1)5f，求( 3)f 的范围 错解：( 1)fab  ，(1)fab ， 1225abab    37221322ab 又( 3)93fab  9( 3)30f  正解：设( 3)( 1)(1)fmfnf  ，则有93()()abm abn ab ，即 9633m nmm nn ( 3)6 ( 1)3 (1)fff   又1( 1)2f ， 2(1)5f， 12( 3)27f  剖析：在多次应用不等式样性质的时候，若等号不能同时成立时，会使所求范围扩大，因此在解不等式范围的题时务必要检查等号能否成立。

2.、已知0a 且1a ，关于x的不等式1xa 的解集是0x x ，解关于x的不等式1log ()0axx的解集 错解：2111515log ()011022axxxxxxx        正解：因为关于x的不等式1xa 的解集是0x x ，所以1a ，故 1011115log()012xxaxxxxx      或1512x   原不等式的解集是1515( 1,)(1,)22 剖析：其一、忽视了所给条件的应用和对数的真数大于0，其二、忽视了分式不等式正确解法 3.. 解不等式 2120xxx  . 错解一：原不等式可化为. 02, 012xxx， 解得 x≥2．∴原不等式的解集是{x|x ≥2}. 错解二：在不等式 f(x) ·)(xg≥0 中，按 f(x) 的取值情况分类， 左右同正不等式两边可以同时乘方或开方已知且则的取值范围是答对于且概念不清正确答案为下列四组条件中甲是乙的充分不必要条件的是甲的取值范围是正确答案错误原因错用分数的性质已知则是的条件充分不学习必备 欢迎下载 有0)(, 0)(xgxf，或0)(, 0)(xgxf． 当 x – 1 > 0 ，即 x > 1 时，原不等式等价于 x2 – x – 2 ≥ 0 ，解得 x ≥ 2 ； 当 x – 1 = 0 ，即 x = 1 时，显然)(xg无意义，其解集为． 综上所述，原不等式的解集为{x|x ≥ 2} ． 错因：错解一中，当 x = - 1时，原不等式也成立，漏掉了 x = - 1这个解．原因是忽略了不等式中“≥”具有相等与不相等的双重性．事实上， 不等式 f(x) ·)(xg≥0 与0)(, 0)(xgxf或 g(x) = 0同解. 错解二中分类不全，有遗漏，应补充第三种情况. 0)(, 0)(xgxf 即当 x – l < 0， x2 – x – 2 = 0也合乎条件，补上 x = - 1 ． 原不等式的解集为{x|x ≥2，或 x = - 1}． 正解：分析一：符号“≥”是由符号“>” “ = ”合成的，故不等式 f(x) ·)(xg≥ 0 可转化为 f(x) ·)(xg > 0 或 f(x) ·)(xg = 0 ． 分析二：在不等式 f(x) ·)(xg≥0 中，按 g(x) 的取值情况分类，有两种情况： (1)g(x) > 0时, 等式等价于, 0)(, 0)(xgxf(2)g(x) = 0时' 只须 f(x) 有意义即可. 4.. 设函数 21f xxax ，其中0a ，解不等式 1f x ． 错解：∵不等式 f(x) ≤1，∴12x≤1 + ax ．两边平方，得 x2 + 1 ≤(1 + ax)2 , 即 x·[(a2 - 1)x + 2a]≥0．∵a > 0 ，∴当 a > 1 时，x ≥ 0 ，或 x ≤-122aa； 当 0 < a < 1时，0 ≤ x ≤212aa． 错因：未能从已知条件中挖掘出隐含条件： “1 + ax ≥ 1 ” ，即“ax≥0” ，进而由 a > 0 可得 x≥0． 正解：不等式 f(x) ≤1，即12x≤1 + ax ． 由此得 1≤1 + ax ，即 ax≥O，其中 a > 0 ． ∴原不等式等价于不等式组. 0,)1 (122xaxx即. 0, 0]2) 1[(2xaxax ∴当0 < a <1时，原不等式的解集为{x|0 ≤x≤212aa}; 当 a≥1 时, 原不等式的解集为{x|x ≥O}． 5.解不等式21axx aRax错因：分类讨论不完全 左右同正不等式两边可以同时乘方或开方已知且则的取值范围是答对于且概念不清正确答案为下列四组条件中甲是乙的充分不必要条件的是甲的取值范围是正确答案错误原因错用分数的性质已知则是的条件充分不学习必备 欢迎下载 （答：0a 时，|0x x ；0a 时，1|0x xxa或；0a 时，1|00xxxa 或 6. 要 使 满 足 关 于x的 不 等 式2290xxa （ 解 集 非 空 ） 的 每 一 个x的 值 至2430xx 和2680xx 中的一个，则实数a的取值范围是______.（答：817,8） 7.设实数, x y满足 2211xy，当0xyc  时，c的取值范围是______（答：21,  8.若对于任意 x∈R，都有(m－2)x2－2(m－2)x－4<0 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。

