2022年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)试题(重庆卷详解).docx

2022·重庆卷(理科数学)1．[2022·重庆卷] 复平面内表示复数i(1－2i)的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限1．A[解析]i(1－2i)＝2＋i，其在复平面内对应的点为(2，1)，位于第一象限．2．[2022·重庆卷] 对任意等比数列{an}，以下说法一定正确的选项是(　　)A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9，成等比数列2．D[解析]因为在等比数列中an，a2n，a3n，…也成等比数列，所以a3，a6，a9成等比数列．3．[2022·重庆卷]变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，那么由该观测数据算得的线性回归方程可能是(　　)A．y︿＝0.4x＋2.3B．y︿＝2x－2.4C．y︿＝－2x＋9.5D．y︿＝－0.3x＋4.43．A[解析] 因为变量x与y正相关，那么性回归方程中，x的系数应大于零，排除B，D；将x＝3，y＝3.5分别代入A，B中的方程只有A满足，应选A.4．[2022·重庆卷] 向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，那么实数k＝(　　)A．－B．0C．3D.4．C[解析]∵2a－3b＝2(k，3)－3(1，4)＝(2k－3，－6)，又(2a－3b)⊥c，∴(2k－3)2＋(－6)＝0，解得k＝3.5．[2022·重庆卷] 执行如图1­1所示的程序框图，假设输出k的值为6，那么判断框内可填入的条件是(　　)图1­1A．s>B．s>C．s>D．s>5．C[解析]第一次循环结束，得s＝1＝，k＝8；第二次循环结束，得s＝＝，k＝7；第三次循环结束，得s＝＝，k＝6，此时退出循环，输出k＝6.故判断框内可填s>.6．[2022·重庆卷] 命题p：对任意x∈R，总有2x>0，q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，那么以下命题为真命题的是(　　)A．p∧qB．綈p∧綈qC．綈p∧qD．p∧綈q6．D[解析]根据指数函数的图像可知p为真命题．由于“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，所以q为假命题，所以綈q为真命题，所以p∧綈q为真命题．7．[2022·重庆卷] 某几何体的三视图如图1­2所示，那么该几何体的外表积为(　　)图1­2A．54B．60 C．66D．727．B[解析]由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥所得，三棱柱的底面是一个两直角边长分别为3和4的直角三角形，高为5，截去的锥体的底面是两直角边的边长分别为3和4的直角三角形，高为3，所以外表积为S＝34＋＋4＋5＋35＝60.8．[2022·重庆卷] 设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，那么该双曲线的离心率为(　　)A.B.C.D．38．B[解析] 不妨设P为双曲线右支上一点，根据双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a，联立|PF1|＋|PF2|＝3b，平方相减得|PF1|·|PF2|＝，那么由题设条件，得＝ab，整理得＝，∴e＝＝＝＝.9．[2022·重庆卷] 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，那么同类节目不相邻的排法种数是(　　)A．72B．120 C．144D．1689．B[解析]分两步进行：(1)先将3个歌舞进行全排，其排法有A种；(2)将小品与相声插入将歌舞分开，假设两歌舞之间只有一个其他节目，其插法有2A种．假设两歌舞之间有两个其他节目时插法有CAA种．所以由计数原理可得节目的排法共有A(2A＋CAA)＝120(种)．10．，[2022·重庆卷]△ABC的内角A，B，C满足sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，那么以下不等式一定成立的是(　　)A．bc(b＋c)>8B．ab(a＋b)>16C．6≤abc≤12D．12≤abc≤2410．A[解析]因为A＋B＋C＝π，所以A＋C＝π－B，C＝π－(A＋B)，所以由等式可得sin2A＋sin(π－2B)＝sin[π－2(A＋B)]＋，即sin2A＋sin2B＝sin2(A＋B)＋，所以sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin[(A＋B)－(A－B)]＝sin2(A＋B)＋，所以2sin(A＋B)cos(A－B)＝2sin(A＋B)cos(A＋B)＋，所以2sin(A＋B)[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝，所以sinAsinBsinC＝.由1≤S≤2，得1≤bcsin A≤2.由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，所以1≤2R2·sinAsinBsinC≤2，所以1≤≤2，即2≤R≤2，所以bc(b＋c)>abc＝8R3sinAsinBsinC＝R3≥8.11．[2022·重庆卷] 设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，那么(∁UA)∩B＝________．11．{7，9}[解析]由题知∁UA＝{4，6，7，9，10}，∴(∁UA)∩B＝{7，9}．12．[2022·重庆卷] 函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为________．12．－[解析]f(x)＝log2·log(2x)＝log2x·2log2(2x)＝log2x·(1＋log2x)＝(log2x)2＋log2x＝－，所以当x＝时，函数f(x)取得最小值－.13．[2022·重庆卷] 直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，那么实数a＝________．13．4±[解析] 由题意可知圆的圆心为C(1，a)，半径r＝2，那么圆心C到直线ax＋y－2＝0的距离d＝＝.