高等数学部分易混淆概念三.docx

高等数学部分易混淆概念第一章：函数与极限一、数列极限大小的判断例1:判断命题是否正确.若 Xn N),且序列 Xn,yn 的极限存在，lim Xn = A,lim yn =B,则Ac B n J 二 n j 二1 1解答：不正确.在题设下只能保证 AWB,不能保证 AM ,那么函数f(x)在X上无界.无穷大：设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义 (或|x大于某一正数时有定义).如 果对于任意给定的正数 M (不论它多么大)，总存在正数6 (或正数X),只要x适合不等 式0 M则称函数f (X)为当XT X0 (或XT00 )时的无穷大.例4:下列叙述正确的是： ②① 如果f(x)在X0某邻域内无界，则 驾。

f(x)=°°② 如果Xim0 f (X)=8，则f (X)在x0某邻域内无界1 1 1 1 , 一斛析： 举反例说明. 设 f (x) =— sin-, 令 xn = , yn =—,,当 nT 十2时，x x 2n 二— n2Xn T 0,yn T 0 ,而lim f (xn) = lim (2n 二 一)二：：n j-： ： n「二 2lim f(yn) =0n—故f (X)在X=0邻域无界，但XT 0时f(x)不是无穷大量，则①不正确.由定义，无穷大必无界，故②正确.结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大.三、函数极限不存在#极限是无穷大当XT X0 (或XT8 )时的无穷大的函数 f (X),按函数极限定义来说，极限是不存在 的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大” .但极限不存在并不代表其极限是无穷大.IX -1 X ：：： 0例5:函数f (X) =« 0 X =0 ，当XT 0时f (X)的极限不存在.Jx 1 X 0四、如果lim f(X)=0不能推出lim ——=笛X—X0 X—X0 f (x)一 X 9有理数 _ 1 , 例6: f (x) =W ,则lim f(x)=0,但由于 在x =0的任一■邻域的无理0 出无理数 x跟 f (x) 1 , ，一.点均没有定义，故无法讨论 ——在x = 0的极限.f (X)结论：如果lim f(x) =0 ,且f(x)在x0的某一去心邻域内满足f(x)#0 ,则 x阍li m.- XT0 f ( x) 1 、，一 一s.反之，f(x)为无穷大，则 二K 为无否小。

f(x)五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等， 求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等1例 7.求极限 lim ex,lim ex x x_0解：lim ex =+*lim ex =0 ,因而x-»°°时ex极限不存在 X 在二 X—1 1 1lim ex =0, limx_0 _ x 0ex ="，因而xt 0时ex极限不存在六、使用等价无穷小求极限时要注意：(1)乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条 件的，故统一不用这时，一般可以用泰勒公式来求极限2)注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换例8：求极限Xim01 x 1 -x -2分析一：若将 尸x+vr^x—2写成(斤G—1)+(j1-x-1),再用等价无穷小替换就 会导致错误分析二：用泰勒公式1, 1、1 2(- 2) 2 2-x=(1 -x ^-―2x 二(x ))2 2!1, 1、1 ()x2 二(x2)) —2(1 一 x 2 22 2!1 2 2二 _一x 二(x )41 2 2x 二(x ) 1原式=-^__, =--x2 4例9：求极限limsn- f x解：本题切忌将sin x用x等价代换，导致结果为 1。

二0sin x sin 二 lim —= x--： x 二(1)设f (x)在x=x0间断,七、函数连续性的判断g(x)在x = x0连续，则f (x) ±g(x)在x = %间断而 f (x) g(x), f 2(x), f (x)在 x=x0可能连续例 10.设 f (x) = 4° x=° , g(x) =sin x ,则 f (x)在 x = 0 间断，g(x)在 x = 0 连续,1 x =0f (x) g(x) = f (x) sin x =0 在 x = 0 连续1 x ,0 一一 , c右设f(x)=W , f (x)在x=0间断，但f2(x)= f(x)三1在x=0均连续1 x :二 0(2) “ f (x)在x点连续”是“ f(x)在％点连续”的充分不必要条件分析：由“若 lim f (x) =a ,则 lim f x )=|a "可得"如果 lim f(x)= f (x0),则lim|f x )= f xc|),因此，f(x)在x0点连续，则f(x)在x0点连续再由例10可得，|f(x) x—^0在％点连续并不能推出f (x)在x0点连续3)9(x)在x=x0连续，f (u)在u =u0 =9(x0)连续，则fW(x))在x = x0连续。

