第二章传递函数梅逊公式.ppt

第二章第二章 自自动动控制系控制系统统的数学模型的数学模型2.3 传递传递函数与系函数与系统动态结统动态结构构图图2.3.1 传递传递函数的定函数的定义义设系统的标准微分方程为C(t)为输出量， r（t）为输入量编辑课件在系在系统满统满足零初始条件下足零初始条件下进进行拉氏行拉氏变换变换，得到，得到整理得传递函数，记作G（s）编辑课件 传递函数的定义：对线性定常系统（环节），在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，记作G(s)用方框图表示 G(s)R(s)C(s)C(s)=G(s)R(s)编辑课件2.3.2传递传递函数的性函数的性质质1）只适用于）只适用于线线性定常系性定常系统统，不适用于非，不适用于非线线性系性系统统或或时变时变系系统统2））传递传递函数是表征函数是表征线线性定常系性定常系统统或元件自身的固有特性，取决于它本或元件自身的固有特性，取决于它本身的身的结结构和参数，与其构和参数，与其输输入信号的大小、形式无关入信号的大小、形式无关3）表示了特定的）表示了特定的输输出量与出量与输输入量之入量之间间的关系4））传递传递函数是复函数是复变变量量S的有理分式，且分子、分母多的有理分式，且分子、分母多项项式的各式的各项项系数系数均均为实为实数，分母多数，分母多项项式的次数式的次数n大于等于分子多大于等于分子多项项式的次数式的次数m。

5））传递传递函数具有正、函数具有正、负负号（号（输输入量和入量和输输出量的出量的变变化方向）化方向） 6））传递传递函数的函数的单单位是位是输输出量的出量的单单位与位与输输入量的入量的单单位之比7））传递传递函数可以写成函数可以写成 ，，K=bm/an，，称称为为增益zj(j=1,2,…m)成成为传递为传递函数的零点，函数的零点，-pi(i=1,2,…n)成成为传递为传递函数的极点函数的极点编辑课件上图所示的是的零、极点分布图 编辑课件比比例例环环节节的的传传递递函函数数r(t)c(t)t0比例比例环节环节（无（无惯惯性性环节环节）：）： c(t)=kr(t) c(t)=kr(t) 传递传递函数：函数：G(S)=C(S)/R(S)=kG(S)=C(S)/R(S)=k阶跃阶跃响响应应：：R(S)=1/SR(S)=1/S C(S)=kR(S)=k/S C(S)=kR(S)=k/S方框方框图图：： C(t)=kC(t)=kk kR(S)R(S)C(S)C(S)1测测速速发电发电机：机：ωU(t)=KU(t)=Kt td dθ θ(t)/dt=k(t)/dt=kt tω ω(t)(t)G(S)=U(S)/G(S)=U(S)/Ω Ω(S)=K(S)=Kt tR R2 2R R1 1R RC(t)r(t)运算放大器：运算放大器：C(t)=RC(t)=R2 2/R/R1 1 r(t) r(t)G(S)=C(S)/R(S)=RG(S)=C(S)/R(S)=R2 2/R/R1 1= =K K 2.2 2.2 传递传递传递传递函数函数函数函数编辑课件微微分分环环节节的的传传递递函函数数微分微分环节环节：： c(t)= c(t)= K Kdr(t) /dtdr(t) /dt 传递传递函数：函数：G(S)=C(S)/R(S)= G(S)=C(S)/R(S)= K KS S方框方框图图：： K KS SR(S)R(S)C(S)C(S)4输入量取角度时的传递函数即为微分环节。

