（四川卷）高考数学冲刺卷07理.doc

四川卷）2016年高考数学冲刺卷07 理第Ⅰ卷（共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，，则( )A. B. C. D. 【命题意图】本题考查一元二次不等式的解法，交集的概念及其运算，考查学生的运算求解能力.【答案】C【解析】由题意，知，所以，故选C.2．设，是复数，则下列命题中的假命题是（ ）A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【命题意图】本题考查复数及其相关概念，复数的四则运算以及运算求解能力．【答案】D3．已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（ ）A． B． C． D． 【命题意图】本题考查向量夹角，数量积的概念与性质，考查基本运算能力.【答案】B【解析】由得，，所以，，所以.4．已知某几何体的三视图如下图所示（图中数据单位：cm），则这个几何体的外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．【命题意图】本题考查三视图与原几何体的相互关系，考查基本运算求解能力和空间想象能力.【答案】A【解析】由三视图知该几何为四棱锥，其形如下图所示，其中两两垂直，设该几何体的外接球的半径为，则由几何图形得，解得，所以外接球的表面积为，选A.5．若直线：（）与圆 ：相交于A，B两点，则的最大值为（）A． B． C． D．【命题意图】处理与向量数量积有关问题，坐标法是万能的！但充分利用数量积的几何意义有时解题会更简洁方便.【答案】C 6．小王准备利用假期到峨眉山、乐山、青城山、都江堰、西岭雪山和四姑娘山这6个景点旅游，由于峨眉山与乐山相邻，青城山与都江堰相邻，因此在旅游路线设计中，也将峨眉山与乐山两处相邻，青城山和都江堰两处相邻，则小王的不同旅游路线有（ ）A．72种 B．96种 C．108种 D．144种【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生逻辑推理能力和基本运算能力．【答案】B【解析】将峨眉山与乐山“打包”，青城山与都江堰也“打包”，则可得不同的旅游路线有种.7.某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的是（ ）A． B． C． D． 【命题意图】本题以流程图为载体，考查函数的奇偶性，函数的零点，考查学生的计算能力．【答案】C8．已知正数a，b，c满足，则的最小值为（）A． B． C． D．【命题意图】本题考查线性规划的简单应用，一般的含多个变量的不等式组问题要注意先减元再利用解决线性规划问题的方法求解．【答案】B【解析】由题意得，设x＝，y＝，则有即作出平面区域如图所示（阴影部分），设＝t，即t＝3x＋y，当直线y＝－3x＋t与曲线y＝相切时， t最小．将直线y＝－3x＋t与曲线y＝联立方程组，消去y整理得15x2－(5t＋9)x＋4t＝0，令△＝(5t＋9)2－240t＝0，得t＝或t＝(舍)，于是t最小为．9．如图，正三棱柱的侧面积为8，为边上的高. 记过且与平行的平面与底面成，则该三棱柱被平面截得的截面面积为（ ） A． B． C． D．【命题意图】本题考查直线与平面平行的判定及性质，考查学生的空间想象能力和计算能力．【答案】C10.已知点，是抛物线上相异两点，且.若的垂直平分线交轴于点，则△的面积的最大值是（ ）A． B． C． D．8 【命题意图】本题考查直线与抛物线间的位置关系，考查学生数形结合思想和计算能力．【答案】D令时，得，∴ ，于是S△MAB．令，则，∴ 当时， (S△MAB)max=8，此时．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．的展开式中，的系数为 ．（用数字作答）【命题意图】本题主要考查二项式定理的性质等基础知识，考查学生的计算能力．【答案】【解析】的展开式的通项为，令，则的通项为，令，则，所以 的展开式中，的系数为.12．在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为 【命题意图】本题考查几何概型及对数函数的性质，本题属于小综合题，较好地考查了几何概型、对数函数等基础知识.【答案】13．已知数列{an}为正项等差数列，满足＋≤1(其中k∈N*且k≥2)，则ak的最小值为_________．【命题意图】本题将等差数列的运算性质(等差中项)与基本不等式进行综合，考查学生的计算能力．【答案】【解析】因为{an}为正项等差数列，则ak＝≥(＋)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝(当且仅当＋＝1，且＝，即a1＝3，a2k－1＝6时取“＝”号)．14．一个雪球，在融化时其半径的减小量与时间成正比.已知从受热开始，经过2小时，融化了其体积的，则剩余部分还需 小时融化完.（精确到1小时，参考数据： ）【命题意图】本题属函数的简单应用题，其本质是考查函数的变化率，函数方程思想的应用. 【答案】20【解析】设雪球的半径为，.由于雪球在融化时其半径的减小量与时间成正比，所以设比例常数为，时间为.于是有，且.由于两小时内融化了其体积的，所以，即，整理，得.若雪球全部融化完，也就是，即（小时）.这表明，雪球全部融化需要22小时，那么开始融化两小时之后再需20小时才能融化完.15．设为平面内的个点，在平面内的所有点中，若点到点的距离之和最小，则称点为点的一个“中位点”．例如，线段上的任意点都是端点的中位点．