线性代数居余马第4章 线性空间和线性变换.ppt
82页
第4章 向量空间和线性变换4.1 Rn的基及向量关于基的坐标定义4.1 设有序向量组B＝{1, 2,, n} Rn，若 B线性 无关，且 Rn 中任意一个向量 均可以由 B线性表示为 =a11 + a22 ++ ann 则称 B是Rn 的一组基（或基底），有序数组(a1, a2,,an)是 向量关于基B（或在基B下）的一组坐标(坐标向量),记作B= (a1, a2,,an) 或 B= (a1, a2,,an)TRn 的基不是唯一的，而在给定基下的坐标是唯一确定的Rn 中n个单位向量组成的基称为自然基在 R3 中， =a1 i + a2j + a3k向量(a1, a2, a3) 是关于自 然基{ i, j, k} 的一组坐标Rn中的向量 =(a1, a2,,an)T 也 是关于自然基B={e1, e2,, en}的坐标 B例1 Rn 有一组基B = {1, 2,, n}，其中 1 =(1, 1,,1), 2 = (0, 1,,1),, n = (0, 0,, 1) 求 = (a1, a2,, an) 在基 B下的坐标。
解 设B = (x1, x2,, xn)T，即 = x11+x22 ++ xnn=解这个方程组，得 x1 = a1, x2 = a2 a1, , xn = anan-1即所以， 在基 B下的坐标为B=（a1, a2 a1, , anan-1 ）T 则 1, 2,, n定理4.1 设 B1={1, 2,, n}是Rn的一组基, 且因1, 2,, n线性无关，i 的系数全为零, 线性无关的充要条件是的充要条件是由只有零解只有零解即只有零解 |A| 0证: 1, 2,, n线性无关及(i=1,,n)定义4.2 两组基B1=(1, 2,, n)和B2=( 1, 2,, n) 的关系，用矩阵的形式表示为矩阵A=(aij)nn叫做基B1变为基B2的变换矩阵(或称过渡矩阵) (1, 2,, n)=(1, 2,, n)过渡矩阵A是可逆的 A 的第 j 列是 j 在基{1, 2,, n} 下的坐标定理4.2 设基B1变为基B2的变换矩阵为A ，向量 在B1 ,B2下的坐标分别为证：由已知条件 =x1 1 + x2 2 ++ xn n= y1 1 + y2 2 ++ yn nA y=x 或 y= A1x则由于 在基 B1= (1,, n)下的坐标是唯一的，所以 = (1,, n) = (1,, n) = ((1,, n) A）(1,, n)= (1,, n) A例2 已知 B2= {1, 2, 3}是R3一组基， 1=(1, 2, 1)T , 2=(1, 1, 0)T, 3=(1, 0, 1)T。
求 R3 的自然基B1={e1, e2, e3} 到基B2的过渡矩阵A即得自然基B1到基B2的过渡矩阵解: 由x= A y 或 y=A1 x代入A 是1, 2, 3按列排成的矩阵例3 已知R3的两组基B1={1, 2, 3}, B2={1, 2, 3} 为1=(1, 1, 1)T, 2=(0, 1, 1)T, 3=(0, 0, 1)T 1=(1, 0, 1)T, 2=(0, 1, 1)T, 3=(1, 2, 0)T (1) 求基 B1到基 B2的过渡矩阵A; (2) 已知在基 B1下的坐 标为x=(1, 2, 1)T，求在基B2下的坐标y 1, 2, 3) = (1, 2, 3) 解(1) 设即为所求的过渡矩阵方法2 已知 在基 B1下的坐标为 x=(1, 2, 1)T，即 = 1 2 2 3=(1, 1, 2 )T在基 B2下的坐标为 y，则 = y1 1 + y2 2 ++ yn n在基 B2下的坐标 y ，由定理 4.2得 解(2) 方法1y=A1 x=求解即在平面直角坐标系中，坐标轴旋转的在平面直角坐标系中，坐标轴旋转的坐标变换公式坐标变换公式将坐标系将坐标系OxyOxy绕原点绕原点O按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转 角角,得 , OxyOxy的的自然基自然基B B1 1={={e e1 1,e ,e2 2}={(1,0),{0,1}}}={(1,0),{0,1}} 变换为 的基基B B2 2= =基基B B1 1变为基变为基B B2 2 的变换矩阵的变换矩阵A A. .由图得即设点设点P P在基在基B B1 1和和B B2 2下的坐标分别为下的坐标分别为( (x x , ,y y) )和和( ( ) ) ，则，则oxyxoP( ) P(x,,y)y4.2.1 n 维实向量的内积 欧氏空间4.2 Rn向量的内积 标准正交基和正交矩阵由定义易得内积有下列性质：, , Rn, R （1） (, ) ( , ) （对称性）； （2） (+, ) = ( , ) + (, ); （3）(, ) = ( , ); ((2) (3)称为线性性） （4）(,) 0, 等号成立当且仅当 = 0（非负性）。
