能控性与能观性分析.doc

《现代控制理论》讲义 第 3 章 能控性与能观性分析0Chapter3 能控性与能观性能控性与能观性现代控制理论中，用状态空间方法描述系统，将系统的的输出输入关系分成两部分，一部分是系统的控制输入对状态的影响，由状态方程描述；另一部分是系统输出与状态的关系，由输出方程描述1960 年，Kalman 根据“控制输入对状态的影响”首先提出了系统状态的能控性问题，根据“输出与状态的关系”提出了系统状态的能观性问题能控性：输入能否通过“状态方程”引起系统任一状态的变化？)(tu)(txi)(txi能控性描述通过输入对系统状态的控制能力；)(tu)(tx能观性：系统任一状态的变化能否通过“输出方程”引起输出的变化？)(txi)(ty或者由输出的变化能否通过“输出方程”确定系统所有状态变量，能)(ty)(txi观性描述通过输出对系统状态的测辨能力)(ty)(tx3.1 系统的能控性3.1.1 能控性的定义和性质系统能控性定义：在初始时刻时，对系统施加控制使系统状态0tt )(tu发生变化，并且输出,，，)(tx)(ty)()()()()(tutBtxtAtx)()()(txtCty0tt 图图 3-13-1 能控性与能达性能控性与能达性如果在有限时间内存在容许（满足）的控制向量attt0attttu 0d)(2，能使此系统从不为 0 的初始状态转移到 0 终态，则称状态)(tu)(0tx0)(atx在上是能控的，或称在时刻上是能控的。

若对系统状态的任一元素)(tx),(0att0t均能满足上述条件，则称系统在上是完全能控（简称能控）的而由 0],[0att《现代控制理论》讲义 第 3 章 能控性与能观性分析1初态，在时间内转移到任意不为 0 的终态称为能达0)(0tx],[0att0)(ftx性；对于线性定常系统，能控必能达，能达必能控，二者等价 （参见图 3-1 ）系统能控性的基本性质：状态方程的解 （3-1）ttuBtxtttx0d)()(),(),()(00根据定义，若状态向量是能控的，则存在容许控制，使)(tu0d)()(),(),()(000attaaauBtxtttx由此可反解出 attaauBttttx0d)()(),(),()(01 0与积分变量无关，可以放到积分号下),(01ttaattaauBttttx0d)()(),(),()(01 0（反演性） ，（传递性）),(),(001 aatttt),(),(),(00ttttaaaattttaauBtuBttttx00d)()(),(d)()(),(),()(000对线性定常系统，)(0e),(tA at上式可写成 （3-2）atttAuBtx00d)(e)()( 03.1.2 能控性判据将写成有限和形式代入（3-2）式可得Ae10)(nkk kAAekaatknkktAuBAuBx]d)()([d)(e01000110110).(nn knkkBAABBBA若系统能控，上式就有解，所以对任意向量，其充要条件是能控矩阵满0x秩。

3-3）).(1BAABBn C《现代控制理论》讲义 第 3 章 能控性与能观性分析2定理 3-1(定理 3.1.1)阶线性定常系统完全能70Pn)()()(tuBtxAtx控的充要条件是能控矩阵满秩！nmnnBAABBn C).rank(rank1该定理也适合离散系统推论：系统是否能控只与输入矩阵有关，而与输出矩阵以及终端时间无关BC若系统在区间上是完全能控的，那么系统在区间也一定是完全],[0att],[abattt能控的即在某一时间段完全能控的系统，在随后的时间段也一定是完全能控的线性代数中已经证明，，对单输入系统，是方阵，)(rankrankT CCCC而对多输入系统，才是方阵，所以，)(T CC一个判断能控矩阵是否满秩的方法是：检验“方阵”或，如Cdet0)det(?T CC果，能控性矩阵满秩，如果0)det(T CC行列式，则能控性矩阵不满0)det(T CC秩例 3-1(参考例 3.1.3，习题 1.8) 判断二阶水槽系统的能控性。

