广义积分的收敛判别法.doc

第二节　广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．定理9.1（Cauchy收敛原理）f(x)在[a, +∞ ）上的广义积分收敛的充分必要条件是：, 存在A>0, 使得b, >A时，恒有证明：对使用柯西收敛原理立即得此结论．同样对瑕积分(为瑕点), 我们有定理9.2（瑕积分的Cauchy收敛原理）设函数f(x)在[a,b)上有定义，在其任何闭子区间[a, b–]上常义可积，则瑕积分收敛的充要条件是: , , 只要0<，就有定义9.5如果广义积分收敛，我们称广义积分绝对收敛（也称f(x)在[a,+上绝对可积]; 如收敛而非绝对收敛，则称条件收敛，也称f(x)在[a,+上条件可积．由于，均有 因此，由Cauchy收敛原理，我们得到下列定理．定理9.3如果广义积分绝对收敛，则广义积分必收敛．它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。

对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法．比较判别法：定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a,+)上恒有（k为正常数）则当收敛时, 也收敛;当发散时, 也发散．证明：由Cauchy收敛原理马上得结论成立．对瑕积分有类似的结论判别法定理9.5 设f(x), g(x) 均为[a,b)上的非负函数，b为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使[a, b), 则1） 如收敛，则也收敛2）如发散，则也发散．比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式．定理9.6 如果f(x), g(x)是[a,+上的非负函数, 且 则(1) 如果, 且收敛, 则积分也收敛．(2) 如果, 且发散，则积分也发散．证明：如果 则对于, 存在A,当时, 即成立. 显然与同时收敛或同时发散，在l=0或 l=时，可类似地讨论.使用同样的方法，我们有定理9.7 对以b为唯一瑕点的两个瑕积分与 如果f(x), g (x) 是非负函数，且 则（1） 当, 且收敛时，则也收敛．（2） 当，且发散时，则也发散．对无限区间上的广义积分中，取作比较标准，则得到下列Cauchy判别法：设f(x)是[a,+的函数，在其任意闭区间上可积,那么:定理9.8　若0f(x)， p>1,那么积分收敛，如f(x)，p1,则积分发散．其极限形式为定理9.9 如 (, p>1), 则积分收敛．如, 而, 1, 则　发散.例9.8 判断下列广义积分的收敛性。

1) (2) (m>0, n>0)解：（1）因为0 由收敛推出收敛．（2）因为 所以当n－m>1时，积分收敛. 当n－m1时，积分发散．对于瑕积分，使用作为比较标准，我们有下列柯西判别法．定理9.10　设x=a是f(x)在[a,b上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么（1） 如0f(x) (c>0), p<1, 则收敛．（2） 如f(x) (c>0), p1, 则发散．瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为定理9.11 设如0k<, p<1, 则收敛如00)解：（1）1是被积函数的唯一瑕点因为 =由知瑕积分收敛．（2）0与都是被积函数的瑕点．先讨论 由知: 当p<1时, 瑕积分收敛; 当p1时,瑕积分发散．再讨论 因所以当 q<1时, 瑕积分收敛，当q1时，瑕积分发散．综上所述，当p<1且q<1时, 瑕积分收敛; 其他情况发散．例9.10 求证: 若瑕积分收敛，且当时函数f(x)单调趋向于+，则x f(x)=0.证明：不妨设, f(x)0, 且f(x)在(0, 1)上单调减少。

已知收敛，由柯西收敛准则，有, (<1), 有从而0<或00), 当<时收敛当时发散.证明:∵==所以当3<1时，即<时，瑕积分收敛．当31，即时，瑕积分发散．前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果．定理9.12（积分第二中值定理）设g(x)在[a,b]上可积，f(x)在[a,b]上单调，则存在ξ[a,b]　使=为了证明定理9.12，我们先讨论下列特殊情况．引理9.1设f(x)在[a, b]上单调下降并且非负，函数g(x)在[a,b]上可积，则存在c[a,b]，使 =f(a)证明：作辅助函数= f(a) 对[a,b]的任一分法P: a=x0A0时, 有 g(x)|<于是，对有 +=由Cauchy收敛原理知收敛例9.12 讨论广义积分的敛散性，解：令f(x)=, g(x)=cosx则当x时，f(x)单调下降且趋于零，F(A)= =在[a,上有界．由Dirichlet判别法知收敛，另一方面因发散，收敛从而非负函数的广义积分发散由比较判别法知发散，所以条件收敛例9.13 讨论广义积分的敛散性．解：由上一题知，广义积分收敛, 而arctanx在[a, +上单调有界，所以由Abel判别法知收敛。

另一方面, 当时, 有前面已证发散由比较判别法知发散, 所以条件收敛.对瑕积分也有下列形式的Abel判别法和Dirichlet判别法定理9.14若下列两个条件之一满足，则收敛：（b为唯一瑕点）（1）（Abel判别法）收敛, g(x)在[a,上单调有界(2) (Dirichlet判别法) =在[a, 上有界, g(x) 在(上单调, 且.证明: (1) 只须用第二中值定理估计 读者可以仿照定理11.2.8(1) 的作法完成(1)的证明.(2) 读者可以仿照定理11.2.8(2) 的作法完成(2)的证明.例9.14 讨论积分 (0