正确答案：(－2,2) 错误原因：容易忽视 m＝2 9. 不等 式(1)20xx 的 解 集 是 A {|1}x x  B {|1}x x  C { |21}x xx 且 D { |21}x xx 或错解：选 B，不等式的等价转化出现错误，没考虑 x=-2的情形正确答案为 D 三．多元不等式的元认知障碍当不等式含有好几个元( 变量) 时, 需将这些元分别虚拟定位为“常量” 、 “参元” 、 “变元”等. 若定位点不到位, 解题时思路常会在原地徘徊不前或进入繁杂的运算程序, 从而形成元认知障碍. 元的定位问题往往不是绝对的, 定位切入点不同, 解题的途径也不同, 处理好元的定位问题, 不但可以开辟问题解决的新途径, 给解题带来极大的简便, 而且能培养学生的分析问题的思维能力. 1. 设a、b、c[0,2] , 证明 224abcabc ≥222abbcca. 分析 此不等式有三个元, 且每项次数不全相同, 学生常因元太多不易定位, 而陷入误区, 实际上原等式中a、b、c三个元中只有a是一次的, 故可将a视作变元, 其余b、c视作常量即可解决问题. 证明 设2222( )4(222 )(422 )2f aa bcabcabbccabcbc a bcbc         . 则( )f a为关于元a的一次函数, 且a、b、c[0,2] . 要 证( )f a≥ 0,即 要 证(0)f≥ 0,且(2)f≥ 0 .2(0)()fbc ≥ 0 ,且22(2)2(422 )2fbcbcbcbc22(2)(2)bc  ≥0 . ∴当a、b、c[0,2] 时, ( )f a≥0 . 即224abcabc ≥222abbcca 四．利用不等式求参数范围时易混淆的概念 不等式的恒成立,能成立（即恒有解）,恰成立等问题： 1).恒成立问题 不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） 若不等式 f xA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 minf xA 若不等式 f xB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 maxf xB 左右同正不等式两边可以同时乘方或开方已知且则的取值范围是答对于且概念不清正确答案为下列四组条件中甲是乙的充分不必要条件的是甲的取值范围是正确答案错误原因错用分数的性质已知则是的条件充分不学习必备 欢迎下载 2). 能成立问题 若在区间D上存在实数x使不等式 f xA成立,则等价于在区间D上 maxf xA； 若在区间D上存在实数x使不等式 f xB成立,则等价于在区间D上的 minf xB. 3). 恰成立问题 若不等式 f xA在区间D上恰成立, 则等价于不等式 f xA的解集为D； 若不等式 f xB在区间D上恰成立, 则等价于不等式 f xB的解集为D.1．设 1.( )lg,f xx若0f(b)>f(c), 则下列结论中正确的是 A (a-1)(c-1)>0 B ac>1 C ac=1 D ac>1 错解原因是没有数形结合意识,正解是作出函数( )lgf xx的图象,由图可得出选 D. 2.若不等式1112nnan 对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_____（答：32,2） 错解原因是不等式解集的端点值没有考虑清楚 3.已知函数 y=㏒21(3x) 52 ax在[-1，+∞）上是减函数，则实数 a 的取值范围（ ） A a≤-6 B -60＜a＜-6 C - 8＜a≤-6 D －8≤a≤-6 正确答案：C 错因：学生忘记考虑定义域真数大于 0 这一隐含条件。

