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第第3章章 投影的基本知识投影的基本知识3.1 投影的基本知识投影的基本知识3.2 点的投影点的投影3.3 直线的投影直线的投影3.4 平面的投影平面的投影3.5 物体的三面视图物体的三面视图3.1 投影的基本知识投影的基本知识    3.1.1  中心投影法            如图3―1所示：将△ABC放在光源S和平面P之间，连接SA、SB和SC并延长，它们分别与平面P交于a、b、c三点，得到△abc，即为△ABC在平面P上的投影，S为投影中心，平面P为投影面，射线SAa、SBb、SCc称为投影线，这种投影线在有限远处相交于一点的投影方法称为中心投影法      图3―1  中心投影法    3.1.2  平行投影法            若将投影中心移至无穷远处，则所有投影线都互相平行（图3―2所示），这种投影线互相平行的投影方法称为平行投影法平行投影法分为两种：            1.斜投影法            平行的投影线倾斜于投影面时，称为斜投影法，用斜投影法作出的投影称为斜投影，如图3―2（a）所示            2. 正投影法            平行的投影线垂直于投影面时，称为正投影法，用正投影法作出的投影，称为正投影，如图3―2（b）所示，在机械、电子、电器类的工程图样中，一般都是采用平行投影法中的正投影法，下面所讲的“投影”一般是指正投影。

  图3―2  平行投影法 3.2 点的投影点的投影    3.2.1  点的投影特点            点的投影仍为一点，如给定空间一点A和投影面P，通过点A向P面作投射线（垂线），投射线与P平面的交点a即为A在P平面上唯一的投影，如图3―3（a）所示            反之，若已知点B在P平面上的投影b，却不能唯一地确定点B的空间位置，因为过b所作的P平面的垂线上的所有各点（如B1B2……等）的投影都与b重合，如图3―3（b）所示，因此需采用点的多面投影     图3―3  点的投影    3.2.1  点的投影特点            点的投影仍为一点，如给定空间一点A和投影面P，通过点A向P面作投射线（垂线），投射线与P平面的交点a即为A在P平面上唯一的投影，如图3―3（a）所示反之，若已知点B在P平面上的投影b，却不能唯一地确定点B的空间位置，因为过b所作的P平面的垂线上的所有各点（如B1B2……等）的投影都与b重合，如图3―3（b）所示，因此需采用点的多面投影   3.2.2  点的三面投影            1. 三投影面体系和点的三面投影            当空间一点放在三投影面体系中，空间点的位置就会随之确定，如图3―4(a)所示。

用H、V、W分别表示水平面、正平面、侧平面，H、V面的交线称为OX投影轴，H、W面的交线称为OY投影轴，V、W面的交线称为OZ投影轴，三个投影轴互相垂直，交点称为原点O图3―4  点的三面投影             将空间点A放在三投影面体系中，由点A分别向V、H、W面作投影线，投影线和H面之交点为a，称为点A的水平投影，投影线与V面的交点为a′称为点A的正面投影，投影线与W面的交点为a″，称为点A的侧面投影           2. 点的投影与直角坐标的关系           若把三投影面体系看作空间直角坐标系，则投影面H、V、W即为坐标面，投影轴X、Y、Z即为坐标轴，O点即为坐标原点，从图3―5（a）中可看出点A到W、V、H面的距离就是点A的三个坐标值（XA、YA、ZA）          它们的对应关系如下：          Aa″=aay=a′az=oaX=XA          Aa′=aax=a″az=oay=YA          Aa=a′ax=a″ay=oaz=ZA            由此可知，点的空间位置可由其三个坐标值确定，且点的每一个投影都由其中两个坐标值确定，如图3―5（b）所示，即：            水平投影a由XA和YA两坐标值确定；            正面投影a′由XA和ZA两坐标值确定；            侧面投影a″由YA和ZA两坐标值确定。

