2023年常微分方程考研复试真题及答案.doc

常微分方程计算题2．指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程,并说明理由;（1） ｔ+t+( t-1)u=0（2） =x+ｙ;（3）+=０3．求曲线族ｙ=Ce＋Cｘ e所满足的微分方程4.验证函数ｙ＝ Ce+ Ce是微分方程y-4y=0的解,进一步验证它是通解５.试用一阶微分方程形式不变性求解方程=2x6.什么叫积分一个微分方程?7.什么是求解常微分方程的初等积分法？８.分离变量一阶方程的特性是什么?９．求下列方程的通解（1） ｙ=sinx（2） xyｙ＋1=y（3） ｔｇx＝1+ｙ（4） =ｅｘp(2x-y）（5） ＝（6） xydx=（１-　ｙ+x-xy)dｘ（７)（ x＋1）( y-1)dx+xyｄy＝０10.叙述齐次函数的定义1１.试给出一阶方程y=f(ｘ,y）或p（x,y)ｄｘ+ q(x,y)dy＝0为齐次方程的特性说明二个方程的关系12.求解齐次方程通常用什么初等变换,新旧函数导数关系如何?1３.求解下列方程=１4．求解下列方程(1）（x+２y）dx—ｘdy=0 (2)　=+15. ＝16(x+y)dx—2xydy=017． =18―――――1920―――――――27２8――――３7３8――――4４4５――――4950――――5657――――６2６3――――6869―――71７2――――８182――――878８――――9２93――――94９5――――９79８――――10０10１――――10５106――――113114――――1222(1)未知函数u的导数最高阶为２,u，u,ｕ 均为一次，所以它是二阶线性方程。

2） 为y最高阶导数为1,而ｙ为二次,故它是一阶非线性常微分方程3） 果ｙ是未知函数,它是一阶线性方程;假如将x看着未知函数，它是一阶非线性方程3. 提醒：所满足的方程为y－2 y＋y＝04． 直接代入方程，并计算Jａcobi行列式５.方程变形为ｄy＝2xdx=ｄ（ｘ）,故ｙ= x+C6.　微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程微分方程的解又称为(一个)积分７.　把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法注意假如通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分假如不能用初等函数表达出来，我们也认为求解了这个微分方程，由于这个式子里没有未知函数的导数或微分8. y＝ｆ（ｘ,y)重要特性是f(ｘ,y)能分解为两个因式的乘积,其中一个因式仅具有x,另一因式仅含y,而方程ｐ（ｘ,y)dx+q(x，y)dy=0是可分离变量方程的重要特性,就像f（x,ｙ)同样，p,q分别都能分解成两个因式和乘积９（1） 积分得x=-coｓｘ+ｃ（2） 将方程变形为xｙdｙ=(ｙ-１)ｄx或=,当ｘｙ0，y1时积分得＋y+ln+＝c　(3）方程变形为＝dx，当y-1，sinx0时积分得　 　 　y=Csinx-１（４）方程变形为 exp(y）dy=exp(2x)dx,积分得exp(y)= exp(2x)＋C(5)当ｙ1时，求得通积分ln=ｘ+c(6)方程化为 xｙdx=(１- y)（1+x)dx或dx＝dy,积分得x-arｃtgx-ｌn+y=Ｃ(7)当x（y－－1)0时，方程变形得　 　　　 　ｄx+＝0两边积分并化简得　　 　　y＝1+eｘp（-x)10.二元函数f（ｘ,ｙ)满足f(rx,ry)=rｆ(x,y),ｒ.>0,则称f(x,ｙ)为m次齐次函数。

m=0则称它为０次齐次函数11.假如f(x,y)是0次齐次函数，则y＝f（x,y)称为齐次方程假如ｐ(ｘ,y)和q(x,y）同为m次齐次函数,则pdx+ｑdy＝0为齐次方程假如q0则＝－ f(x,y)，由p,q为m次齐次函数推知f(x，ｙ)为0次齐次函数故y＝f（x,y)为齐次方程1２．　求解齐次方程经常用变换y=zｘ.用函数乘积导数的公式得 　＝x＋ｚ13． 这是齐次方程令ｙ=zx, =x+ｚ,将方程化为z+x＝,并即ｘ=分离变量得积分得lｎ|n｜+ｌｎ（ｚ+２)-ln|z｜=ｌn｜C|,或=C用z=ｙ\x代入得本来的变量　x＋y＝Cｙ.注意y=０方程的解1４.（1） 当x0时,方程化为=１+２令ｙ=ux，则原方程化为x=1+u,当1+u0时,可分离变量得ｕ＋１=cx:;通解为y=ｃｘ+x（2） 作变换y=ｕx,则原方程化为2ｕdu=于是ｕ=ｌn｜x｜＋C,代回原变量，得通积分: 　　　 　 　　　y=ｘ（ｌn|x|+C) 15.　这是齐次方程令y=zx原方程化为-du=两边积分得　　－ln｜ｚ|＝lｎ|cｘ|用z=代入得ｙ=exp()y=0也是原方程的解１6.变形为= +　，令y=ux得=＝积分得-lｎ｜1－u|=ln|x｜--c,代原变量得通积分　x- y=cｘ17.　方程右边分子,分母两条直线交点为(x , y)=(-2,1)作变换u=x+2,v=y-1,原方程化为＝，此为齐次方程，令ｖ=uｚ，经简朴计算得ｄｚ＝，积分得＝C原方程通积分为 y=ｘ+c(x+y＋1）＋3１8―――――――1920――――２7２8―――――３73８――――４445――――49５0――――5657――――6263――――6８6９――――7172――――８１82――――8７88――――929３――――94９5――――９７98――――10010１――――1０5１06――――11３114――――１22　　 　　 　 　 　　 　 　　 　　 　 　 　 。