Mathematica求不定积分与函数作Word版.doc

§4 Mathematica求不定积分与函数作图4.1 求不定积分1 用Mathematica求不定积分有两种方式(1) 用命令Integrate[f,x] （*其中为积分变量*）(2) 直接用工具栏输入不定积分例4.1 计算不定积分解 方法一： 方法二： 2 除了指定的积分变量之外，其它所有符号都被作为常数处理例4.2 计算不定积分解 3 积分变量不一定是单个的符号变量，也可以是一个函数，在例5.4.3中，积分变量是例4.3 计算不定积分解 / 4 Integrate命令也能在复数平面上进行积分运算例4.4 计算不定积分解 i5 Integrate命令在处理积分运算时会做两个假设第一个假设已经在例4.2中提到，即Mathematica假设除了积分变量之外其它符号都被作为常数处理第二个假设是Mathematica求得的积分结果是一个通式(generic form)，积分结果可能在某些点不成立，这时Mathematica会告诉的标准结果，并且假设这一结果在哪些点不成立例4.5 计算不定积分。

解 // 假设n¹-1.6 如果积分结果是（或部分是）数学物理特殊函数，结果以特殊函数的形式输出例4.6 计算不定积分解 7 如果无法积分，Mathematica会保留积分的原式，若原式中含有常数系数，Mathematica会把常数系数提到积分之外，保留积不出来的表达式例4.7 计算不定积分解 注意：Mathematica不会在积分结果后面加上积分常数（integration constant）因此，应注意不定积分的结果还应有一个积分常数C4.2 二维绘图1 作图原理计算机在画函数图形时所用的基本方法类似于描点法机器首先对所给的区间里的一定数量的点 （通常取区间的均分点）计算函数值，并画出这些点,然后依的大小从小到大所对应的点用直线段连接成一条直线 （实际上是一条折线），就把它作为函数在观察区内的图形2 基本绘图命令Plot(1) Mathematica最基本的作图命令是Plot，其使用方法如表5-4-1所示 表4-1 基本绘图命令Plot的使用方法函数 意义画出函数在内的图形同时画出函数内的图形其中可选项可以有，也可以没有。

如果没有，Plot就会按照系统默认的方式作图例4.8 用Plot命令画出时的图形解 Out[1]=-Graphics-输出图形如图5-4-1所示 图4-1例4.9 将函数当时的图形画在一张图上解 Out[2]=-Graphics-输出图形如图4-2所示图4-2(2) Plot命令表达式中的可选项是对画图的细节提出的各种要求和设置，每个选项都有一个确定的名字和选项值以“选项名®选项值”的形式放在Plot命令的最后位置，一次可设置多个选项，以逗号相隔依次排列常用的Plot命令可选项见表4-2 表4-2 Plot命令常用的可选项可选项说明PlotRange指定作图范围默认值是Automatic可用{y1,y2}的形式要求绘出坐标在[y1,y2]内的图形SpectRation图形的高度与宽度的比例,默认值是黄金分割值0.618.如果要图形按实际情况显示,则需要设置为AutomaticAxes是否画出坐标轴以及设置坐标轴的原点位置默认值是True.表示画出坐标轴；如果设置Axes®None,表示不画坐标轴；如果设置Axes®{x0,y0}则设置坐标原点为[x0,y0]。

AxesLabel设置坐标轴上的标记符号，默认值为None.表示不作标记用AxesLabel［字符串１，字符串２］的形式定义轴的纵坐标和横坐标标记Ticks设置坐标轴上刻度的位置，默认值是Automatic，表示由系统自动定位用Ticks®None表示不标坐标刻度；Ticks®{xi,yi}规定x轴和y轴的刻度值；Ticks®{t1，t2，……}表示要在一个轴上按t1，t2,……设置刻度PlotPoints设置采样函数的点数，默认值是15对于函数值变化剧烈的表达式，应设定较大的点数PlotStyle指定曲线的样式，默认值为Automatic，取默认值时，图形为黑实线可通过可选项改变曲线的样式DisplayFunction用什么机制显示图形默认值是$ DisplayFunction，可用Identity表示只生成图形，但是现在不显示例4.10 将函数和的图形画在一张图上解Out[3]=-Graphics-输出图形如图4-3所示 图4-3例4.11 作出函数在内的图形，指定作图范围、坐标轴的纵横比例和坐标的标记解In[4]:= Plot[Cot[x],{x,-2Pi,2Pi},PlotRange→{-6,6},AspectRatio→Automatic,AxesLabel→{“x”,”Cot[x]”}]Out[4]=-Graphics-输出图形如图4-4所示 图4-4(3) 对于函数值变化比较剧烈的表达式，应当取一个恰当的绘图区间和比较大的PlotPoints值，以避免作出在一些区间域过分偏离实际的图形。

