【新步步高】2016-2017学年高二数学北师大版必修5 2.2 三角形中的几何计算（课件） .pptx

§2 三角形中的几何计算,第二章 解三角形,高中数学必修5,目标定位,,【学习目标】,1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题； 2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用； 3. 能证明三角形中的简单的恒等式．,【重、难点】,重点：推 导三角形的面积公式并解决简单的相关题目. 难点：利 用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.,学习目标和重难点,知识链接,1. 三角形内角的变换：A+B=π−C， A+B 2 = π 2 − C 2,2. 三角形内的诱导公式：sin A+B =sinC，cos A+B =−cosC，tan A+B =−tanC，sin A+B 2 =cos C 2 ，cos A+B 2 =sin C 2 .,新知探究,问题1. 在∆ABC中，记边BC上的高 ℎ 𝑎 ，那么它如何用三角形的边和角表示？,答：如图，在下列三种情况下都有： ℎ 𝑎 =𝑐sin𝐵=𝑏sin𝐶,三角形面积公式,,知识链接,问题2. 你能否用所求的 ℎ 𝑎 表示三角形的面积？,问题3. 你能类比上面的公式再写出一个三角形的面积公式吗？,答：𝑆= 1 2 𝑏𝑐sin𝐴,答：把上面所求 ℎ 𝑎 =𝑐sin𝐵=𝑏sin𝐶 代入三角形的面积公式 𝑆= 1 2 𝑎ℎ，得𝑆= 1 2 𝑎𝑏sin𝐶= 1 2 𝑎𝑐sin𝐵,获取新知,三角形面积公式,∆ABC的面积公式：,𝑆= 1 2 𝑎𝑏sin𝐶= 1 2 𝑎𝑐sin𝐵= 1 2 𝑏𝑐sin𝐴,典例突破,（一）求距离,例1. 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．,典例突破,解: 在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°.由正弦定理，得 𝐴𝐵 𝑠𝑖𝑛∠𝐵𝐶𝐴 = 𝐴𝐶 𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐵𝐶 ，∴ sin∠ABC= 𝐴𝐶sin∠𝐵𝐶𝐴 𝐴𝐵 = 9sin30° 5 = 9 10 ∵ 𝐴𝐷//𝐵𝐶， ∴ ∠𝐵𝐴𝐷＝180°－∠𝐴𝐵𝐶，于是sin∠BAD=sin∠ABC= 9 10 .同理，在∆ABD中，𝐴𝐵=5，sin∠𝐵𝐴𝐷= 9 10 ，∠𝐴𝐷𝐵＝45°，解得𝐵𝐷＝ 9 2 2 .,（一）求距离,典例突破,【解题反思】在平面几何中，求线段的长度往往归结为求三角形的边长，求三角形边长一般会涉及正、余弦定理及勾股定理，恰当地选择或构造三角形是解决这类问题的关键．,（一）求距离,典例突破,变式1. 如图，在∆𝐴𝐵𝐶中，已知𝐵=45°，D是BC边上的一点，𝐴𝐷=5，𝐴𝐶=7，𝐷𝐶=3，求AB的长．,答：在∆ACD中，由余弦定理，得 cos 𝐶= 𝐴𝐶 2 + 𝐶𝐷 2 − 𝐴𝐷 2 2𝐴𝐶∙𝐶𝐷 = 7 2 + 3 2 − 5 2 2×7×3 = 11 14 .∵ C为三角形的内角， ∴ 𝐶∈(0,180°)，,（一）求距离,典例突破,∴ sin C＝ 1− cos 2 𝐶 = 1− 11 14 2 = 5 3 14 .在∆ACD中，由正弦定理得 𝐴𝐵 sin𝐶 = 𝐴𝐶 sin𝐵 ， ∴ AB= 𝐴𝐶∙sin𝐶 sinB = 7× 5 3 14 𝑠𝑖𝑛45° = 5 6 2 .,（一）求距离,典例突破,例2．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始作匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A作匀速直线滚动．如图所示，已知𝐵=4 2 dm，𝐴𝐷=17 dm，∠𝐵𝐴𝐶=45°. 若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？,（一）求距离与方向,典例突破,【解题反思】如何对实际问题建立数学模型？,答：把生活实际问题抽象为数学问题，建立数学模型．即把实际中的距离和角的大小问题转化为三角形中的几何元素，然后运用正、余弦定理加以解决．,（一）求距离与方向,典例突破,变式2. 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时 3 𝑎海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？,解：如图所示．设经过t小时两船在C点相遇，则在𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶=𝑎𝑡 海里 ，𝐴𝐶= 3 𝑎𝑡海里 ，𝐵=90°＋30°=120°， 由 𝐵𝐶 sin∠𝐶𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 sin𝐵 ，得,（一）求距离与方向,典例突破,sin∠CAB= 𝐵𝐶sin𝐵 𝐴𝐶 = 𝑎𝑡∙sin120° 3 𝑎𝑡 = 3 2 3 = 1 2 . ∵ 0°<∠CAB<90°， ∴ ∠CAB＝30°. ∴ ∠DAC＝60°－30°＝30°. ∴ 甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．,（一）求距离与方向,典例突破,（三）求面积,例3. 如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上， BC＝1，点P是⊙O半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形 PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．,(1) 若∠𝑃𝑂𝐵=θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数； (2) 求四边形OPDC面积的最大值．,典例突破,解：(1) 在△OPC中，由余弦定理，得 PC2=OP2＋OC2－2OP·OC·cos θ=5－4cos θ，所以y＝S△OPC＋S△PCD＝ 1 2 ×1×2sin θ＋ 3 4 × 5−4cos θ =2 sin θ− 𝜋 3 + 5 3 4 .(2) 当𝜃− 𝜋 3 ＝ 𝜋 2 ，即𝜃= 5𝜋 6 时， 𝑦 max =2＋ 5 3 4 .所以四边形OPDC面积的最大值为2＋ 5 3 4 .,（三）求面积,典例突破,解: 设CD＝x，则AD＝BD＝5－x，在∆𝐶𝐴𝐷中，由余弦定理，得cos∠𝐶𝐴𝐷= 5−𝑥 2 + 4 2 − 𝑥 2 2×(5−𝑥)×4 = 31 32 ，解得x＝1.在∆𝐶𝐴𝐷中，由正弦定理可知 𝐴𝐷 sin𝐶 = 𝐶𝐷 𝑠𝑖𝑛∠𝐶𝐴𝐷 ，,变式3. 如图，在△ABC中，𝐵𝐶＝5，𝐴𝐶＝4，cos∠𝐶𝐴𝐷＝ 31 32 ，且AD＝BD，求∆𝐴𝐵𝐶的面积．,（三）求面积,典例突破,∴ sin C= 𝐴𝐷 𝐶𝐷 ∙ 1− 𝑐𝑜𝑠 2 ∠𝐶𝐴𝐷 =4 1− 31 32 2 = 3 7 8 ∴ S△ABC＝ 1 2 AC·BC·sin C＝ 1 2 ×4×5× 3 7 8 ＝ 15 7 4 . ∴ 三角形ABC的面积为 15 7 4 .,（三）求面积,。