工程力学第12章.ppt

第12章 压杆稳定,12.1 压杆稳定的概念 12.2 细长压杆的临界力12.3 压杆的临界应力12.4 压杆的稳定计算 12.5 提高压杆稳定性的措施 思考题 习题,12.1 压杆稳定的概念,为了研究细长压杆的稳定问题，可做如下实验：如图12-1(ａ)所示压杆，在杆端加轴向力F，当F不大时，压杆将保持直线平衡状态，当给一个微小的横向干扰力时，直杆只发生微小的弯曲，干扰力消除后， 杆经过几次摆动后仍恢复到原来直线平衡的位置，压杆处于稳定的平衡状态（图12-1(ｂ)）当轴向力F逐渐增大，杆件将由原来稳定的平衡状态过渡到不稳定的平衡状态（图12-1(ｃ)）显然，在过渡过程中存在临界状态临界状态时的轴向压力称为临界压力或临界载荷， 记为Fcr当轴向力F大于临界力Fcr时，只要有一点轻微的干扰，杆件就会在微弯的基础上继续弯曲，甚至破坏（图12-1(ｄ)）这时压杆处于不稳定状态图12-1,,12.2 细长压杆的临界力,12.2.1 两端铰支压杆的临界力　　设细长压杆的两端为铰支座（图12-2），杆轴线为直线，其临界力计算公式为,（12-1 ）,该式称为临界荷载的欧拉公式式中，EI为材料的抗弯刚度， l为压杆长度。

注意， 惯性矩I应取压杆横截面的最小惯性矩图12-2,12.2.2 其他支承情况下压杆的临界力　　当压杆两端的支承情况不同时，其临界力也不相同，但临界力的计算公式相似对于各种不同支承情况，临界力公式统一写成如下形式：,(12-2),这是欧拉公式的普遍形式式中,μ是与压杆两端的支承情况有关的系数，称为长度系数不同支承情况下的μ值列于表12-1中 μl称为相当长度表12-1 不同支承情况下的长度系数,例12-1　如图12-3所示压杆由14号工字钢制成，其上端自由，下端固定已知钢材的弹性模量E=210GPa，屈服点σs=240 MPa，杆长l=3×103mm试求该杆的临界力Fcr 　　解　计算临界力对14号工字钢，查型钢表得,压杆应在刚度较小的平面内失稳， 故取,由表12-1查得μ=2 将有关数据代入式（12-2）， 即得该杆的临界力,图12-3,,12.3 压杆的临界应力,12.3.1 临界应力　　压杆在临界荷载的作用下保持直线平衡状态时，其横截面上的平均应力称为压杆的临界应力，用σcr表示：,Imin和A与截面的尺寸和形状有关， 归并起来用惯性半径,表示，其单位为cm或mm则：,(12－3),该式是欧拉公式的另一种表达式。

式中，λ称为压杆的柔度， 是一个无量纲的量它集中反映了压杆的长度（l）、横截面尺寸（i）和杆端约束情况（μ）等因素对临界应力的综合影响， 因而是稳定计算中的一个重要参数由式　　　可见，λ愈大，即杆愈细长， 则临界应力愈小， 压杆愈容易失稳； 反之， λ愈小， 压杆就愈不易失稳12.3.2 欧拉公式的适用范围　　欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程建立的，所以要求压杆的应力不超过材料的比例极限：,或,令,则欧拉公式的适用范围为,满足以上条件才可以使用欧拉公式计算压杆的临界应力 这类压杆通常称为大柔度杆，也就是我们前边提到的细长压杆 　　λP仅与材料的弹性模量E、比例极限σP有关，材料不同， 其λP值不同例如, Q235钢的E=206 Gpa，σP=200 Pa，可得,12.3.3 超过比例极限时压杆的临界应力　　工程中常用的压杆，通常其柔度小于λP，即杆内的工作应力超过比例极限，欧拉公式已不适用，需要采用经验公式来计算临界应力 常用的是直线公式， 即,(12－4),式中的a和b是与材料力学性质有关的常数，其单位为MPa一些常用材料的a、b、λP、λS值见表12-2,表12-2 部分常用材料的a、b、λP、λS值,上述经验公式也有一个适用范围，例如对塑性材料制成的压杆，要求其临界应力不超过材料的屈服点, 即,将式(12-4)代入上式得,或,λS是和屈服点对应的柔度，是能够使用经验公式的最小柔度值。