∵△ABC为等边三角形，∴|AB|＝r＝2.又|AB|＝2，∴2＝2，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±.14．[2022·重庆卷]过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C.假设PA＝6，AC＝8，BC＝9，那么AB＝________．14．4[解析]根据题意，作出图形如下列图，由切割线定理，得PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)，即36＝PB·(PB＋9)∴PB＝3，∴PC＝12.由弦切角定理知∠PAB＝∠PCA，又∠APB＝∠CPA，∴△PAB∽△PCA，∴＝，即AB＝＝＝4.15．[2022·重庆卷] 直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，那么直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________．15.[解析]由题意，得直线l的普通方程为x－y＋1＝0，曲线C的平面直角坐标方程为y2＝4x，联立直线l与曲线C的方程，解得所以直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝＝.16．[2022·重庆卷] 假设不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，那么实数a的取值范围是________．16.[解析]令f(x)＝|2x－1|＋|x＋2|，那么①当x<－2时，f(x)＝－2x＋1－x－2＝－3x－1>5；②当－2≤x≤时，f(x)＝－2x＋1＋x＋2＝－x＋3，故≤f(x)≤5；③当x>时，f(x)＝2x－1＋x＋2＝3x＋1>.综合①②③可知f(x)≥，所以要使不等式恒成立，那么需a2＋a＋2≤，解得－1≤a≤.17．，，[2022·重庆卷] 函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)假设f＝，求cos的值．17．解：(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.又因为f(x)的图像关于直线x＝对称，所以2＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….因为－≤φ＜，所以φ＝－.(2)由(1)得ƒ＝sin(2－)＝，所以sin＝.由＜α＜得0＜α－＜，所以cos＝＝＝.因此cos＝sinα＝sin＝sincos＋cossin＝＋＝.18．，[2022·重庆卷] 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．(注：假设三个数a，b，c满足a≤b≤c，那么称b为这三个数的中位数)18．解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P＝＝.(2)X的所有可能值为1，2，3，且P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，故X的分布列为X123P从而E(X)＝1＋2＋3＝.19．，[2022·重庆卷]如图1­3所示，四棱锥P­ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝，M为BC上一点，且BM＝，MP⊥AP.(1)求PO的长；(2)求二面角A­PM­C的正弦值．图1­319．解：(1)如下列图，连接AC，BD，因为四边形ABCD为菱形，所以AC∩BD＝O，且AC⊥BD.以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O­xyz.因为∠BAD＝，所以OA＝AB·cos＝，OB＝AB·sin＝1，所以O(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，C(－，0，0)，＝(0，1，0)，＝(－，－1，0)．由BM＝，BC＝2知，＝＝，从而＝＋＝，即M.设P(0，0，a)，a＞0，那么＝(－，0，a)，＝.因为MP⊥AP，所以·＝0，即－＋a2＝0，所以a＝或a＝－(舍去)，即PO＝.(2)由(1)知，＝，＝，＝.设平面APM的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面PMC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．由n1·＝0, n1·＝0，得故可取n1＝.由n2·＝0，n2·＝0，得故可取n2＝(1，－，－2)．从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝＝－，故所求二面角A­PM­C的正弦值为.20．[2022·重庆卷] 函数f(x)＝ae2x－be－2x－cx(a，b，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c.(1)确定a，b的值；(2)假设c＝3，判断f(x)的单调性；(3)假设f(x)有极值，求c的取值范围．20．解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝2ae2x＋2be－2x－c，由f′(x)为偶函数，知f′(－x)＝f′(x)，即2(a－b)(e2x－e－2x)＝0.因为上式总成立，所以a＝b.又f′(0)＝2a＋2b－c＝4－c，所以a＝1，b＝1.(2)当c＝3时，f(x)＝e2x－e－2x－3x，那么f′(x)＝2e2x＋2e－2x－3≥2－3＝1>0，故f(x)在R上为增函数．(3)由(1)知f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c，而2e2x＋2e－2x≥2＝4，当且仅当x＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论：当c<4时，对任意x∈R，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c>0，此时f(x)无极值．当c＝4时，对任意x≠0，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－4>0，此时f(x)无极。