其余结论均不一定成立第二章导数与微分一、函数可导性与连续性的关系可导必连续，连续不一定可导例11. f(x) = x］在x=0连读，在x=0处不可导二、f(x)与|f (x)可导性的关系(1)设f(x0)前，f (x)在x=%连续，则f(x)在x = x0可导是f (x)在x=x0可导的 充要条件2)设f(x0)=0,则f'(%) =0是I f (x)|在x = x0可导的充要条件三、一元函数可导函数与不可导函数乘积可导性的讨论设F(x) =g(x)中(x),中(x)在x=a连续，但不可导，又g'(a)存在，则g(a) = 0是F(x) 在x =a可导的充要条件分析：若g(a)=0,由定义F(x)-F(a) g(x) (x) -g(a) (a) g(x)—g(a).F (a) =lim lim lim (x) =g (a) (a)x—a x -a x—a x -a x—a x - a反之，若F (a)存在，则必有g(a)=0用反证法，假设 g(a)#0,则由商的求导法则知cp(x)=F(x)在x=a可导，与假设矛盾g(x)利用上述结论，我们可以判断函数中带有绝对值函数的可导性四、在某点存在左右导数时原函数的性质(1)设f(x)在x=x。

处存在左、右导数，若相等则 f(x)在x=x处可导；若不等， 则f (x)在x=x0连续2)如果 f (x)在(a,b)内连续，x0 w (a,b),且设 Jm^+f'(x)=雪 f'(x) = m,则 f (x)在x =x0处必可导且f '(x0) = m若没有如果f (x)在(a,b)内连续的条件,即设lim f'(x) = lim f'(x)=a,则得不到任 x诲华 x阳_何结论例11. f(x)=1x+2 x>°,显然设 x x _0Jim+f (x) =>[im f (x) =1，但)lim+f (x)= 2,lim f(x)=0,因此极限lim f(x)不存在，从而f(x)在x=0处不连续不可导弟二章 微分中值定理与导数的应用、若 lim f (x) = A,( A=0,可以取°°),则 lim f (x)x x J•二若lim f (x) =A#0 ,不妨设A>0,则我 x一『二理A >°4x时，f(x)7,再由微分中值定f(x) =f(X) f ( )(x-X)A=f(x) -f(X) -(x-X)2(x X, (X,x))(x X) = lm f(x)=二同理，当 A<0 时，lim f(x)=-°0x- J"二一若lim f (x)=y, 二三X >0,x至X时，f'(x) a1 ,再由微分中值定理 x_f (x) =f(X) f ( j(x-X) (x X, (X,x))= f(x) - f(X) (x-X) (x X) = 。

部，2 >0 ,使得当x —% Yg , y —y0 且(乂的0优)时，有f(x,y)—AY以那么 lim f(x, y) = A成立了吗？' J ' x—5x0y >y成立,与原来的极限差异只是描述动点 p(x, y)与定点Po(xo, yo)的接近程度的方法不一样，这里采用的是点的矩形邻域 ,,而不是常用的圆邻域，事实上这两种定义是等价的.2 .若上题条件中(x, y) #(x0,y0)的条件略去，函数f (x, y)就在(x0, y0)连续吗？为什么？如果(x,y) #(xo,yo)条件没有，说明f (xo,y°)有定义，并且(%,丫)包含在该点的任何邻域内，由此对V名>0,都有f(x, y> A-从而A= f(xoy0 ,因此我们得到lim f (x, y) = A = f (x0 y0),即函数在(x0y0)点连续.x海 , ,y—y03 .多元函数的极限计算可以用洛必塔法则吗 ？为什么？不可以，因为洛必塔法则的理论基础是柯西中值定理 ^4 .2偏导数1 .已知 f (x+ y,ey) =x2y ,求 f (x, y)人 y y = In v令x + y =u,㊀丫 =丫那么解出x, 丫得< 7x。