即经验公式的适用范围为,满足λS≤λ≤λP的受压杆件称为中柔度杆或中长杆对于λ<λS的压杆，称为短粗杆或小柔度杆短粗杆不会发生失稳破坏，因为当λ<λS时，即应力超过了材料的屈服点σS或抗拉强度σb，它的破坏是由强度破坏引起的 若在形式上用稳定问题来研究， 可令临界应力,(12－5),综上所述，可将各类柔度压杆的临界应力计算公式归纳如下： (1) 大柔度杆（细长杆），用欧拉公式,(2) 中柔度杆（中长杆）， 用经验公式,(3) 小柔度杆（短粗杆）， 用压缩强度公式,图12-4,例12-2　三个圆截面压杆，直径均为d=160mm，材料为235钢，a=304MPa, b=1.12MPa，E=206 MPa，σP=200MPa， σS=235MPa，各杆两端均为铰支，长度分别为l1=5×103mm， l2=2.5×103 mm, l3=1.25×103mm试计算各杆的临界力 　　解（1） 计算杆件的横截面面积A、轴惯性矩I以及Q235钢的λP、λS:,(2） 计算各杆的临界力:,所以杆件1属于细长杆，用欧拉公式计算，得,所以杆件2属于中长杆，用直线公式计算如下,则λ3<λS， 所以杆件3属于短粗杆， 应按强度计算， 得,,12.4 压杆的稳定计算,为了保证压杆的直线平衡位置是稳定的，并具有一定的安全度，必须使压杆在轴向所受的工作载荷满足以下条件：,12-6,式中，nst为稳定安全系数，［Fst］为稳定许用载荷。

引入压杆横截面面积A，上式也可写成,12-7,即压杆在直线平衡位置时横截面上的工作应力σ不能超过压杆的稳定许用应力［σst］因为压杆不可能是理想的直杆， 加之压杆自身的初始缺陷，如初始曲率、载荷作用的偏心以及失稳的突发性等因素， 使压杆的临界载荷下降，所以, 通常规定的稳定安全系数都大于强度安全系数例如：对于钢材，取nst=2.8～3.0；对于铸铁，取nst=5.0～5.5；对于木材，取nst=2.8～3.2基于如上压杆稳定设计要求，在工程上常采用安全系数法采用安全系数法时，稳定性设计准则一般表示为,(12－8),式中，［n］st为规定的稳定安全系数，在静载荷作用下， 它略高于强度安全系数nst为工作稳定安全系数，可由下式确定:,(12-9),例12-3　螺旋千斤顶如图12-5所示，丝杠长度l=375 mm，直径d=40mm，材料为45号钢，最大起重量P=80kN，规定的稳定安全系数［nst］=4 试校核丝杠的稳定性图12-5,解（1） 计算临界力　　丝杠可简化为下端固定、上端自由的压杆（图12-5(b)）, 故长度系数μ=2查表12-2得:45号钢λP=100,λS=60, 因λS<λ<λP,故此丝杠为中长杆，应采用经验公式计算临界应力。

又由表12-2查得： a=589 MPa, b=3.83 MPa根据公式(12-4)得,于是可得临界力,（２） 校核压杆的稳定性所以千斤顶丝杠是稳定的12.5 提高压杆稳定性的措施,1. 合理选用材料 对于大柔度杆，临界力与材料的弹性模量E成正比，但是各种钢材的E值相差不大，所以选用高强度钢或合金钢制造大柔度杆，并不能显著提高临界力因此，工程中大都用普通碳钢制造大柔度杆  对于中柔度杆，临界应力用经验公式计算临界应力与材料的强度有关，所以中柔度杆采用合金钢对提高临界力有利2. 选用合理的截面形状　　压杆的截面形状对临界力的数值有很大的影响，在一定的截面面积下，应设法增大截面的惯性矩，从而增大惯性半径， 减小压杆的柔度，起到提高压杆稳定性的作用为此，应尽量使截面的材料远离中性轴例如,空心圆管要比截面面积相同的实心圆杆合理另外，当压杆两端各方向具有相同的支承条件时，它的失稳总是发生在抗弯刚度最小的纵向平面 为了充分发挥压杆抗失稳的能力，不仅要选用惯性矩大的截面， 而且还应选用具有Imax=Imin的截面，使压杆在各个方向的稳定性相等3. 减小压杆的长度　　因为压杆的长度l愈小，柔度λ也愈小，相应的临界力或临界应力就愈高，因而可有效地提高压杆的稳定性。