 图3―5  点的投影与坐标的关系            3.点的投影规律           根据以上分析，可得出点在三面投影体系中的投影规律：         （1）点的两面投影连线垂直于相应的投影轴，即a′a⊥OX；a′a″⊥OZ；aaYH⊥OYH；a″ayw⊥OYw          （2）点的投影到投影轴的距离，等于该点到相应投影面的距离，即aax=a″az=Aa′；a′ax=a″aYW=Aa；a′az=aaYH=Aa″           例1 已知A（15、10、20）点，求作其三面投影图           解：（1）画出投影轴，自原点沿OX正方向，取Oax=15mm，得ax         （2）过ax作OX轴的垂线，在该线上自ax沿OY轴向下量取axa=10mm，得水平投影a，再自ax点沿OZ轴向上量取axa′=20mm，得正面投影a′［图3―6（b）］      （3）过O点作与OYH轴成45°的直线过a点作直线垂直OYH，在45°线上得交点，由该交点作OYw的垂线与由a′引出的垂直于OZ轴的直线相交得侧面投影a″［图3―6（c）］ 图3―6   已知点的坐标作投影图    3.2.3  两点的相对位置            空间两点的相对位置，区别有上、下、左、右、前、后的关系，这种位置关系在投影图中，要由它们同面投影的坐标大小来判别，前后位置由Y坐标判别；上、下位置由Z坐标判别；左右位置由X坐标来判别，两点的坐标值大的则为上或左或前，如图3―7。

      图3―7   两点的相对位置              由（a）可知，A、B两点的相对位置，由A点的坐标（XA、YA、ZA），B点的坐标（XB、YB、ZB）来判别，由V面投影图知，XA＞XB，说明A点在B点的左边，由H面投影图知，YB＞YA，说明B点位于A点的前面，由V面投影图还可知，ZB＞ZA，说明B点位于A点之上            当空间两点的某两个坐标相同时，它们将处于某一投影面的同一条投影射线上，其在该投影面上的投影相重合，则称对该投影面的重影点(又称积聚点)，对于不可见的点，其投影图上的投影要加括弧表示重影点分为对H面、V面、W面的重影点三种3.3 直线的投影直线的投影    3.3.1  直线投影特征            直线的投影一般仍为直线（当一直线垂直某一投影面时，其在该投影面上的投影积聚为一积聚点）要作出直线的投影，只要作出直线上任两点的投影，然后连接两点的同面投影，即可得到直线的三面投影，如图3―8    3.3.2  各种位置直线及投影特征            直线在三投影面体系中，根据其不同位置可分为三种：投影面平行线、投影面垂直线、一般位置直线，前两种为特殊位置直线。

            1.投影面平行线            平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线，称为投影面平行线投影面平行线有三种：平行于H面的直线称为水平线，平行于V面的直线称为正平线，平行于W面的直线称为侧平线图3―8  直线的投影              直线与投影面所夹的角叫直线对投影面的倾角α、β、γ分别为直线对H面、V面、W面的倾角             表3―1为投影面平行线的立体图、投影图及投影特征      表3―1  投影面的平行线            从表3―1中可得出投影面平行线的投影特征：         （1）在所平行的投影面上的投影反映实长，投影和投影轴的夹角反映了空间直线对相应投影面的倾角         （2）其余两投影面上的投影为变短的直线段，且平行于相应的投影轴              2.投影面垂直线            垂直于一个投影面、平行于另外两个投影面的直线，称为投影面垂直线            投影面垂直线有三种，垂直于H面的直线称为铅垂线，垂直于V面的直线称为正垂线，垂直于W面的直线称为侧垂线             表3―2为投影面垂直线的立体图、投影图及投影特性。

 表3―2  投影面垂直线              从表3―2中可得出投影面垂直线的投影特性：           （1）在所垂直的投影面上的投影积聚为一点           （2）在其余两投影面上的投影均反映实长，且垂直于相应的投影轴            3.一般位置直线            与三个投影面都倾斜的直线，称为一般位置直线如图3―8所示，AB线对投影面H、V、W面的倾角分别为α、β、γ（均不等于零），其在三个投影面上的投影均小于实长           由此得出一般位置直线的投影特性是：         （1）三个投影都倾斜于投影轴，且投影长度小于实长         （2）直线的投影与投影轴的夹角，不反映空间直线对投影面的倾角 3.4 平面的投影平面的投影    3.4.1 平面的表示法            由初等几何可知，平面可用下列任意一组几何元素来表示：            (1)不在同一直线上的三点，图3―9（a）；            (2)一直线和直线外一点，图3―9（b）；            (3)相交两直线，图3―9（c）；            (4)平行两直线，图3―9（d）；            (5)任意平面图形，图3―9（e）。