4.x 为实数，不等式|x－3|－|x－1|>m 恒成立，则 m 的取值范围是（ ） A.m>2 B.m<2 C.m>－2 D.m<－2 正确答案：D错误原因：容易忽视绝对值的几何意义，用常规解法又容易出错 5..若不等式21xx＞a在Rx上有解,则a的取值范围是 （ ） A．  3 , 3 B. 3 , 3 C． 3 , D．3, 错解：D 错因：选 D 恒成立正解：C 6.已知不等式43xxa   在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围______ 错误原因：应是恒有解误解为恒成立（答：1a ） 五．利用重要不等式求函数最值时易错点 1）利用均值不等式求最值时不注意顺序， “一正二定三相等，和定积最大，积定和最小” 2）不看原题中的隐含条件 1.已知：a、b都是正数，且1ab ，1aa ，1bb ，求 的最小值 错解：a、b都是正数， 2121, 2121bbbbaaaa  11224abab        ，即 的最小值为 4。

左右同正不等式两边可以同时乘方或开方已知且则的取值范围是答对于且概念不清正确答案为下列四组条件中甲是乙的充分不必要条件的是甲的取值范围是正确答案错误原因错用分数的性质已知则是的条件充分不学习必备 欢迎下载 正解：a、b都是正数，且1ab ，211()424ababab   1111()()1abababababab        115ab   当且仅当12ab 时， 的最小值为5 剖析：2121aaaa中等号成立的条件是当且仅当1a ，而 2121bbbb中等号成立的条件是当且仅当1b 这与1ab 矛盾， 因此解题中忽视了条件1ab ，从而造成错误 2.某工厂第一年的产量为 A，第二年的增长率为 a,第三年的增长率为 b，这两年的平均增长率为 x,则 A 2abx B 2abx C 2abx D 2abx 错解：对概念理解不清，不能灵活运用平均数的关系正确答案为 B 3. 已知函数①04xxxy②20cos4cosxxxy③9132xxy ④2210tan41cot1xxxy，其中以 4 为最小值的函数个数是 。

正确答案：0 错误原因：对使用算术平均数和几何平均数的条件意识性不强 4.若,,x yRxya xy且恒成立，则 a 的最小值是 错 解： 不能 灵活 运用 平均 数的 关 系， 正解 ：由2222,222mnmnmnmn得， 即2xyxy，故 a 的最小值是2 5.若实数 m，n，x，y 满足 m2+n2=a，x2+y2=b（a≠b） ，则 mx+ny 的最大值为（ ） A、2ba  B、ab C、222ba D、baab 答案：B 点评：易误选 A，忽略运用基本不等式“=”成立的条件 6. 设 x>1，则 y=x+12x的最小值为___________ 答案：122点评：误填：4，错因：12xxy≥122xx，当且仅当12xx即 x=2 时等号成立，忽略了运用基本不等式求最值时的“一正、二定、三相等”的条件 左右同正不等式两边可以同时乘方或开方已知且则的取值范围是答对于且概念不清正确答案为下列四组条件中甲是乙的充分不必要条件的是甲的取值范围是正确答案错误原因错用分数的性质已知则是的条件充分不学习必备 欢迎下载 7.设220,0,12baba，则21ab的最大值为 错解：有消元意识，但没注意到元的范围。