工程中, 经常利用增加中间支座的办法来减小压杆的长度 　　4. 改善杆端的支承情况　　从表12-1中可以看出,杆端的约束刚性愈强，压杆的长度系数μ值就愈小，柔度λ的值也就愈小，临界应力及临界力值就愈大因此，在允许的情况下，应尽可能增强杆端的约束刚性，以提高压杆的稳定性思 考 题,12-1 压杆失稳后产生的弯曲变形，与梁在横向力弯曲作用下产生的弯曲变形，两者在性质上有何不同？　　12-2 试述压杆柔度的物理意义及其与压杆承载能力的关系 　　12-3 为什么计算临界力时必须首先计算柔度？　　12-4 对于圆截面细长压杆，当(1) 杆长增加一倍；(2) 直径增加一倍时，其临界力将怎样变化？　　12-5 两端为球铰的压杆，当其横截面为图示的不同形状时， 试问压杆会在哪个平面内失稳（即失稳时截面绕哪根轴转动）？,思考题12-5图,12-6 一压杆如图所示在计算其临界力Fcr时，如考虑在yz平面内失稳，应该用哪一根轴的惯性矩I和惯性半径i来计算？,思考题12-6图,12-7 图中所示各压杆的材料和截面尺寸均相同，试问哪种情况承受的压力最大？ 哪种情况承受的压力最小？,思考题12-7图,,习　 题,12-1 如图所示，三个圆截面细长压杆，材料均为Q235钢，E=200GPa，直径均为160mm，按欧拉公式计算各杆的临界力。

题12-1图,12-2 三根圆截面压杆，直径均为d=160mm，长度分别为l1、 l2、l3，且l1=2l2=4l3=5m材料均为Q235钢，两端均为铰支计算各杆的临界力 　　12-3 细长压杆的两端为球铰支座，E=200GPa，试用欧拉公式计算下列三种情况的临界力:　　（1） 圆形截面:d=25mm, l=1m;　　（2） 矩形截面:h=2b=40 mm, l=1m； 　　（3） 16号工字钢:l=2 m题12-3图,12-4 用Q235钢制成的圆柱，两端铰支试问: 若用欧拉公式计算临界应力，则圆柱的长度应是直径的多少倍？　　12-5 图示受压杆件，材料为Q235钢，弹性模量E=200 GPa， 横截面面积A=44×102mm2，惯性矩Iy=120×104mm4，IZ=797×104 mm4在xy平面内，长度系数μz=1；在xz平面内， 长度系数μy=0.5 试求临界应力和临界力题12-5图,12-6 某柴油机的挺杆两端铰接，长度l=257mm，圆形横截面的直径d=8mm，钢材的E=210GPa，σP=240MPa, 挺杆所受的最大压力P=1.76kN规定的稳定安全系数［nst］=2.5，试校核挺杆的稳定性。

　　12-7 图示AB杆的截面为矩形， 尺寸如图所示CD杆的截面为圆形，其直径d=20 mm，在C处用铰链连接材料为Q235钢， 规定的稳定安全系数［nst］=3若测得AB的最大弯曲应力σ=140 MPa，试校核CD杆的稳定性题12-7图,题12-8图,,12-8 中心受压杆件由32a工字钢制成在z轴平面内弯曲时（截面绕y轴转动），杆两端为固结；在y轴平面内弯曲时，杆一端固定、一端自由杆长l=5 m，［nst］=2试确定压杆的许可载荷。