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第四届全国计算爆炸力学会议论文集 88 Laplacian 与局部优化方法相结合的 网格光滑技术* 宫翔飞 张树道 （北京应用物理与计算数学研究所，北京 100088） 摘 要：摘 要：在网格光滑技术中，与整体方法相比，局部方法以其计算效率上的优势得到了广泛的应用 在局部方法中，最简单的为Laplacian方法，此方法计算简单，效率高，但计算中可能产生品质更差 甚至无效的网格局部优化方法通过将标示网格品质的量最大化的方法提高网格的品质，能够避免 产生无效的网格，同时需要更高的计算成本在优化方法中构造了一种新的、可以方便应用到不同 维数问题的目标函数在网格光滑中，当Laplacian方法使网格品质下降或者产生无效网格，数次缩 短移动距离仍不能使网格品质提高时，就改用局部优化的方法将Laplacian方法与局部优化方法相 结合，能够保证所有的网格品质都得到提高，同时只在少数网格内使用优化方法，避免了计算量的 大幅提高 关键词：关键词：Laplacian, 优化， 网格光滑 One mesh smoothing algorithm combining Laplacian and local optimization-based mesh smoothing techniques GONG Xiang-fei ZHANG Shu-dao （Institute of Applied Physics and Computational Mathematics, Beijing 100088) Abstract: Local smoothing techniques are more commonly used than global smoothing techniques due to the efficiency. The most commonly used local smoothing technique is Laplacian smoothing. Laplacian smoothing is computationally inexpensive but does not guarantee improvement in mesh quality. In fact, it is possible to create invalid mesh by this technique. Local optimization-based smoothing algorithms integrate some mesh quality measures into objective functions. Optimization techniques should , in general yield a better mesh while being slower than Laplacian smoothing. A new objective function is defined for two and three dimensions. If the mesh quality can’t be improved by constrained Laplacian smoothing, local optimization-based smoothing algorithm is used. Thus, none mesh gets worse, and optimization-based smoothing is applied only to limited number of meshes. Key word: Laplacian, optimization, mesh smoothing *作者简介：宫翔飞（1979－)，男，助理研究员，理学硕士，E-mail: xfeigong@ Laplacian 与局部优化方法相结合的网格光滑技术 89 引引 言言 在有限元计算中，网格品质是影响计算结果的关键因素之一。

网格光滑是在不改变网格拓扑结 构的基础上，通过网格点的移动，提高网格的品质网格光滑技术大致可以分为局部光滑和整体光 滑两类，局部光滑技术逐点改变网格点的位置，而整体光滑则同时改变 Laplacian方法将网格点移动到相邻点的几何中心， 方法实现简单， 是应用最为广泛的光滑技术， 在原始的Laplacian方法基础上还产生了各种加权方法，这些方法计算量都非常小，但都不能一定保 证网格品质的提高带约束的Laplacian方法加入了对网格品质的判断，当Laplacian方法使网格品 质提高时才移动网格点，否则就保持网格点不动，避免了网格品质变坏，也不会产生无效的网格， 而计算量则大大地提高了 优化的网格光滑方法目前也得到了越来越广泛的应用优化光滑方法在目标函数中加入了网格 品质的评估量，通过目标函数的最大化使整体的网格品质得到优化，不会出现无效网格，并且总能 使整体网格品质得到提高，而计算量一般都非常巨大优化方法的实现结果很大程度上取决于目标 函数的选取，合适的目标函数能得到较好的光滑效果和计算效率本文采用的局部优化方法，适用 于二维的三角形和四边形，三维四面体、六面体，以及二者的过渡单元四棱锥、三棱柱。

发展了一 种新的目标函数，以及对网格品质的判断，将带约束的Laplacian方法与局部优化光滑方法相结合， 在保证网格品质提高的基础上降低了计算量 1 Laplacian 光滑方法光滑方法 1.1 基本的基本的 Laplacian 方法方法 Laplacian光滑方法是应该最广的网格光滑方法之一，其最简单的做法是将网格点移动到相邻点 的几何中心如图1所示，将A点移动到BCDF的几何中心 图1 原始的Laplacian方法 Fig. 1 The most commonly used Laplacian smoothing Laplacian光滑方法的计算公式可以写为 ( )(( )( )()( ))/() BCDFBCDF X AX BX CX DX Fλλλλλλλλ=++++++ （1） 最基本的做法取1 BCDF λλλλ====，加权方法中各相邻点坐标的系数则根据相应的方法选 取，例如取到A点距离的倒数，则 ( )( )()( )1111 ( )()/() ABACADAFABACADAF X BX CX DX F X A llllllll =++++++ （2） 第四届全国计算爆炸力学会议论文集 90 图2 品质很差时Laplacian方法的应用 Fig.2 The application of Laplacian smoothing when the grids’ qualities are poor 基本的Laplacian以及各种加权方法的实现都十分简便，计算速度极快，在一般区域都只需要计 算数次就能得到不错的实现结果，但当区域内存在小空洞或者网格都比较狭长、品质很差时，往往 会产生无效的网格。