    3.4.2  各种位置平面            平面在三投影面体系中，按其对投影面的相对位置分为三类，即投影面的垂直面、投影面的平行面，一般位置平面前两种为特殊位置平面            1.投影面垂直面            垂直于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的平面，称为投影面垂直面，根据所垂直的            投影面的不同，它又分为三种：            铅垂面垂直于H面，并与V、W面倾斜的平面             正垂面垂直于V面，并与H、W面倾斜的平面            侧垂面垂直于W面，并与V、H面倾斜的平面 图3―9   用几何元素表示平面   表3―3   投影面垂直面             从表3―3中可得出投影面垂直面的投影特性：          （1）平面在所垂直的投影面上的投影积聚为一直线段，该投影与投影轴的夹角反映了平面对相应投影面的倾角           （2）平面在其余两投影面上的投影均为小于平面实形的类似形            2.投影面平行面            平行于一个投影面，垂直于另外两个投影面的平面，称为投影面平行面，根据所平行的投影面不同，它又分为三种：            水平面平行于H面，并垂直于V、W面的平面。

            正平面平行于V面，并垂直于H、W面的平面            侧平面平行于W面，并垂直于V、H面的平面            表3―4归纳了三种投影面平行面的立体图、投影图和投影特性      表3―4  投影面平行面            从表3―4中可得出投影面平行面的投影特性：         （1）平面在所平行的投影面上的投影，反映空间平面的实形          （2）其余两个投影面上的投影，均积聚成直线段，且平行于相应的投影轴            3.一般位置平面            与三个投影面都倾斜的平面，称一般位置平面，如图3―10所示，△ABC平面与H、V、W面都倾斜，其在三个投影面上的投影△a′b′c′，△abc、△a″b″c″均为小于原形的类似形图3―10  一般位置平面的投影    3.4.3  平面上的直线和点            如何确定一条直线或一个点是否在平面上，就必须根据直线和点在平面上的几何条件来确定若在给定的平面上确定一个点，必须先在该平面上确定一条直线，再在此直线上定此点，这时该点在平面上            1.平面上取直线            直线在平面上的几何条件：          （1）若一直线通过平面上的两个已知点，则此直线必在该平面上。

          （2）若一直线通过平面上的一个点，且平行于平面上的另一直线，则此直线必在该平面上           如图3―11所示，由相交两直线AB、AC确定的平面上，在AB上取一点M，在AC上取一点N，过此两点的直线MN必在该平面上 图3―11  平面上取直线             2. 平面上取点            点在平面上的几何条件：若点在平面上的任一直线上，则此点在该平面上，如图3 ― 11中，由于K点在直线AB、AC所确定的平面上的直线MN上，所以K点必在该平面上，对照投影图［图3―11（b）］中K′在m′n′上，K在mn上符合几何条件            例1 已知平面ABC上一点K的水平投影，求作其正面投影，如图3―12图3―12  求作平面上一点的另一投影             作图：如图3―12（b）所示，过k点在△abc上作辅助线mn，再由mn按投影求得m′n′，由此可知直线MN在平面△ABC上，再由点K的水平投影k，求得正面投影k′，即完成所求3.5 物体的三面视图物体的三面视图     3.5.1  物体的三面视图的形成            每一个物体都是由点、线、面所组成，物体的投影同样具有点、线、面的投影特性。

