初等变换,逆矩阵,矩阵的秩A层.docx

线性代数A 教案标题：矩阵的初等变换教学目标：4 •理解矩阵的初等变换的概念2. 掌握用初等变换化矩阵为行阶梯矩阵及行最简形矩阵教学重点及难点：教学重点：用初等变换化矩阵为行阶梯矩阵及行最简形矩阵教学难点：用初等变换化矩阵为行阶梯矩阵及行最简形矩阵教学内容(教学时数：2 )矩阵的初等变换、复习旧知复习矩阵的概念二、内容精讲(一)矩阵的初等变换在计算行列式时，利用行列式的性质可以将给定的行列式化为上(下)三角行列式，从而简化行列式的计算，这些性质反映到矩阵上就是 矩阵的初等变换•定义1矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换(1) 交换矩阵的两行(交换i, j两行，记作r )■JX(2) 以一个非零的数k乘矩阵的某一行(第i行乘数k，记作n k)(3) 把矩阵的某一行的k倍加到另一行(第j行乘数k加到第i行，记+作 rs kr )j定义2若矩阵A经过有限次初等变换成矩阵 B,则称矩阵A和B食 价，记作A ~ B .矩阵之间等价关系具有下列基本性质：(1) 反身性 A ~ A ；(2) 对称性 若A ~ B ,则B ~ A ；备 注：注:一般地，称满足下列条件(1) 可画岀一条阶梯线，线的下方全是零；(2) 每个台阶只有一行，台阶数即为非零行的行数，阶梯线的竖线 后面的第一个元素是非零元，即非零行的第一个非零元 .的矩阵为行阶梯形矩阵•例如110-104)f1-11 ]L_01103[=0一3B =00o]1-3I004J000o丿例1判断下列矩阵哪些是阶梯形矩阵1•丿11( -)0 5 2(1) Ilo 1 7 )OOO100(2)<010丿/001603 P1 2(4)10解⑵、G) -1 _1例2求矩阵A 1 1-」J1的行阶梯形矩阵.111 1r r, 12 ・。

・解“ Vr ；00 2 r 300 2A 2r _2| 2+_ + >W 3 -1)I2 2 A 0 0 3 0 0 0I4 3 2 8例R求矩阵A_3 4 17的行阶梯形矩阵z1-1-2+「2 r3一般地，称满足下列条件的阶梯形矩阵为行最简矩形阵:(1)各非零行的首非零元都是1； (2)每个首非零元所在列的其余元素都是零定理1任一矩阵A总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵，并进而化为行最简行矩阵1 0 0列断下列矩阵耳否为彳彳最简形矩阵(1) 0102(2)000120012 00001(3) 01007 ooto1 0 0 1 0 0 1 3解(1)、 G)2 3化成标准形.3 5(2)X I ——J2 * 40120 0 0 210 0 0 一1X(-xL丄—I 2)0 1 1 1( 1)0 1 1 10 111备注:例6求矩阵A/ OZ1 )f 、10 1T1 0 :T1 0 ~0r丿I( 丿I1 丿101201212D的左上角是一个单位一般地，矩阵A严标准形D具有以下特点: 矩阵，其余元素全为零•H 0 1)例7『矩阵A=x2 z1R 2化成标准形解/fT2」4011 3 2戶、01110028三、同步练习匕063(1)(0一 07010 __ )17 5 1(3)04 4 1(2) I0 1 00 0 1I15 4 3 丿0 2 1(4)0 0 12. 判断下列矩阵是否为行最简形矩阵rD0102 0012to(2)0001300001(3)[00154]0100001010 0 0 0 oj10 00)I1q -13. 求矩阵A = -\2 1lo _2的行阶梯形矩阵.-;丿4.求下列矩阵的行阶梯形矩阵和行最简形矩阵(1)一22(2)5.求下列矩阵的标准形・I I01(D L23四、归纳小结1丿10本节主要学习了以下两个矩阵行阶梯形矩阵和最简形矩阵, 般矩阵化为这两个特殊矩阵・并会将一作业、讨论题、思考题:线性代数A教案标题：可逆矩阵教学目标：4•逆矩阵的定义性质2. 初等变换求矩阵的逆教学重点及难点：教学重点：逆矩阵的定义性质，初等变换求矩阵的逆教学难点：初等变换求矩阵的逆教学内容（教学时数：2 ）备 注:可逆矩阵一、 复习旧知1＞矩阵的乘法.2、矩阵的初等变换.二、 内容精讲1 •逆矩阵的概念我们知道，在数的运算中,对于数a h o，总存在唯一的一个数&使解 AB=12 0 I^3 1BAf 1 J(2 0、\-01■213 1 )BI 3 J1例1已知矩阵A =2-•32 ok1 J 2o]1，判断B是否为A的逆矩阵。

故A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵.2.逆矩阵的性质关于逆矩阵，有以下性质:(1)若矩阵有逆矩阵，则逆矩阵唯一2)若矩阵(3)若矩阵可逆，则11__ ・A也可逆，且(A「=(A_)1 T可逆，则#也可逆，且 1(4)若矩阵A、B为同阶可逆方阵，则T AAAB也可逆，且(5)若矩阵hlABA可逆，则A1A3.逆矩阵的求法(一)伴随矩阵及逆矩阵的求法对于一个n阶矩阵A来说，逆矩阵可能存在，也可能不存在.我们需要研究：在什么条件下n阶矩阵A可逆？如果可逆，如何求逆矩阵1A ?为此先介绍一个概念.定义2设A数・・IJ是n阶方阵Aj…(ay )n 的行列式A中的元素的代余子式，矩阵A*A • • A…・11 21IA A♦・A・•…a12 22A 7T"1 n 2 n称为矩阵A的伴随矩阵.n 2AnnJ1试求伴随矩阵A11AAl3A31A33所以J;★AA3 =一3,12=一 4,2,A21A2332（II由第一章中行列式按一行展开的公式八可得:丿aaaAA 21A n1A00111211aaaAA* =I A0A021222n1222I n2aaa nnAA nA00An22nn=AE同理，利用行列式按列展开公式可得:I ZAE即，对任一 n阶矩阵A，有 .A AA AEA（；A） （；A）A E由此我们得到:定理1 n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A是非奇异的，且当A可逆时,= —A*)(|11注：矩阵A是非奇异的即A 0.例3在例2中I的I矩阵A是否可逆？若可逆，求 A解经计算可得A 11,所以A可逆，而由例）2知于是A1111-394，问：当a、6-4—3_11-911411b、c、1111_5-1111111111d满足什么条件吋，矩阵A可逆？当解A- cbad be d I当ad》c工0时，|A|H0,从而A可逆.be—eA1 =此吋dad becbad beaad be ad be当ad七c=0时，|A|=0,从而A不可逆.1i (100 |i = l△ 120，的逆矩阵.:001例5求矩阵0= X X — =—:A 12(1) 2备注:A侖逆矩阵存在1 1A ( 1)11=_ +o2,1 2A ( 1)12_0 _0。