表示电机单位角速度的输出电压则测速发电机输出电压与输入角速度之间的关系为进行拉氏变换得到那么该元件的传递函数为ω测测速速发电发电机：机： 2.2 2.2 传递传递传递传递函数函数函数函数编辑课件微微分分环环节节的的传传递递函函数数一一阶阶微分微分环节环节：： c(t)= c(t)= T Tdr(t)/dt + r(t) dr(t)/dt + r(t) 传递传递函数：函数：G(S)=C(S)/R(S)= G(S)=C(S)/R(S)= T TS+1S+1方框方框图图：： T TS+1S+1R(S)R(S)C(S)C(S)5比例微分比例微分调节调节器：器： 根据根据电电路的基本定律得到以下方程路的基本定律得到以下方程组组 那么那么该该元件的元件的传递传递函数函数为为消去中消去中间变间变量得到量得到输输出、出、输输入入电压电压之之间间的关系的关系编辑课件积积分分环环节节的的传传递递函函数数3积积分分环节环节：： dc(t)/dt =kr(t)dc(t)/dt =kr(t) 传递传递函数：函数：G(S)=C(S)/R(S)=k/SG(S)=C(S)/R(S)=k/S阶跃阶跃响响应应：：R(S)=1/SR(S)=1/S，，C(S)=kR(S) C(S)=kR(S)  C(t)=ktC(t)=kt方框方框图图：：k/sk/sR(SR(S) )C(SC(S) )积积分分调节调节器：器：C CU Uc c(t)(t)R RU Ur r(t)(t)i i1 1i i2 2A A在在A A点列方程可得：点列方程可得：i i2 2=i=i1 1, , i i1 1=U=Uc c(t)/R(t)/RU Uc c(t)=1/C∫i(t)=1/C∫i2 2(t)dt=1/(RC)∫U(t)dt=1/(RC)∫Uc c(t)dt(t)dt设设RCRC＝＝T T（（积积分分时间时间常数），常数），则则有：有：U Uc c(t)=1/T∫U(t)=1/T∫Uc c(t)dt(t)dt拉氏拉氏变换变换后后为为：：U Uc c(S)=1/(TS)U(S)=1/(TS)Uc c(S)(S)传递传递函数函数为为：： G(S)= U G(S)= Uc c(S)/ U(S)/ Uc c(S) =1/(TS)(S) =1/(TS)＝＝k/Sk/S 2.2 2.2 传递传递传递传递函数函数函数函数编辑课件惯惯性性环环节节的的传传递递函函数数惯惯性性环节环节：：Tdc(t)/dt + c(t)=kr(t)Tdc(t)/dt + c(t)=kr(t) 传递传递函数：函数： G(S)=C(S)/R(S)=k/(TS+1)G(S)=C(S)/R(S)=k/(TS+1)阶跃阶跃响响应应：： R(S)=1/S R(S)=1/S C(S)=kR(S) C(S)=kR(S)方框方框图图：：C(t)=k(1-eC(t)=k(1-e-1-1/T)/T)2k/(TS+1)k/(TS+1)R(S)R(S)C(S)C(S)电电枢控制他励直流枢控制他励直流电动电动机：机：T Td d T Tm m d d2 2n(t)/dtn(t)/dt2 2 + T+ Tmm dn(t)/dt +n(t) dn(t)/dt +n(t) ＝＝U Ua a(t)/C(t)/Ce e若初若初值为值为0 0，上式的拉氏，上式的拉氏变换为变换为：：(T(Td d T TmmS S2 2 + T+ Tmm S +1)N(S)= U S +1)N(S)= Ua a(S)/C(S)/Ce e传递传递函数函数为为：： 1 1G(S)=N(S)/UG(S)=N(S)/Ua a(S)=(S)= C Ce e (T(Td d T TmmS S2 2 + T+ TmmS +1)S +1)若若电电枢枢电电感忽略不感忽略不计计，上式可以化，上式可以化简为简为：： 1 1G(S)=N(S)/Ua(S)=G(S)=N(S)/Ua(S)= Ce ( TmS +1) Ce ( TmS +1)运算放大器：运算放大器：R R2 2R R1 1R RC(t)r(t)C Ci i1 1 i i2 2A A传递传递函数函数为为：：G(S)=G(S)=（（R