例4.12 比较以下输入和输出结果的不同解 In[5]:=Plot[Sin[10x],{x,-Pi,Pi}]Out[5]=-Graphics-输出图形如图4-5所示 图4-5In[6]:=Plot[Sin[10x],{x,-Pi/5,Pi/5},PlotPoints®100]Out[6]=-Graphics-输出图形如图4-6所示 图4-6 (4) 曲线的样式要通过PlotStyle命令来调用，常用的PlotStyle命令的可选项见表4-3 表4-3 PlotStyle函数常用的可选项可选项 说明Thichness[t]指定线的宽度t，以占整个图形的宽度的比来量度GrayLevel[i]描述曲线使用的灰度其中i是区间[0,1]中的一个数，0表示白色，1表示黑色RGBColor[r,g,b]曲线红、绿、蓝三色的强度 ，r,g 和b取0到1之间的数Dashing[{d1,d2,…}]曲线用虚线表示，虚线长度为d1,d2，…例如要画一长一短的虚线，可取{0.02，0.02，0.001，0.02}。

PointSize[d]给出一个点的大小 如果用Plot函数画两个或多个函数的图形，可以用PlotStyle为每条曲线设定一个不同方式 ，这时必须把描述一条曲线的项放在一个表里作为PlotStyle值的一个子表例4.13 分别用红、绿、蓝三种颜色画出的图形解In[7]:=Plot[{Sin[x],Sin[2x],Sin[3x]},{x,0,2Pi},PlotStyle®{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,1,0],RGBColor[0,0,1]}]Out[7]=-Graphics-输出图形如图4-7所示 图4-7例4.14 分别用不同的颜色和线型修饰的图形解In[8]:=Plot[{Sin[x],Sin[2x]},{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle®{{RGBColor[0,1,1], Thickness[0,0,1]}, {RGBColor[1,0,1], Dashing[{0.05,0.05}]}}]Out[8]= -Graphics-输出图形如图4-8所示 图4-83 二维参数图 在二维平面内，有时无法将隐函数化成显函数的形式，所以无法使用Plot命令直接绘图。

但是在某些情况下，可以把平面上的曲线化成：的形式，其中变量为方程式的参数（Parameter），而这个方程式则被称为参数方程（Parametric equation）随着的变化，我们可以在平面上描绘出曲线的轨迹，所得的曲线称为参数图Mathematica用ParametricPlot命令绘制二维参数图它的使用形式有两种：(1) ParametricPlot[{x(t)，y(t)}，{t，下限，上限}，可选项] 绘制二维参数图；(2) ParametricPlot[{{x1(t),y1(t)},{x2(t),y2(t)},…},{t，下限，上限}] 同时绘制多个参数图ParametricPlot接受与Plot一样的可选项，其作用也一样，但是PlotPoints选项的默认值为25例4.15 利用ParametricPlot命令画单位圆 的图形 解In[1]:=ParametricPlot[{Sin[t],Cos[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio®Automatic]Out[1]= -Graphics-输出图形如图4-9所示 图4-9如果绘制的参数图不平滑或有明显的误差，你可以更改PlotPoints的值获得比较准确的图形。

例4.16 比较以下输入和输出结果的不同解 In[2]:=ParametricPlot[{Cos[2t],Sin[3t]},{t,0,2Pi}]Out[2]= -Graphics-输出图形如图4-10所示图4-10In[3]:=ParametricPlot[{Cos[2t],Sin[3t]},{t,0,2Pi},PlotPoints®200]Out[3]= -Graphics-输出图形如图4-11所示 图4-11例4.17 利用ParametricPlot命令将 和的图形画在一张图上.解 In[4]:=ParametricPlot[{{Cos[t],Sin[3t]},{Cos[t],Sin[2t]}},{t,0,2Pi}]Out[4]= - Graphics-输出图形如图4-12所示 图4-124 极坐标作图Mathematica没有直接提供极坐标的绘图命令，我们只要把ParametricPlot稍做修改，就可以定义成极坐标的绘图命令极坐标方程式可以写成的形式，而极坐标上的点在x—y直角坐标系统上的坐标，根据几何关系可以写成 因此，如果把ParametricPlot[{x,y},{t,下限，上限}]命令中的x和。