有限元板壳单元机械仪表工程科技专业资料.pdf

第七章第七章板壳单元板壳单元对于小挠度弹性薄板弯曲问题，板的变形完全由垂直于板面的挠度w确定，在一般情况下，取w和它的一阶、二阶导数为参数进行数值计算当前用来离散薄板的单元多用四边形或三角形单元，相邻之间有弯矩传递，所以将节点看成刚性的7.1 弹性板的弯曲弹性板的弯曲设板的中面在xy 平面上，即z = 0表示板的中面，在板理论中，一般假设板的中面是一中性面，也就是在没有面内力时，中面上的三个应变 εx =εy =γxy = 0 另一个基本假设即为所谓的直法线假定：变形前垂直于中面的法线变形后仍然保持直线，但是不一定仍然垂直于变形后的中面这条直线有绕y 和x 轴的转角分别为ψx 和ψy 则距离中面距离为z 的任意点的位移和应变分别是''xyxx xyy yuzvzzzψψεψεψ= −= −= −= −()''''xyx yy xyzyyxzxxzwwγψψγψγψ= −+=−=−这里w是板的横向挠度，假设它沿板的厚度方向不变，即εz =0 上式是Mindlin 板理论的基本假定如果假定变形后的法线仍然是变形后中面的法线，即w,x =ψx和w,y =ψy ，则式中的两个横向剪切应变γyz 和γxz 为零，这就退化为Kirchhoff 板理论。

当板足够薄时，用Kirchhoff 板理论能得到符合实际的结果在板理论中经常用内力，即弯矩和剪力来表示，它们与应力之间的关系为：/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2hhhxxyyxyxyhhhhhxxzyyzhhxyxyxyMzdzMzdzMzdzQdzQdzMMMσστττ−−−−−=====∫∫∫∫∫式中、是弯矩，是扭矩，、是剪力对于线弹性材料，板内的应力应变关系为：()2101010012xxxyyyxyxyxyEDσεεμσμεεμμτγγ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥==⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥−⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩⎭7.1.1 Kirchhoff板理论板理论由于忽略横向剪切变形，即，因此板内所有的力学量都能用挠度w表示：''xxyywwψψ==和()()'''32101000122=12 1xxxyyyxyxyMwMDwMwDEhDμμμμ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥= −⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥−⎣⎦⎩⎭⎩⎭−式中，抗弯刚度 为7.1.2 Mindlin板理论板理论根据Mindlin板理论的假设，中面法线在变性后不再垂直于中面，因此必须采用3个位移分量来描述板内的变形，即xywψψ、和''''xx xyy yxyx yy xzεψεψγψψ⎧⎫⎧⎫ ⎪⎪⎪⎪= −⎨⎬⎨⎬ ⎪⎪⎪⎪+⎩⎭⎩⎭则内力与位移的关系为：()''''10 100012xx xyy yxyx yy xMMDMψμμψμψψ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥= −⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥−+⎣⎦⎩⎭⎩⎭另外为了修正横向剪应力沿板厚均匀分布导致的误差，引入了所谓剪切修正因子κ 来修正剪力，即() ()''xxxyyyQGh wQGh wκψκψ=−=−应用有限元法求解板弯曲问题时，用一些离散的板单元代替原来连续的结构。