R2 2/R/R1 1)/(R)/(R2 2CS+1) CS+1) =K/(TS+1) =K/(TS+1) 2.2 2.2 传递传递传递传递函数函数函数函数当当T=∞T=∞编辑课件振振荡荡环环节节的的传传递递函函数数振振荡环节荡环节：：T2 d2r(t)/dt2 +2ζTdr(t)/dt +r(t) T2 d2r(t)/dt2 +2ζTdr(t)/dt +r(t) ＝＝r(t)r(t)传递传递函数：函数：G(S)=C(S)/R(S)=1/(T2S2 +2ζTS+1) G(S)=C(S)/R(S)=1/(T2S2 +2ζTS+1) 方框方框图图：： 6RLCRLC振振荡电荡电路：路：UcUcR RUrUri ic cL L电电路的微分方程路的微分方程为为：：LCdLCd2 2Uc/dtUc/dt2 2+RCdUc/dt+Uc=Ur+RCdUc/dt+Uc=Ur d d2 2Uc/dtUc/dt2 2+R/LdUc/dt+Uc=1/LCUr+R/LdUc/dt+Uc=1/LCUr令令ω ωn n=1/=1/√ √LCLC，，ζ ζ=0.5 R=0.5 R√ √C/LC/L则则上式的拉氏上式的拉氏变换为变换为：： (S (S2 2 + 2+ 2ω ωn nζ ζS+S+ω ωn n2 2)Uc(S)=)Uc(S)=ω ωn n2 2Ur(S)Ur(S) ω ωn n2 2 S S2 2 + 2+ 2ω ωn nζ ζS+S+ω ωn n2 2传递传递函数函数为为：： G(S)=Uc(S)/Ur(S) G(S)=Uc(S)/Ur(S)＝＝1 1T T2 2S S2 2 +2+2ζ ζTS+1TS+1R(S)R(S)C(S)C(S)编辑课件延延迟迟环环节节的的传传递递函函数数延延迟环节迟环节：： c(t)= r(t- τ) c(t)= r(t- τ) 传递传递函数：函数：G(S)=C(S)/R(S)= eG(S)=C(S)/R(S)= e-τs-τs方框方框图图：： 7e e-τs-τsR(S)R(S)C(S)C(S)轧钢轧钢厂厂带带厚度厚度检测检测元件元件: :则则滞后滞后时间为时间为：： τ τ＝＝l l/ /v v（（S)S)测测厚信号厚信号c(t)c(t)与厚差信号与厚差信号r(t)r(t)之之间间的关系的关系为为：： c(t) c(t)＝＝r(t-r(t-τ τ) )在零初始条件下，拉氏在零初始条件下，拉氏变换为变换为：： C(S)C(S) ＝＝R(S)eR(S)e- -τ τS S传递传递函数函数为为: G(S)= C(S)/R(S): G(S)= C(S)/R(S) ＝＝e e- -τ τS SA A点点产产生的生的误误差在差在B B点才被点才被检检测测到。

到设测设测厚厚仪仪距支架的距距支架的距离离为为l l，，带钢带钢运行速度运行速度为为v v 2.2 2.2 传递传递传递传递函数函数函数函数编辑课件2.3.1 动态结动态结构构图图动态结动态结动态结动态结构构构构图图图图是数学模型的图解化，它描述了组成系统的各元部件的特性及相互之间信号传递的关系，表达了系统中各变量所进行的运算 动动态态结结构构图图的的组组成成 1）信号线带有表示信号传递方向箭头的直线一般上写明该信号的拉氏变换表达式2）综合点3）引出点4）方 框在信号线上的“•”，表示信号引出的位置方框中为元部件或系统的传递函数，方框的输出量等于方框内的传递函数与输入量的乘积它完成两个以上信号的加减运算，以O 表示如果输入的信号带“＋”号，就执行加法；带“－”号就执行减法 2.3 2.3 动态结动态结动态结动态结构构构构图图图图与梅森公式与梅森公式与梅森公式与梅森公式编辑课件 2.3 2.3 动态结动态结动态结动态结构构构构图图图图与梅森公式与梅森公式与梅森公式与梅森公式动态结构图建立步骤是 建立系建立系统统各元部件的微分各元部件的微分方程要注意，必方程要注意，必须须先明确系先明确系统统的的输输入量和入量和输输出量，出量，还还要考要考虑虑相相邻邻元件元件间间的的负载负载效效应应。