空间几何向量的运算中，讲过向量的长度、夹角都可由 向量的内积表示，而且向量的内积满足4条运算规则定义4.3 设 = (a1, a2,, an)T, = ( b1, b2,, bn)T Rn , 规定, 的内积为 (, ) = a1b1+ a2b2 ++ anbn 当 , 为列向量时， (, ) = T= T现在，推广到 n 维实向量定义4.4 向量 的长度 定理4.3 向量 的内积满足 （称此为Cauchy-Schwarz不等式）证： 当 = 0时， ( , )=0， =0，结论成立； 当 0时，令 = + t (tRn), 则 (, ) 0 (, ) = (+, +) ( , ) + 2 ( , ) + ( , ) 2 0 由这个关于的二次三项式的非负性，即得其判别式上式等号成立当且仅当 , 线性相关（请同学自己证明）即 = (a1, a2,, an)T, = ( b1, b2,, bn)T 时，不等式为定义4.5 非零向量, 的夹角定义为=4 ( , ) 2 4 ( , )( , ) 0定义4.6 定义了内积运算的n维向量空间称为n维欧几里得 空间（欧氏空间，Euclid空间）。
当 时， (, )=0，得勾股定理： ‖ + ‖2=‖‖2+‖‖2R3 中的三角不等式和勾股定理：定理4.4 非零向量 , 正交(即 )当且仅当(, )=0由于零向量与任何向量的内积为零，所以零向量与任何向 量正交对n维空间也成立三角不等式的证明：4.2.2 4.2.2 标准正交基定理4.5 Rn中两两正交的不含零向量的向量组（也称 非零正交向量组） 1, 2,, m 是线性无关的证法2 反证法：设1, 2,, m线性相关，于是其中有一 个向量可由其余向量线性表示，不妨设 1= 2 2++m m 则 (1, j)= (22++jj++mm , j) （j 1）= 2 (2, j) ++ j( j, j) ++ m (m, j)=j(j, j) =0 而 (j, j) > 0，故j = 0 (j=2, 3,,m)，从而 1= 0 与定理的假设矛盾，故 1, 2,, m 线性无关证法1 直接证法设1 1+2 2++m m=0则 (1 1++j j++m m , j)= 1 (1, j) ++ j( j , j) ++ m (m , j)=j(j , j) =0而 (j, j)>0, 故j = 0 (j=1, 2,,m), 故1, 2,, m 线性无关。
例如自然基 e1, e2,, en 是一组单位正交基定义4.7设1, 2,, n Rn，若则称1, 2,, n为Rn 的一组标准正交基（或单位正交基）每个基向量都是单位长，而且基向量两两正交）解 设 = a1 1 ++ ai i++ an n, 作内积( , i) = a1(1, i)+ +ai(i, i)+ +an(n, i) = ai(i, i) = i , i =1, 2,, n所以， = ( , 1) 1+( , 2) 2++( , n) n例1 设B={1, 2,, n}是 Rn的一组标准正交基， 求Rn 中向量关于基B的坐标 在标准正交基 1, 2,, n下的坐标的第 i 个分量是 ( , i) ，即 在 i 上的投影4.2.3 4.2.3 施密特（施密特（Schmidt）正交化方法先看R3中，由一组基1, 2, 3 如何构造出一组单位正交基 令1 = 1, 求 2 在1上的投影向量12 ：取 2 = 2 12 = 2 k12 1o2 = 2 121=1122 则 2 1， 由于3 与1, 2不共面， 记 3在 1， 2平面上的投影向量为3 ，则3，2 ，1两两正交 。
再单位化，得则1,, 2 , 3为R3中的一组单位正交基o3= 3323323113为使m 与 i (i=1, 2,, m1) 正交，即 ( m, i )= ( m, i) + kim (i, i) = 0, 得由Rn中的一组基1, 2,, n构造一组单位正交基的方法：2 = 2 +k12 1由 1 , 2 线性无关， 2 0，使 2 1 (2, 1) = (2+k12 1 , 1 )=( 2, 1)+k12(1, 1)=0, 得再令3= 3+k23 2+k13 1使3 与 2 , 1正交，即 (3, 2 )= (3, 1) = 0, 取 1 = 1, 得继续做到求出两两正交的非零向量 1, 2,, m1, 再令m = m+km1, m m1++k2m 2+k1m 1(i=1, 2,, m1)m = m+km1, m m1++k2m 2+k1m 1当m=n时，即得两两正交的非零向量组（基） 1, 2,, n。
将代入得再将 1, 2,, n单位化，令则1, 2,, n为Rn 中的一组标准正交基称此法为施密特（施密特（ Schmidt）正交化方法Rn中的标准正交基不是唯一的例2 已知B={1, 2, 3 }是R3的一组基，其中1=(1, 1,0),2=(1,0,1), 3=(1, 1, 1)。