72P35P                  21212121121 00 0uu bb xx aba xx 解：解：)rank(rankABBC    22221111 000rankbabbbbab由此可见，只有当参数都，以上能控性矩阵才是满秩的此时系21bb、0统是完全能控的，即当水位高度偏离平衡位置时，可以通过调节两个阀门调节水位高度回到平衡位置故系统是能控的，说明水的输入量能够控制21uu、两个水槽的水位的变化12hh、因为由图，两个阀门，两个输入若相当于的同时，对的01b01u2x1x影响也没有了，所以此时不能控；若，相当于，所以不)(1tx02b02u)(2tx能控《现代控制理论》讲义 第 3 章 能控性与能观性分析3能控性的直接判别能控性的直接判别对于某些特例，系统的能控性可直接判别定理 1 若线性定常系统的为对角形，且对角线上的元素)()()(tButAxtxA（特征值）均不相同，则状态完全能控的充要条件是阵没有全为零的行。

B，第 行全为 0，所以，mnmnnnimiiimniuuuubbbbbbbbx 32132132111312111.0.000.i第 个状态与所有输入无关，是不能控的，因此系统不完全能控反iiiixxix过来，如果阵没有一行全为 0，比如第 行中，元素，则Bi0ijb至少有一个分量可以对其控制jijiiiubxxju*定理 2 若线性定常系统的为约当形，并且每个约当块)()()(tuBtxAtxA所对应的特征值均不相同，则状态完全能控的充要条件是阵中与每个约当块B所对应的最后一行中，没有一个最后行全为零设特征值为mkknkmkkkmkkkniniubububxxxxxx1121111111，若最后行全为 0，mnmnnnimiiimiuuuubbbbbbbbxxx3213213211131211110.000..111则最后一个状态分量就是不能控的，因此系统不完全能控。

反过来，若nnxx最后一行有某个分量 则至少有一个分量可以对其控制0njbjnjnnubxxju如果是其他行（不是最后一行）全为 0，极端情况，控制矩阵只有，其他0njb元素均为 0，《现代控制理论》讲义 第 3 章 能控性与能观性分析4，，系统仍然是能控的jnj niniubxxxxxx0011111jnjnnnnn ubxxxxxxxxxxx 11322211例 3-2(例 3.1.4) 判断能控标准型是否72Pu xxxaaaxxx   100 100010321210321状态完全能控？解： 2 2122 110100 Rank)rank(rank aaaaABBC它是一个三角形矩阵，反对角线上的元素均为 1，无论取何值，矩阵21aa、行列式都不等于零，因此系统总是状态完全能控的。

对给定的状态空间模型，Matlab 给出了系统能控性)()()(tButAxtx矩阵的函数因此，对于单输入系统，可根据B)ctrb(A,来判断系统的能控性；对于多（单）输入系统可用0B)),det(ctrb(A?来判断系统的能控性0))Bctrb(A,*B),det(ctrb(A?此外，无论单输入还是多输入，都可以直接用秩函数判B))A,rank(ctrb(断例如，对例 3.1.5 执行以下 m-文件，可得能控性矩阵的秩=2，小于系统73P的阶数 3，故系统是不能控的3]10;022;03[1A 1]-1;-11;1[2B  B))A,rank(ctrb(2ans 线性时变系统的能控性判据《现代控制理论》讲义 第 3 章 能控性与能观性分析5定义 Gramian 矩阵 （3-4）attTT aCtBBtttW0d),()()(),(),(000根据能控性定义，令 0d)()(),(),()(000attaaauBtxtttx左乘即得：),(01ttaattuBtx0d)()(),(00另一方面， （3-4）两边右乘等式左边，右边考虑到与积分变001),(xttWaC0x量无关可以放到积分号下，得到关系式attaCTTxttWtBBtx0d ]),(),()()[(),(001 000比较两式可得控制律为 （3-5）001 0),(),()()(xttWtttBtuaCTT结果表明：（1）系统能控的充要条件是存在，即满),(01 aCttW0),(det0aCttW秩；（2）在时间内将不为 0 的初态转移到 0，所施加的控制不但随时],[0att0x间而变，其大小还与有关。

att 、0对定常连续系统，转移矩阵 00)( 0!)(ee),(00kkk ttAAdkttAtttt相应的 Gramian 矩阵为 （3-4b） atTATA aCBBtW 0d)e (e), 0(根据能控性定义，令 0d)()( 0)( 0aaattAAt aBuexetx左乘即得： aAteatABuex 00d)(（3-4b）两边右乘，等式左边，右边考虑到与积分变量无01), 0(xtWaC0x关可以放到积分号下，得到关系式aTtaCATAxtWeBBex 001)( 0d ]), 0([比较两式可得控制律为 。