按照系按照系统中各中各变量量传递顺序，依次序，依次连接接3）中得到的）中得到的结构构图，系，系统的的输入量放在左端，入量放在左端，输出量放在右端，即可得到系出量放在右端，即可得到系统的的动态结构构图 将得到的系将得到的系统统微分方程微分方程组进组进行拉行拉氏氏变换变换 按照各元部件的按照各元部件的输输入、入、输输出，出，对对各方程各方程进进行一定的行一定的变换变换，并据此，并据此绘绘出各元部件的出各元部件的动态结动态结构构图图1234编辑课件 2.3 2.3 动态结动态结动态结动态结构构构构图图图图与梅森公式与梅森公式与梅森公式与梅森公式RCRC无源网无源网络络U U1 1(S)-U(S)-U2 2(S)=I(S)=I1 1(S)R(S)R1 1=I=I2 2 (S) (S)／／／／CSCSI I1 1(S)+I(S)+I2 2 (S)=I(S) (S)=I(S)CR2R1U1U2I1I2IU U2 2(S)=I(S)R(S)=I(S)R2 2R2U2(S)I I1 1(S)(S)I I2 2(S)(S)I (S)I (S)步骤一 列写方程组步骤二 画出对应方程的部分结构图1／／R1U2(S)U1(S)_ΔU (S)CSI I1 1(S)(S)I I2 2(S)(S)步骤三 依次连接得到系统结构图编辑课件例：2.3-1 画出该系统的动态结构图解：该系统的输入量为ur，输出量为uc，根据电路其微分方程为：取拉氏变换编辑课件动态结构图如下：编辑课件例2.3-2 画出两级RC滤波网络的动态结构图解：该系统的输入量为ur，输出量为uc，根据电路其微分方程为：编辑课件取拉氏取拉氏变换变换动态结构图编辑课件2.4 系系统结统结构构图图的等效的等效变换变换与信号流程与信号流程图图、梅、梅逊逊公式公式2.4.1 系系统结统结构构图图的等效的等效变换变换 原则：变换前后保持系统中各信号间的传递关系不变一、三条基本法则：1、串联环节的等效传递函数为各环节传递函数之积对于n个环节串联，则有编辑课件2、并联环节的等效传递函数等于各并联环节传递函数的代数和 G1(s)G2(s)G(s)若若G2(s)为负为负反反馈馈，，对于n个环节并联，则有编辑课件3、反馈联接（闭环）G(s)H(s)—(+)Φ(s)编辑课件负负反反馈时馈时，分母，分母项项取取“+”；正反；正反馈时馈时，取，取“-”（1）前向通道：G(s)（2）反馈通道：H(s)（3）闭环的开环传递函数：（4）单位反馈系统：H(s)=1编辑课件任意一个非任意一个非单单位反位反馈馈系系统统，，总总可等效地可等效地变换变换成成单单位反位反馈馈系系统统G(s)H(s)—H(s)G(s)Hm(s)μ(s)Gc(s)Gv(s)Go(s)Cm(s)E(s)U(s)D(s)C(s)God(s)编辑课件二、其他等效变换法则1、连续综合点或引出点之间的次序可任意交换，但相邻的综合点与引出点之间不能任意简单交换（P44图2.4-2）编辑课件2、综合点或引出点只能在紧靠环节的前后两端移动，移动时中间不得夹杂引出点或综合点，并要等效。

