2022年高中数学竞赛标准教材(第十二章立体几何).docx

优秀学习资料欢迎下载第十二章 立体几何一、基础学问公理 1 一条直线；上假如有两个不同的点在平面；内．就这条直线在这个平面内，记作： a a．公理 2 两个平面假如有一个公共点， 就有且只有一条通过这个点的公共直线， 即如 P∈α ∩β ，就存在唯独的直线 m，使得 α∩ β=m,且 P∈m；公理 3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面；即不共线的三点确定一个平面． 推论 l 直线与直线外一点确定一个平面．推论 2 两条相交直线确定一个平面．推论 3 两条平行直线确定一个平面．公理 4 在空间内，平行于同始终线的两条直线平行．定义 1 异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的角中，不超过 900 的角叫做两条异面直线成角．与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离．定义 2 直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外．直线与平面相交和直线与平面平行〔 直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行 〕 统称直线在平面外．定义 3 直线与平面垂直：假如直线与平面内的每一条直线都垂直，就直线与这个平面垂直．定理 1 假如一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，就直线与平面垂直．定理 2 两条直线垂直于同一个平面，就这两条直线平行．定理 3 如两条平行线中的一条与一个平面垂直，就另一条也和这个平面垂直．定理 4 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离，如一条直线与平面平行，就直线上每一点到平面的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离．定义 5 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线．由斜线上每一点向平面引垂线，垂足叫这个点在平面上的射影．全部这样的射影在一条直线上，这条直线叫做斜线在平面内的射影．斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角．结论 1 斜线与平面成角是斜线与平面内全部直线成角中最小的角．定理 4 〔三垂线定理 〕 如 d 为平面；的一条斜线， b 为它在平面 a 内的射影， c 为平面 a 内的一条直线，如c b，就 c a．逆定理：如 c a，就 c b．定理 5 直线 d 是平面 a 外一条直线，如它与平面内一条直线 b 平行，就它与平面 a 平行定理 6 如直线；与平面 α平行，平面 β经过直线 a 且与平面 a 交于直线 6，就 a//b ． 结论 2 如直线；与平面 α和平面 β都平行，且平面 α与平面 β相交于 b，就 a//b ．定理 7 〔等角定理 〕假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，就两个角相等． 定义 6 平面与平面的位置关系有两种：平行或相交．没有公共点即平行，否就即相交．定理 8 平面 a 内有两条相交直线 a， b 都与平面 β 平行，就 α // β.定理 9 平面α 与平面 β 平行，平面 γ ∩α =a， γ∩ β=b，就 a//b．定义 7 〔二面角 〕 ，经过同一条直线 m 的两个半平面 α , β〔 包括直线 m，称为二面角的棱 〕 所组成的图形叫二面角，记作 α —m— β，也可记为 A—m 一 B，α —AB—β 等．过棱上任意一点 P 在两个半平面内分别作棱的垂线 AP ， BP，就∠ APB〔 ≤ 900〕 叫做二面角的平面角．它的取值范畴是 [0 ，π]．特殊地，如∠ APB ＝900，就称为直二面角，此时平面与平面的位置关系称为垂直，即 α β .定理 10 假如一个平面经过另一个平面的垂线，就这两个平面垂直．定理 11 假如两个平面垂直，过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面内．定理 12 假如两个平面垂直，过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直．定义 8 有两个面相互平行而其余的面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边 〔称为侧棱 〕都相互平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．两个相互平行的面叫做底面．假如底面是平行四边形就叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．底面是矩形的直棱柱叫做长方体．棱长都相等的正四棱柱叫正方体．定义 9 有一个面是多边形 〔这个面称为底面 〕，其余各面是一个有公共顶点的三角形的多面体叫棱锥． 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥．定理 13 〔 凸多面体的欧拉定理 〕设多面体的顶点数为 V ，棱数为 E，面数为 F，就V+F-E=2 ．定义 10 空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面．