2021年4-2-3任意四边形.docx

精品word学习资料可编辑任意四边形， 梯形与相像模型例题精讲板块一 任意四边形模型任意四边形中的比例关系 ( “蝴蝶定理” ) ：D名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑|精.|品.|可.|编.|辑.|学.A S1SS42 OS3B C名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑|习.|资.|料.① S1 : S2S4 : S3 或者 S1 S3S2 S4 ②AO : OC S1S2 : S4 S3名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑蝴蝶定理为我们供应明白决不规章四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规章四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．【例 1】 ( 小数报竞赛活动试题 ) 如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC，BD 分成四个部分， △AOB面积为 1 平方千米， △ BOC面积为 2 平方千米 ，△ COD的面积为 3 平方千米，公园由陆地面积是6． 92 平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？CBOA D名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑【分析】 依据蝴蝶定理求得S△ AOD3 1 2 1.5平方千米，公园四边形 ABCD 的面积是 1 2 3 1.5 7.5 平名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑方千米，所以人工湖的面积是 7.5 6.92 0.58平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形 BGC 的面名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑积；⑵A2AG : GC ？D13G名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑B【解析】 ⑴ 依据蝴蝶定理，CSV BGC1 2 3 ，那么SV BGC 6 ；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑⑵依据蝴蝶定理，AG : GC1 2 : 3 6 1: 3 ．名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑【例 2】 四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ( 如以下图 ) ．假如三角形 ABD 的面积等于三角形 BCD 的名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑面积的 1 ，且 AO32 ， DO3 ，那么 CO 的长度是 DO 的长度的 倍．名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑A D A DGO H OB C B C【解析】 在此题中，四边形 ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画帮忙线来改造不良四边形．看到题目中给出条名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑件 SV ABD : SV BCD1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观看题目中给出的已名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到其次种解法，但是其次种解法需要一个中介来改造这个” 不良四边形” ，于是可以作 AH 垂直 BD 于 H ， CG 垂直 BD 于 G ，面积比转化为高之比． 再应用结论：三角形高相同，就面积之比等于底边之比，得出结果．请老师留意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意把握并使用蝴蝶定懂得决问题．名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑解法一：∵AO : OC S ABD: S BDC1:3 ，名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑∴ OC 2 3 6 ，∴ OC : OD 6:3 2:1 ．名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑|精.|品.|可.解法二：作 AH BD 于 H ， CG BD 于 G ．∵ 1名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑|编.|辑.|学.|习.S ABDS BCD ，31名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑|资.|料.∴ AH CG ，3名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑S ，1∴ S AOD DOC3名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑∴ AO∴ OC1 CO ，32 3 6 ，名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑∴ OC : OD 6:3 2:1 ．名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑【例 3】 如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于 O 点， △CEF，△OEF，△ODF，△BOE 的面积依次是 2，名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑4，4 和 6．求：⑴求A△OCF 的面积；⑵求D△GCE 的面积 ．名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑OFGB E C名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑【解析】 ⑴ 依据题意可知，△BCD 的面积为 2 4 4 6 16 ，那么△BCO 和 CDO 的面积都是 16 2 8 ，名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑所以 △OCF 的面积为 8 4 4；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑⑵由于△BCO的面积为 8， △BOE 的面积为 6，所以△OCE 的面积为 8 6 2 ，名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑依据蝴蝶定理，EG : FG SCOE : SCOF2 : 4 1: 2 ，所以S GCE: S GCFEG : FG1: 2 ，名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑那么 S1 S 1 2 2 ．名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑GCE CEF1 2 3 3【例 4】 图中的四边形土地的总面积是 52 公顷，两条对角线把它分成了 4 个小三角形， 其中 2 个小三角形的面积分别是 6 公顷和 7 公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑D6 C6 E 77名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑A【解析】 在 VABE ， VCDE 中有 AEB CED ，所以BVABE ， VCDE的面积比为 ( AE EB): (CE DE ) ．同名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑理有 VADE ， VBCE 的面积比为 ( AE DE ) : (BE EC ) ．所以有SVABE SVCDE =SVADE SVBCE ，也就是名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑说在全部凸四边形中，连接顶点得到 2 条对角线，有图形分成上，下，左，右 4 个部分，有：上，名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑下部分的面积之积等于左右部分的面积之积． 即 SVABE6 = SVADE7 ，所以有VABE与 VADE 的面积名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑ABE比为 7 : 6 ， SV = 7 39 21公顷，6 7明显，最大的三角形的面积为 21 公顷．SV = 6 39 18 公顷．ADE6 7名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑【例 5】 ( 2021 年清华附中入学测试题 ) 如图相邻两个格点间的距离是 1 ，就图中阴影三角形的面积为 ．A A名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.D DB B OC C名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑【解析】 连接 AD ， CD ， BC ．就可依据格点面积公式，可以得到 ABC 的面积为： 1 421 2 ， ACD 的面积为： 331 3.5 ，2名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑ABD 的面积为： 241 3 ．2名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑所以 BO : OD S : S2 :3.5 4 : 7 ，所以 S4 S 4 3 12 ．名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑ABC ACDABO ABD4 7 11 11名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑【巩固】如图，每个小方格的边长都是 1，求三角形 ABC 的面积．EDA名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑【解析】 由于BBD : CE2:5C，且 BD ∥ CE ，所以DA : AC2:5， S ABC5 ， SDBC5 102 ．名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑2 5 7 7名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑【例 6】 ( 2007 年人大附中考题 ) 如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中， BE的面积．2EC ， CF FD ，求三角形 AEG名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑A D A DG GF FB E C B E C【解析】 连接 EF ．名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑由于 BE2EC ， CF FD ，所以S DEF1 1 1( ) SWABCD1SWABCD ．名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑2 3 2 12名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑由于 S。