则有下列命题：①若三个点共线，段上，则是的中位点；②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号）【命题意图】本题以即时定义的新概念为载体，考查多距离几何最值问题，考查对新信息的分析理解、对问题的探究和富有数学特点的思考，考查创新能力. 【答案】①④三、解答题 （本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）三角形ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，面积为S．（1）若≤2S，求A的取值范围；（2）若tanA∶tanB∶tanC＝1∶2∶3，且c＝1，求b．【命题意图】本题主要考查正弦定理，同角三角函数基本关系，诱导公式，正弦的和角与差角公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．【解析】（1）由题意知，＝bccosA，S＝bcsinA，所以bccosA≤bcsinA，即cosA≤sinA， （3分）（或也可根据cosA的正负，转化为关于tanA的不等式）．即sinA－cosA≥0，2sin(A－)≥0．因为A为三角形内角，则A－∈(－，)，所以0≤A－＜，从而A∈[，π)． （6分）（2）设tanA＝m，tanB＝2m，tanC＝3m，由题意知，m＞0．因为tanC＝－tan(A＋B)＝－ ，则3m＝－ ，解得m＝1. （9分）所以tanB＝2，tanC＝3.从而sinB＝，sinC＝，所以＝＝，则AC＝． （12分）17．（本小题满分12分）已知2件次品和a件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出a件正品时检测结束，已知前两次检测都没有检测出次品的概率为． （1）求实数a的值； （2）若每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值．【命题意图】本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识.本题要注意“检测后不放回”与“检测后放回”之间的区别，正确求出相应的排列数组合数是学好分布列的基础和前提．（2）X的可能取值为200，300，400． （5分）P(X＝200)＝＝，P(X＝300)＝＝，P(X＝400)＝=． （8分）所以X的分布列为：X200300400PE(X)＝200＋300＋400＝350． （12分）18．（本小题满分12分）公差不为零的等差数列的前n项之和为，且对成立．（1）求常数k的值以及数列的通项公式；（2）设数列中的部分项，，，…，…，恰好成等比数列，其中，，求a1k1＋a2k2＋…＋ankn的值．【命题意图】本小题考查等差、等比数列的相关知识，错位相减求和的方法，考查运算求解能力．（2）设cn＝ a，则数列{cn}为等比数列，且c1＝a＝a2＝3，c3＝a＝a14＝27．故等比数列{cn}的公比q满足q2＝＝9．又cn＞0，所以q＝3．所以cn＝c1qn－1＝33n－1＝3n．又cn＝a＝2kn－1，所以2kn－1＝3n．由此可得kn＝3n＋．所以ankn＝3n＋． （9分）19．（本小题满分12分）边长为的正方形所在的平面与所在的平面交于，且平面，．(1)求证:平面平面；(2)设点是棱上一点，若二面角的余弦值为，试确定点在上的位置．【命题意图】本小题主要考查直线与平面，平面与平面的位置关系，二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.(2)由（1）知，CD⊥平面ADE，又DE 平面ADE，所以，所以如图所示，建立空间直角坐标系， 则，，.∴，∴．设，则．设平面的法向量为，则，∴取，又平面的法向量为，∴，∴.故当点满足时，二面角的余弦值为．（12分）20．（本小题满分13分）已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上顶点A(0，2)，右焦点F(1，0)，椭圆上任一点到点F的距离与到定直线l：x＝m的距离之比为常数k．（1）求常数m，k的值；（2）过点F的直线交椭圆于点S，T两点，P为直线l上一动点．①若PF⊥ST，求证：直线OP平分线段ST；②设直线PS，PF，PT的斜率分别为k1，k2，k3，求证：k1，k2，k3成等差数列．【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆、曲线与方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想，并考查思维的严谨性．（2）①当ST斜率不存在时，由PF⊥ST，得P为直线l与x轴的交点，此时线段ST被直线OP平分；当ST斜率为0时，不合题意； （5分）当ST斜率存在时，设直线ST方程为y＝k(x—1)，联立直线与椭圆方程，消去y，得(4＋5k2)x2—10k2x＋5k2—20＝0．设S(x1，y1)，T(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，且△＞0．设线段ST中点为(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝ k(x0—1)＝，所以ST中点为(，)． （7分）因为PF⊥ST，所以直线PF方程为y＝－(x—1)，所以点P坐标为(5，—)，则直线OP方程为y＝－ x，而y0＝－ x0，即(x0，y0)在直线OP上，即直线OP平分线段ST．综上，直线OP平分线段ST． （9分）21．（本小题满分14分）。