正解：由220,0,12baba得：2212ba  ，且201b，原式=224213(1)(1)1222bbbb，求出最大值为 1 8. 数列{an}的通项式902nnan，则数列{an}中的最大项是（ ） A、第 9 项 B、第 8 项和第 9 项 C、第 10 项 D、第 9 项和第 10 项 答案：D 点评：易误选 A，运用基本不等式，求nnan901，忽略定义域 N* 9、已知 a,bR，且满足 a+3b=1，则 ab 的最大值为___________________. 错解：61错因：由, 1)3(2ba得19622baba，191622baab， 等号成立的条件是0 ba与已知矛盾正解：121 10.已知实数 x、y 满足 x2+y2=1，则(1－xy)(1+xy)( ) A.有最小值21，也有最大值 1 B.有最小值43，也有最大值 1 C.有最小值43，但无最大值 D.有最大值 1，但无最小值 正确答案：B 错误原因：容易忽视 x、y 本身的范围 11. 数列{an}的通项式902nnan，则数列{an}中的最大项是（ ） A、第 9 项 B、第 8 项和第 9 项 C、第 10 项 D、第 9 项和第 10 项 答案：D 点评：易误选 A，运用基本不等式，求nnan901，忽略定义域 N*。

六．对一元二次不等式与二次函数的图象，二次方程的根之间的关系不能灵活掌握及合理转化应用 1.方程xkxk2250  ()的两根都大于 2，求实数k的取值范围 解：设方程的两根为xx12，，则必有 4504) 2( 2)5(04) 2(0)5( 4) 2(0) 2)(2(0) 2() 2(022121kkkkkkxxxx 说明：此题易犯这样的错误：4222121xxxx ，，且x x124和判别式0联立即得k的范左右同正不等式两边可以同时乘方或开方已知且则的取值范围是答对于且概念不清正确答案为下列四组条件中甲是乙的充分不必要条件的是甲的取值范围是正确答案错误原因错用分数的性质已知则是的条件充分不学习必备 欢迎下载 围， 原因是xx1222和只是xx124的充分条件， 即xx124不能保证xx1222和同时成立. 2.已知实数 x,y 满足yxyx，则 x 的取值范围是 答案：} 40{xxx或 错解：} 40{xxx或 错因：将方程作变形使用判别式，忽视隐含条件“0y” 。

3.已知21,xx是方程)( 0) 53() 2(22Rkkkxkx的两个实根，则2221xx的最大值为（ ） A、18 B、19 C、955 D、不存在 答案：A 错选：B 错因：2221xx化简后是关于 k 的二次函数，它的最值依赖于0所得的 k 的范围 4.若不等式 ax2+x+a＜0 的解集为 Φ，则实数 a 的取值范围（ ） A a≤-21或 a≥21 B a＜21 C -21≤a≤21 D a≥ 21 正确答案：D 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握 5.不等式 ax2+ bx + c ＞0 ，解集区间（- 21，2） ，对于系数 a、b、c，则有如下结论： ① a ＞ 0 ② b ＞ 0 ③ c ＞ 0 ④ a + b + c ＞ 0 ⑤ a – b + c ＞ 0 ， 其 中 正 确 的 结 论 的 序 号 是________________________________. 正确答案 2 、3、 4 错因：一元二次函数的理解 6. －4＜k＜o 是函数 y=kx2－kx－1 恒为负值的___________条件 错解：充要条件 错因：忽视0k时1y符合题意。

正解：充分非必要条件 7.设函数862kxky的定义域为 R，则 k 的取值范围是 A、91kk或 B、1k C、19k D、10k 答案：B 错解：C 错因：对二次函数图象与判别式的关系认识不清，误用0 8.若Ryx,，且 2x+8y-xy=0 则 x+y 的范围是 答案：)18[由原方程可得 1810816882, 08, 0, 0,2) 8(xxyxxxyxyxxxy则 错解：),18[] 2 ,(设xtytyx设代入原方程使用判别式 错因：忽视隐含条件，原方程可得 y (x-8)=2x，则 x>8 则 x+y>8 9. 已 知 xf是 定 义 在 , 0的 等 调 递 增 函 数 ，    ,yfxfxyf且 12 f， 则 不 等 式   23 xfxf的解集为 正确答案：43|xx 错误原因：不能正确转化为不等式组。

左右同正不等式两边可以同时乘方或开方已知且则的取值范围是答对于且概念不清正确答案为下列四组条件中甲是乙的充分不必要条件的是甲的取值范围是正确答案错误原因错用分数的性质已知则是的条件充分不。