经济学的数学工具教学全套配套课件澳 DarrellATurkington等著吴汉洪等译 第十章 离散时间差分方程.ppt

第十章 离散时间 差分方程 第1节 引言和定义 变量只在离散时间区间的结尾处才发生变化 而时间变量 只能取非负的整数 差分算子 定义 的一阶向前差分为 其二阶向前差分为 阶差分方程会涉及 其一阶向后差分为 二阶向后差分为 阶向后差分方程会涉及 帕斯卡 杨辉 三角形 差分方程的表达式 阶差分方程 或者 阶线性差分方程为 或者 若系数为常数 则差分方程具有不变系数 若其等于零 则差分方程为齐次方程 定理 阶差分方程的通解中包括 个任意常数 如果 为非齐次线性常系数差分方程的特解而 为对应齐 次方程的通解 则 为该非齐次方程的通解 如果 和 为二阶线性常系数齐次方程的特解 那么该方 程的通解为 其中 和 为任意常数 第2节 一阶线性常系数差分方程 方程 直接代入可知 为该方程齐次形式的通解 而 为该非齐次方程的特解 则方程通解为 当 时 为 的潜在均衡点 第3节 二阶线性常系数差分方程 二阶线性常系数方程 齐次方程的通解 辅助方程 情形1 辅助方程不同实根 定理 此时齐次方程的通解为 情形2 辅助方程具有相同实根 定理 此时通解为 情形3 辅助方程具有共轭复根 定理 此时通解为 其中 由 定义 非齐次方程的特解 待定系数法 例 差分方程 代入向前差分算子 辅助方程为 其根为重根 对应齐次方程的通解为 对于方程右边的 待试特解为 代入可得 对于 先试解 但在齐次方程通解中已经出现 也是这样 则试解 代入可得 整个部分的特解为 非齐次差分方程的通解为 特殊情形 其一个特解 潜在均衡点 为 辅助方程 情形1 辅助方程具有不等实根 此时通解为 当且仅当两根绝对值都小于1 时间路径收敛 若两根均为负或者为负根绝对值较大 则时间路径存在振 荡 情形2 相等实根 此时通解为 当且仅当该重根绝对值小于1时 时间路径收敛 若该重根为负 则时间路径存在振荡 情形3 共轭复根 此时通解为 必存在振荡 若 为爆炸式的振荡 若 所 得时间路径为不断衰减的振荡且收敛于 定义 复数 或 的绝对值为 三种情形都可能存在振荡 当且仅当每个根的绝对值都小 于1时 所得时间路径收敛 第4节 考察二次方程根的性质 二次方程 其根为 有 有如下关系 i 若 则两根符号相同 若同时 则为两正根 若 则为两负根 ii 若 则一根为负而另一根为正 辅助方程 其两根绝对值小于1的充分必要条件为 i ii iii 第5节 经济学应用 蛛网模型 基本蛛网模型 需求 供给 供求相等可得一阶常系数差分方程 其特解 潜在均衡点 为 通解为 已知 从而 为负而 的时间路径必然 存在振荡 当且仅当 时 该时间路径收敛 扩展蛛网模型 需求 供给 供求相等可得 其一个特解为 辅助方程 情形1 不等实根 此时 其根为 两根都为负 存在振荡 当下列条件成立时 时间路径收敛 i 也即 ii 也即 iii 也即 情形2 相等实根 此时 同样存在振荡 时间路径收敛的条件为 或者 情形3 共轭复根 此时 存在振荡 根的绝对值小于1时时间路径收敛 即 也即 萨缪尔森乘数加乘数模型 可得 一特解 潜在均衡值 为 辅助方程 其根为 情形1 不等实根 两根都为正 不存在循环 设 较大 至于是否收敛 分几种情形 i ii iii iv v 考虑 有 i 其为可行的 ii 其不可行 iii 其不可行 iv 其可行 v 和 可行 还有两种可能的情形 子情形 收敛无振荡时间路径 此时 和 子情形 发散无振荡时间路径 此时 和 情形2 相等实根 此时 无循环 子情形 时间路径收敛 和 子情形 时间路径发散 和 情形3 共轭复根 必然存在振荡 是否收敛取决于复根的绝对值 子情形 收敛振荡 此时 子情形 发散震荡 此时 第6节 高阶线性差分方程 阶线性差分方程 辅助方程 定理 根的绝对值都小于1的充分必要条件为下述 个行列式都 为正 。