每个结点有三个广义位移分量，即挠度w，绕x 轴的转角xθ和绕y 轴的转角y θ挠度w的正方向跟z 轴一致，转角则以按右手螺旋法则标出的矢量沿坐标轴正向为正7.2 矩形薄板单元矩形薄板单元每一个节点有三个位移分量，即挠度w， x θ和y θ则单元位移列阵和节点力列阵分别为：{}111222333444Te xyxyxyxywwwwδθθθθθθθθ=111222333444Te zxyzxyzxyzxyPfMMfMMfMMfMMθθθθθθθθ⎡⎤=⎣⎦（（1）单元位移场的表达）单元位移场的表达与平面问题矩形单元类似，引入自然坐标系（ξ,η）由于每个节点有3个位移分量，所以选取含有12个参数的多项式作为位移模式：223 123456722333 89101112waaaaaaaaaaaaξηξξηηξξ ηξηηξ ηξη=+++++++++++可以得到转角：2 3368232 91011121(2233)xwwaaaaybbaaaaθξηξηξηηξξη∂∂===+++∂∂++++2 2457223 8911121(2323)ywwaaaaxaaaaaaθξηξξξηηξ ηη∂∂=== −+++∂∂++++由节点位移条件可求得待定系数a1至a12：再代入位移模式整理后得到：()()()()()()()()()()412222112/8111/8111/8e iixixiyiyi iiiiiixiiiiyiiiiwN wNNNNNbNaθθδξξηηξξηηξηηξξηηηξξξηηξ==++==++++−−= −++−=++−∑其中形函数：（（2）单元应变场的表达）单元应变场的表达由弹性力学几何方程有：[]''1234'2 ''' 2 ''''''2// 1//(1,2,3,4)2/22xxx e yyyxyxyiii xxii yyiiiii xywz wz B B BBwNabNaNBNNbaNbiabNabNNξξξξηηηηξηξηεεδγ⎧⎫⎧⎫ ⎪⎪⎪⎪= −=⎨⎬⎨⎬ ⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪= −= −= −=⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭式中（（3）单元应变力的表达）单元应变力的表达由物理方程有：[ ]21010100 12EDμμμμ⎡⎤ ⎢⎥=⎢⎥−⎢⎥−⎣⎦[]eeDSσεδ=⋅=⋅（（4）单元刚度矩阵）单元刚度矩阵单元刚度矩阵的分块子矩阵的公式：311211( ,1,2,3,4)12TT ijiiiihKz B DBdxdydzB DBabd di jξ η −−===∫∫∫∫ ∫把应变矩阵B和弹性矩阵D代入并运算得到：111213212223313233ijaaaKaaaaaa⎡⎤ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦式中9个元素为：222211000022222212002222130022222102231514455323515532351553235155iijiijjjbabaaHababaaaHbbbbbaHaaaaaaHbbbξημξ ημξ ηημξ ημξηξμξ ημξ ηημ⎡⎤⎛⎞⎛⎞=++−++⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎡⎤⎛⎞= −++++⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦⎡⎤⎛⎞=++++⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦⎛⎞= −++++⎜⎟⎝⎠()()()()02 2 22000022 135533iaaHbbξ ημ ξηξη⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ ⎡⎤=−++++⎢⎥⎣⎦()()()()()()()()2322310022322 2 330000200153235155152 135533,,60ijijjjiijijijijaH abbbaHaaaaH abbaHaaDHabμξξηημξ ηξμξημξξηημ ηξξηξξξ ηηη= −++⎡⎤⎛⎞=++++⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦= −++⎡⎤=−++++⎢⎥⎣⎦===式中7.3 基于基于Mindlin板理论的四边形单元板理论的四边形单元基于Kirchhoff 薄板理论的薄板矩形单元忽略了剪切变形的影响。

由于Kirchhoff 板理论要求挠度的导数连续，给构造协调单元带来了不少麻烦为此，采用考虑剪切变形的Mindlin 板理论来克服这种方法比较简单，精度较好，并且能利用等参变换，得到任意四边形甚至曲边四边形单元，因而实用价值较高根据Mindlin板理论的假设，板内任意一点的位移由3个广义位移确定，为了与有限元的节点位移相对应，采用的位移列阵为：,,xywψ ψ{}111222333444Te xyxyxyxywwwwδθθθθθθθθ=,xyyxθψθψ== −（（1）单元位移场的表达）单元位移场的表达()[]4112e iixixiyiyi iNwN wNNNNN NN?θθδ==++=⋅=∑其中形函数：（（2）单元应变场的表达）单元应变场的表达Mindlin 板理论考虑了横向剪切变形，因此应变有5 个分量，即()yxxyxyyxyzxyzxzxzyzyxwywxθε θεεγθθγθθγ∂∂⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪− ∂∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪==∂∂ −∂∂⎨⎬⎨⎬ ⎪⎪⎪⎪∂∂ −⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪∂∂ +⎩⎭⎩⎭把位移模式代入得到：[][]1212,00 0 00(1,2,. )0 0besbbbbnssssnii i i bisi i i iizBBBBBBBBBBN NxNNyBBinyNNNNx xy??εδ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ==⎡⎤∂⎢⎥∂⎡⎤∂⎢⎥−⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥=−==⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎣⎦−⎢⎥∂∂⎣⎦式中，（（3）单元应力场的表达）单元应力场的表达相应的应力也有5 个分量，它们与应变的关系是：xxyyb xyxy syzyzzxzxbbessDDDzBDBσεσεστγτγτγδ⎧⎫⎧⎫ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎡⎤⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（（4）单元刚度矩阵）单元刚度矩阵单元刚度矩阵为：/2/230012hbbeTT bshssTT bbbsssDzBKzBBdxdydzDBhB D B dxdyhB D B dxdy− ΩΩΩ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+∫∫∫∫∫∫∫。