如图2中所示ACDΔ、BCDΔ、ADEΔ、BDEΔ均为狭长网格，若对D点应 用基本的Laplacian方法就会得到反转的网格 1.2 带约束的带约束的 Laplacian 光滑方法光滑方法 此方法在Laplacian光滑方法的基础上加入对网格品质的判断量， 对网格点移动前后的网格品质 进行比较，只有网格品质提高才进行网格点的移动，如果根据Laplacian方法进行的网格点移动使网 格品质变差则取消移动，保持网格点不动 本文采用的Laplacian方法中，如果Laplacian方法不能 提高网格品质则缩小移动距离到原来的一半，一定次数后仍不能提高网格的品质则保持点不动见 图2中，与D点相邻的为A、B、C、E四个点，A、B、C、E四个点的几何中心为F点如果将D 点移动到F，ΔAED与ΔBED将成为无效的网格，则将D的移动缩小为0.5DF uuur ，如果品质提高了 则将新的位置作为D点的新坐标位置，不然则将D点移动0.25DF uuur 如此反复数次，文中取截止距 离为0.125DF uuur ，如果D移动0.125DF uuur 时仍不能使网格品质提高则保持D点位置不变 计算中常用的二维网格为三角形和四边形，网格品质量的选取最为常见的是点周围的最小角、 最大角，复杂一些的如网格外接圆半径、变形矩阵等应用也比较广泛。

本文方法适用的三维单元有 六面体、四面体、三棱柱和四棱锥，很显然，这些空间体的面都是三角形或者四边形对于二维和 三维单元我们统一定义单元品质q为角度品质A和长度品质L的乘积，角度品质根据组成单元的面 中的平面角度定义，长度品质则根据单元的边长定义 对于四边形平面角度αi（i=1，2，3，4） ，定义其角度品质 sin ii ηα= （3） 二维单元角度品质取为min(,) ii ηη η=Π （4） 对于三角形平面角度 i α（1,2,3i=） ，其角度品质的定义有两种形式 sin(3*/2) ii ηα= （5.a） 或者 sin()*2/3 ii ηα= （5.b） 二维单元角度品质也取为（4）式 Laplacian 与局部优化方法相结合的网格光滑技术 91 长度品质L的取法对四边形和三角形是相同的，为 minL=（单元边长）/max（单元边长） （6） 则单元品质的定义形式为 qLη= （7） 图3 三棱柱单元 Fig.3 A triangular prism cell 三维单元品质可以用组成单元的面为基础进行构造，定义q=minqi， 例如图3所示三棱柱单元体有五个面， 定义单元角度品质为各个面品质的最小值，q=min（qABC， qDEF，qABED，qBCFE，qCADF） ，长度品质为单元最短边与最长边的比值，很容易可以由二维推广到三 维计算。

对于三角形当采用（5.a）式时，还可以顶点为基础进行品质的构造，例如图3所示三棱柱形单 元体有六个顶点，定义单元角度品质为各个顶点品质的最小值 q=min（qA,qB,qC,qD,qE,qF） 品质的定义与二维单元相似为q=ηL的形式，η定义中的角度取为以该点为顶点的单元内的平 面角，L定义中的边长则为以该点为端点的单元内的边 例如对于点A定义 qA=ηALA 三棱柱单元内以A点为顶点的角度有∠ABC、∠ABD和∠ACD，其中∠ABC属于ΔABC，定义 qABC=sin（3*∠ABC/2） ，∠ABD和∠ACD在二维上则都属于四边形的角，则定义 qABD=sin∠ABD， qACD=sin∠ACD ηA=min(qABC,qABD,qACD,qABC,qABD,qACD) LA=min(AB,AC,AD)/max(AB,AC,AD) 与普通三条边交汇于一点不同的是四棱锥的顶点，如图6（b）所示，四条边相交于顶点A四 棱锥从拓扑结构上可以认为是某一个面退化为一个点，为了从公式形式上保持一致，在四棱锥的顶 点定义了四个顶点品质每一个顶点品质角度的取法都包含了一个相对棱的夹角，边的取法则包含 了其中的三条棱。

如三条边取AB、AC、AD时角度取∠BAC、∠CAD和∠BAD，因为∠BAD的最 优大小为/2π，所以可以作为四边形的角使用 2 局部优化的网格光滑方法局部优化的网格光滑方法 2.1 目标函数目标函数 在局部优化的网格光滑方法中，需要建立相应的目标函数，寻找目标函数提高的方向，沿此方 向移动网格点，使网格品质得到提高优化方法实现中最关键的是目标函数的选取，一般情况。