含两种竞争食饵和两种捕食者的捕食者食饵模型的定性分析.pdf

西北师范大学 硕士学位论文 含两种竞争食饵和两种捕食者的捕食者-食饵模型的定性分析 姓名：王永斌 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：伏升茂 2009-06 摘 要 本文主要讨论含两种捕食者和两种竞争食饵的捕食者-食饵模型                                            u1t= 4(d1u1+ a11u2 1) + u1(1 − u1− αu2− ε1u3− ε2u4), x ∈ Ω,t 0, u2t= 4(d2u2+ a22u2 2) + u2(1 − βu1− u2− γ1u3− γ2u4), x ∈ Ω,t 0, u3t= 4(d3u3+ a31u1u3+ a32u2u3+ a33u2 3) +u3(−1 + nε1u1+ nγ1u2),x ∈ Ω,t 0, u4t= 4(d4u4+ a41u1u4+ a42u2u4+ a44u2 4) +u4(−1 + nε2u1+ nγ2u2),x ∈ Ω,t 0, ∂ηu1= ∂ηu2= ∂ηu3= ∂ηu4= 0,x ∈ ∂Ω,t 0, ui(x,0) = ui0(i = 1,2,3,4),x ∈ Ω (1) 解的整体性态,其中Ω ⊂RN是边界光滑的有界区域, η是Ω的边界上的单位外法向 量.本文共分为三节. 第一节主要讨论模型(1)的常微分方程组形式的非负平衡点的稳定性. 第二节讨论弱耦合反应扩散系统(1)整体解的一致有界性和非负平衡点的稳定 性. 第三节应用能量估计方法和Gaglirdo-Nirenberg型不等式证明带自扩散和交错 扩散项的模型(1)在一维空间中非负整体解的存在性和一致有界性. 关键词:扩散;自扩散;交错扩散;正平衡点;整体解;稳定性. ii Abstract In this paper, global behavior of solutions for the following predator-prey model with two predators and two competitive preys is investigated                                            u1t= 4(d1u1+ a11u2 1) + u1(1 − u1− αu2− ε1u3− ε2u4), x ∈ Ω,t 0, u2t= 4(d2u2+ a22u2 2) + u2(1 − βu1− u2− γ1u3− γ2u4), x ∈ Ω,t 0, u3t= 4(d3u3+ a31u1u3+ a32u2u3+ a33u2 3) +u3(−1 + nε1u1+ nγ1u2),x ∈ Ω,t 0, u4t= 4(d4u4+ a41u1u4+ a42u2u4+ a44u2 4) +u4(−1 + nε2u1+ nγ2u2),x ∈ Ω,t 0, ∂ηu1= ∂ηu2= ∂ηu3= ∂ηu4= 0,x ∈ ∂Ω,t 0, ui(x,0) = ui0(i = 1,2,3,4),x ∈ Ω, (1) where Ω is a bounded region in RNwith smooth boundary ∂Ω , η denotes the outward unit normal vector on the boundary ∂Ω. The paper is divided into three sections. In Section 1, the stability of nonnegative equilibrium points for the model (1) of ODE type is discussed. In Section 2, the uniform boundedness of global solutions and the stability of the nonnegative equilibrium points for the model of the weakly coupled reaction-diff usion type are considered. In Section 3, using method of energy estimates and Gagliardo-Nirenberg type inequal- ities, the existence and uniform boundedness of nonnegative global solutions for the model (1) of cross-diff usion type are proved when the space dimension is one. Keywords: Diff usion; self-diff usion; cross-diff usion; positive equilibrium point; global solution; stability. iii 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。

尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名：日期： 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文保密的论文在解密后 应遵守此规定） 签名:导师签名:日期: i 前言 种群生态学是生态学的一个重要分支. 由于捕食者和食饵之间的动力学关系的普遍 性和重要性[1], 使得捕食者-食饵模型始终是生态学领域重要的研究课题之一. 考虑到实 际生活当中, 一种捕食者不仅仅以一种食饵为食, 而且一种食饵一般也不仅仅被一种捕食 者所捕食, 本文主要讨论源自文[2]的含两类捕食者种群和两类竞争食饵种群的捕食者-食 饵模型                  u01(t) = u1(t)(1 − u1(t) − αu2(t) − ε1u3(t) − ε2u4(t)), u02(t) = u2(t)(1 − βu1(t) − u2(t) − γ1u3(t) − γ2u4(t)), u03(t) = u3(t)(−1 + nε1u1(t) + nγ1u2(t)), u04(t) = u4(t)(−1 + nε2u1(t) + nγ2u2(t)) (0.1) 解的整体性态, 其中系数 α, β, n, εi, γi(i = 1,2) 均为正常数, u1, u2分别表示两种食饵种 群的密度函数, u3, u4分别表示两种捕食者种群的密度函数, n 表示捕食者的转化率, εi, γi(i = 1,2)是食饵因被捕食所造成的衰减系数, α, β是两种食饵之间的竞争率. 对模型(0.1)解的长时间性态人们已做了深入研究, 参阅文献[2-4]. 最近, 文[5]获得了 该模型永久持续生存和绝灭的条件. 生态圈中生物种群在生存的区域内具有迁移的本能. 为考虑生物种群的增长依赖于 空间分布的情况, 需要研究相应于模型 (0.1) 的捕食者－食饵扩散模型                                            u1t− d14u1= u1(1 − u1− αu2− ε1u3− ε2u4),x ∈ Ω,t 0, u2t− d24u2= u2(1 − βu1− u2− γ1u3− γ2u4),x ∈ Ω,t 0, u3t− d34u3= u3(−1 + nε1u1+ nγ1u2),x ∈ Ω,t 0, u4t− d44u4= u4(−1 + nε2u1+ nγ2u2),x ∈ Ω,t 0, ∂ηu1= ∂ηu2= ∂ηu3= ∂ηu4= 0,x ∈ ∂Ω,t 0 ui(x,0) = ui0(i = 1,2,3,4),x ∈ Ω, (0.2) 其中Ω ⊂ RN是边界光滑的有界区域, η 是边界∂Ω 上的单位外法向量, 正常数di(i = 1 前 言 1,2,3,4) 是扩散系数, 初值ui0(i = 1,2,3,4) 是Ω 上非负且不恒为零的光滑函数. 由于种群的增长规律不仅依赖于时间变化和空间位置的变化, 当种群的密度达到一 定程度后, 还要考虑种群内部及种群之间的相互作用所产生的扩散现象, 即自扩散现象和 交错扩散现象[24,25], 我们把模型 (0.2)推广到如下强偶合形式 u1t= 4(d1u1+ α11u2 1+ α12u1u2+ α13u1u3+ α14u1u4) +[1 − u1− αu2− ε1u3− ε2u4]u1,x ∈ Ω,t 0, u2t= 4(d2u2+ α21u1u2+ α22u2 2+ α23u2u3+ α24u2u4) +[1 − βu1− u2− γ1u3− γ2u4]u2,x ∈ Ω,t 0, u3t= 4(d3u3+ α31u1u3+ α32u2u3+ α33u2 3) +[−1 + nε1u1+ nγ1u2]u3,x ∈ Ω,t 0, u4t= 4(d4u4+ α41u1u4+ α42u2u4+ α44u2 4) +[−1 + nε2u1+ nγ2u2]u4,x ∈ Ω,t 0, ∂ui ∂η (x,t) = 0(i = 1,2,3,4),x ∈ ∂Ω,t 0, ui(x,0) = ui0(x) ≥ 0(i = 1,2,3,4),x ∈ Ω, (0.3) 其中Ω 是RN中边界光滑的有界区域, η 是边界∂Ω 上的单位外法向量, 正常数di(i = 1,2,3,4) 是扩散系数, aii(i = 1,2,3,4)是自扩散系数, 而 aij(i 6= j,i,j = 1,2,3,4) 是交错 扩散系数. 因讨论问题(0.3)解的整体存在性的需要, 具体地说, 由于建立(0.3)解的能量估计时所 遇到的困难, 我们仅在空间维数N = 1时讨论问题(0.3). 为方便起见, 取Ω = (0,1), 即讨 论问题 u1t= (d1u1+ α11u2 1+ α12u1u2+ α13u1u3+ α14u1u4)xx +[1 − u1− αu2− ε1u3− ε2u4]u1,x ∈ (0,1),t 0, 2 前 言 u2t= (d2u2+ α21u1u2+ α22u2 2+ α23u2u3+ α24u2u4)xx +[1 − βu1− u2− γ1u3− γ2u4]u2,x ∈ (0,1),t 0, u3t= (d3u3+ α31u1u3+ α32u2u3+ α33u2 3)xx +[−1 + nε1u1+ nγ1u2]u3,x ∈ (0,1),t 0, u4t= (d4u4+ α41u1u4+ α42u2u4+ α44u2 4)xx +[−1 + nε2u1+ nγ2u2]u4,x ∈ (0,1),t 0, uix= 0(i = 1,2,3,4),x = 0,1,t 0, ui(x,0) = ui0(x) ≥ 0(i = 1,2,3,4),x ∈ (0,1) (0.4) 解的整体存在性. 本文由3节组成. 主要讨论问题 (0.2)-(0.4)的解的整体性态, 即解的整体存在性、一 致有界性、非负平衡点的渐近稳定性等. 虽然对 (0.2)加上线性扩散项后的模型 (0.3)的 结果是新的(据作者所知), 但由于获得。