球面所围成的几何体叫做球．定长叫做球的半径，定点叫做球心．定理 14 假如球心到平面的距离 d 小于半径 R，那么平面与球相交所得的截面是圆面，圆心与球心的连线与截面垂直．设截面半径为 r，就 d2+r 2＝ R2．过球心的截面圆周叫做球大圆．经过球面两点的球大圆夹在两点间劣弧的长度叫两点间球面距离．定义 11 〔经度和纬度 〕用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做纬线．纬线上任意一点与球心的连线与赤道平面所成的角叫做这点的纬度．用经过南极和北极的平面去截地球所得到的截面半圆周〔以两极为端点 〕叫做经线，经线所在的平面与本初子午线所在的半平面所成的二面角叫做经度，依据位置不同又分东经和西经．定理 15 〔祖 原理〕夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，假如截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等 .定理 16 〔三面角定理 〕从空间一点动身的不在同一个平面内的三条射线共组成三个角．其中任意两个角之和大于另一个，三个角之和小于 3600．定理 17 （面积公式）如一个球的半径为 R，就它的表面积为 S 球面 =4π R2；如一个圆锥的母线长为 l ，底面半径为 r，就它的侧面积 S 侧=πrl.4定理 18 （体积公式）半径为 R的球的体积为 V 球 =3R ；如棱柱（或圆柱）的底面积为 s，高 h，就它31的体积为 V=sh；如棱锥（或圆锥）的底面积为 s，高为 h，就它的体积为 V=3sh.定理 19 如图 12-1 所示，四周体 ABCD中，记∠ BDC=α，∠ ADC=β，∠ADB=γ，∠ BAC=A，∠ ABC=B，∠ACB=C； DH 平面 ABC于 H；（1） 射影定理： SΔ ABD.cos Ф=SΔ ABH，其中二面角 D—AB—H 为Ф；sinsinsin（2） 正弦定理： .sin A sin B sin C（3） 余弦定理： cosα =cosβcos γ+sin β sin γcosA.cosA=-cosBcosC+sinBsinCcos α .（4） 四周体的体积公式 V1DH.SΔ ABC3= 1 abc 16cos2cos2cos22 coscoscos1aa1 d sin6（其中 d 是 a1, a 之间的距离， 是它们的夹角）2SΔABD.SΔ ACD.sinθ 〔 其中θ为二面角 B— AD— C的平面角 〕 ；3a二、方法与例题1. 公理的应用；例 1 直线 a,b,c 都与直线 d 相交，且 a//b,c//b ，求证： a,b,c,d 共面；[ 证明] 设 d 与 a,b,c 分别交于 A,B,C, 由于 b 与 d 相交，两者确定一个平面，设为 a. 又由于 a//b ，所以两者也确定一个平面，记为 β；由于 A∈α ，所以 A∈β ，由于 B∈ b，所以 B∈β ，所以 d β. 又过 b,d 的平面是唯独的，所以 α， β是同一个平面，所以 a α. 同理 c α . 即 a,b,c,d 共面；例 2 长方体有一个截面是正六边形是它为正方体的什么条件？[ 解] 充要条件； 先证充分性， 设图 12-2 中 PQRSTK 是长方体 ABCD-A 1B 1C1D 1 的正六边形截面， 延长 PQ， SR 设交点为 O，由于直线 SR 平面 CC 1D1D，又 O∈直线 SR，所以 O∈平面 CC1D1D，又由于直线 PQ 平面 A 1B1 C1D 1 ，又 O∈直线 PQ，所以 O∈平面 A1B1C1 D1；所以 O∈直线 C1 D1，由正六边形性质知，∠ ORQ∠=OQR=600，所以ΔORQ为正三角形，由于 CD//C D，所以 CR SR =1；所以 R 是 CC 中点，同理 Q 是 B C1 1 1 1 1C1 R RO的中点，又 ΔORC1≌ ΔOQC1 ，所以 C1 R=C1Q，所以 CC1=C1B1，同理 CD=CC1，所以该长方体为正方体；充分性得证；必要性留给读者自己证明；2. 异面直线的相关问题；例 3 正方体的 12 条棱互为异面直线的有多少对？[ 解] 每条棱与另外的四条棱成异面直线， 重复计数一共有异面直线 12 4=48 对，而每一对异面直线被计48算两次，因此一共有224 对；例 4 见图 12-3 ，正方体， ABCD—A1B1 C1 D1 棱长为 1，求面对角线 A1 C1 与 AB1 所成的角；[ 解] 连结 AC，B1 C，由于 A1 A// B1 B// C1C，所以 A1A // C1 C，所以 A1ACC1 为平行四边形，所以 A1 C1 // AC；所以 AC 与 AB 1 所成的角即为 A1 C1 与 AB 1 所成的角，由正方体的性质 AB 1 =B1C=AC ，所以∠ B1AC=600；所以 A1 C1 与 AB 1 所成角为 600；3. 平行与垂直的论证；例 5 A， B，C， D 是空间四点，且四边形 ABCD 四个角都是直角，求证：四边形 ABCD 是矩形；[ 证明] 如 ABCD 是平行四边形， 就它是矩形； 如 ABCD 不共面， 设过 A ，B ，C 的平面为 α ，过 D作 DD10α于 D1，见图 12-4 ，连结 AD1，CD1，由于 AB AD1，又由于 DD1 平面α，又 AB α ，所以 DD1 AB，所以 AB 平面 ADD1，所以 AB AD1；同理 BC CD1，所以 ABCD1 为矩形， 所以∠ AD1C=90，但 AD1