综合点前移，所加的方框所加的方框为为移移过过方框的方框的传递传递函数的倒数函数的倒数，如图（a）所示综合点后，所加的方框所加的方框为为移移过过方框的方框的传递传递函数函数，如图（b）所示编辑课件 引出点前移，所加的方框所加的方框为为移移过过方框的方框的传递传递函数函数，如图（a）所示 引出点后移，所加的方框所加的方框为为移移过过方框方框传递传递函数的倒数函数的倒数，如图(b)所示3、通常综合点应有由综合点的方向移动，引出点应向引出点的方向移动编辑课件例2.4-1求下面系统结构图的的传递函数 解： 该结构图有三个闭环相互交叉，不能直接应用三条基本法则，先要移动其综合点或引出点，接触交叉这里有1、2、3三个综合点和a、b、c三个引出点1、将综合点2移至综合点1之前综合点前移，所加方框为移过方框传递函数的倒数，相邻综合点可以任意交换2、引出点b移至引出点c后面引出点后移，所加方框为移过方框传递函数的倒数，相邻引出点可以任意交换编辑课件等效等效为为：：编辑课件 例2.4-2 已知系统结构图如下，试用等效变换法求传递函数Φ(s)解：a既是综合点又是引出点，应把a点分成综合点a1和引出点a2，如下C(s)C(s)编辑课件思考思考题题1：： 化简所示的系统的结构图，求传递函数。

解：解：化简的方法是，先通过移动引出点和综合点，消除交叉连接，使用权动态结构图变成独立的回路，然后再进行串联、并联及反馈的等效变换，最后求得系统的传递函数编辑课件编辑课件思考思考题题2: 用方块图的等效法则，求所示系统的传递函数C(s)/R(s)解：解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统，如果不对它作适当的变换，就难以应用串联、并联和反馈连接的等效变换公式进行化简本题的求解方法是把图中的点A先前移至B点，化简后，再后移至C点，然后从内环到外环逐步化简 编辑课件 串联和并联 反馈公式编辑课件编辑课件思考题3：化简解：解：综合点1和2交换编辑课件编辑课件2.4.2信号流信号流图图与梅与梅逊逊公式公式1.信号流信号流图图的基本概念及的基本概念及绘绘制制节节点点——用以表示变量或信号的点称为节点，用符号 表示，相当于结构图上的信号线传输传输——两节点间的增益或传递函数称为传输支路支路——联接两个节点并标有信号流向的定向线段称为支路输输出支路出支路——背向节点的支路输输入支路入支路——指向节点的支路源点源点——只有输出支路而无输入支路的节点称为源点或输入节点。

阱点阱点——只有输入支路而无输出支路的节点称为阱点或输出节点混合混合节节点点——既有输入支路也有输出支路的节点称为混合节点 结结构构图变为图变为信号流信号流图图的不同的不同处处 P49 表表2.4-2编辑课件例2.4-4 已知两级RC滤波网络的动态结构图如下所示，试画出相应系统的信号流图解：①在结构图上用小圆圈表示各变量对应的节点综合点之后，引出合点之后，引出点之前必点之前必须设置一个置一个节点②由结构图上的信号的传递关系，自左到右，依次画出各节点间的支路，并表明相应的增益③增益为1可以省略，节点7处增加一条增益为1的输出支路，并增画节点8，表示系统的输出点编辑课件例2.4-5 根据结构图画信号流图编辑课件概念：概念：前向通路前向通路——如果在从源点到阱点的通路上，通过任何节点不多于一次，则该通路称为前向通路前向通路中各支路传输的乘积，称为前向通路总增益用Pk表示第K条前向通路的总增益例2.3-4中，前向通道只有1条：1→2→3→4→5→6→7→8，例2.3-5中，前向通路有3条：1→2→3→4→5→6，1→2→4→5→6，1→2→3→5→6；P1=G1(s)G2(s)，P2=G2(s)G3(s)，P3=G1(s)G4(s)单单独回路独回路——起点与终点在同一个节点上，且信号通过任一节点的次数不大于一次的回路。

回路增益用La表示例2.3-4中，单独回路有三个，它们分别是：2→3→4→2，La1= -1/R1C1s；3→4→5→6→3，La2= -1/R2C1s；5→6→7→5，La3= - 1/R2C2s例2.3-5中，单独回路有2个，分别是：2→4→2，La1= -G1(s)H(s)；2→3→4→2， La2= -G2(s)H(s)不接触回路不接触回路——如果回路间没有任何公共节点例2.3-4中的La1与La3 编辑课件2、梅、梅逊逊公式公式编辑课件例2.4-6 利用梅逊公式求传递函数（（1））①单独回路：1：2→3→4→2，La1= -1/R1C1s；2：3→4→5→6→3，La2= -1/R2C1s；3：5→6→7→5，La3= - 1/R2C2s三个单独回路中只有1和3两两互不接触，没有三个互不接触的回路，所以∑LbLc=La1La3，∑LdLeLf=0编辑课件②前向通道1→2→3→4→5→6→7→8， 前向通路与三个单独回路都有接触 编辑课件（（2））①单独回路：1：2→4→2，La1= -G1(s)H(s)；2：2→3→4→2， La2= -G2(s)H(s)两个单独回路相互接触，所以∑LbLc=0，∑LdLeLf=0②前向通道1：1→2→3→4→5→6， P1=G1(s)G2(s)2：1→2→4→5→6， P2=G2(s)G3(s)3：1→2→3→5→6， P3=G1(s)G4(s)△1= △ 2=△3=1编辑课件例2.4-7根据系统结构图画出系统的信号流图，并用梅逊公式求传递函数①单独回路：1：3→4→5→3，La1= -G1(s)；2：2→3→4→6→2，La2= - G1(s)3：2→3→4→5→6→2， La3= - G1(s) G2(s)单独回路两两相互接触，所以∑LbLc=0，∑LdLeLf=0编辑课件②前向通道1：1→2→3→4→5→6→7， P1=G1(s)G2(s)，△1=12：1→5→6→7，P2=G2(s) , △2=13：1→2→3→4→6→7，P3=G1(s) , △3=14：1→5→3→4→6→7， P3 = -G1(s) ，△4=1 编辑课件例2.4-8 用梅逊公式求传递函数①单独回路：1：4→5→4，La1= -G2(s)H1(s)；2：3→4→5→3，La2= G1(s)G2(s)H1(s)3：4→5→6→4， La3= - G2(s) G3(s)H2(s)单独回路两两相互接触，所以∑LbLc=0，∑LdLeLf=0编辑课件②前向通道1：1→2→3→4→5→6→7→8， P1=G1(s)G2(s)G3(s)，△1=12：1→2→7→8，P2=G4(s) , 该前向通路与三个单独回路都不接触，所以△2= △编辑课件2.5系系统统的典型的典型传递传递函数及自函数及自动动控制系控制系统统的典型的典型环节环节一、控制系一、控制系统统的典型的典型传递传递函数函数编辑课件常用常用闭环闭环系系统传递统传递函数函数编辑课件 表示了表示了cm(t)能很好地跟踪能很好地跟踪r(t)变变化，使跟踪化，使跟踪误误差差e(t)=0，即跟踪准确、及，即跟踪准确、及时时编辑课件二、自二、自动动控制系控制系统统的典型的典型环节环节 特点：输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化，动态特性很好编辑课件惯性环节特点： 输出量不能瞬时完成与输入量完全一致的变化，即信号的传递存在惯性。

编辑课件积分环节的特点：输出量与输入量对时间的积分成正比，输出有滞后作用，输出积累一段时间后，即便使输入为零，输出也将保持原值不变，具有记忆功能编辑课件微分环节的特点：输出与输入信号对时间的微分成正比，即输出反映了输入信号的变化率，而不反映输入量本身的大小可用微分环节的输出来反映输入信号的变化趋势，加快系统控制作用的实现 编辑课件实际实际微分微分环节环节及一及一阶阶微分微分环节环节编辑课件编辑课件编辑课件编辑课件图2-31 振荡环节及其阶跃响应曲线振荡环节的特点：若输入为一阶跃信号，则其动态响应具有振荡的形式编辑课件图2-32 积分环节及其阶跃响应曲线 时滞环节的特点：输出波形与输入波形相同，但延迟了时间时滞环节的存在对系统的稳定性不利 编辑课件。