将物体放在三投影面体系中，投影就得到三个视图，很多物体用三个视图就能清楚地表达其全貌            1. 投影面的设置            图3―13设置了三个互为垂直（正交）的投影面，称为三投影面体系，把空间分为八个分角，把物体放在第一分角中进行投影，称为第一角投影法，此时物体的位置在观察者和相应投影面之间，按国家标准规定，在图纸上除需说明外，均采用第一角投影法，目前我国的技术制图大都采用此法图3―13   三投影面体系中的八个分角             2. 物体的三面投影            将物体放在三投影面体系中，使物体的主要表面或对称平面置于平行投影面的位置，然后将组成此形体的各几何要素分别向三个投影面投影，就可在投影面上得到三个视图如图3―14所示            在正面（V）上得到的视图叫正立面图，在水平面（H）上得到的视图叫平面图，在侧面（W）上得到的视图叫左侧立面图，这是工程技术中常用的三个基本视图             3. 三视图的形成            为了把三面视图展平在同一平面上，必须把三个相交的平面展开，即以正面（V）为平面，其余两投影面放置至该平面上则变成图3―15（a）所示，最后去掉投影轴及投影面，变成工程上常用的三视图，如图3―15（b）所示。

 图3―14  物体的三面投影        图3―15  三面视图的形成     3.5.2   物体与视图的关系            物体的三视图是将一个物体分别沿三个不同方向投影到三个不同的投影面而得到的，每个视图表示物体一个方向的形状和两个方向的尺寸，视图与物体之间都有着严格的对应关系，学习和掌握好这种关系，对后面的读图和画图会打下良好的基础             1.尺寸对应关系             每对相邻视图同一个方向的尺寸相等，如图3―16，即：             正立面图和平面图图中的相应投影长度相等（长对正）             正立面图和左侧立面图中的相应投影高度相等（高平齐）             平面图和左侧立面图中的相应投影宽度相等（宽相等）图3―16  三视图的对应关系 图3―16  三视图的对应关系             2. 方位的对应关系            对于空间物体来说，它具有六个方位，即上、下、左、右、前、后，如图3―17，而对于物体某一视图来说，只能反映四个方位，要想把物体的平面视图想象成空间物体，就必须搞清楚每个投影图对应的实物的空间方位，其物体方位对应关系为：            正立面图和平面图可以分出物体上各结构之间的左右位置。

           正立面图和左侧立面图可以分出物体上各结构之间的上下位置           平面图和左侧立面图邻近正立面图的一面是物体的后面，另一面是物体的前面图3―17   三视图的方位对应关系            上述这两个对应关系是读图和画图的基本点，掌握好由“图”到“物”或由“物”到“图”的读图、画图转变过程，是读懂零件图、装配图的必要条件，由此把空间物体也可以完整无误地在平面图形上表达出来3.6 AutoCAD编辑命令应用及编辑命令应用及简单物体三视图的绘制简单物体三视图的绘制              AutoCAD2000提供了强大的图形编辑功能，借助于这些编辑功能，我们可以将大量相同或相似的工作极为快速地完成，这充分体现了计算机绘图的优越性能否熟练运用图形编辑功能，是衡量我们是否精通AutoCAD的一个重要标志我们通过绘制图3―18所示零件图，来熟悉AutoCAD2000的图形编辑功能      图3―18  零件图3.6.1设置合适的绘图环境(1)根据物体的尺寸大小，用Limits命令设定绘图边界2)用Units命令设定计量单位3)用Grid命令控制是否显示网格。

4)用Snap命令设定步距锁定5)用Layer命令建立主图层及中心线图层，并设好相应的线型及颜色    3.6.2 绘制基本图形           (1)在中心线图层选点划线，点图标，绘出各中心线如图3―19所示            (2)在主图层选连续线，点图标，绘出外边的矩形如图3―20所示           (3)在主图层选连续线，点图标，绘出各圆如图3―21所示             (4)在主图层选连续线，点图标，绘出左上角的两条水平线如图3―22所示   3.6.3 编辑图形            (1)以左上角的两条水平线为界线，点图标，剪切掉左上角圆的左半边，如图3―23所示            (2)点图标，绘出外圆，修改该圆的线型为点划线，如图3―24所示            (3)选用圆心及交点捕捉法，点图标，绘出右上角的圆，如图3-25所示            (4)选中左上角的两条水平线、半圆及中心线，点图标，选水平中心线为轴线，复制出左下角的图形；然后用同样方法，以垂直中心线为轴线，复制出右边的图形，如图3―26所示            (5)点图标，选用环型阵列，按360°复制出六个圆，如图3―27所示。

            (6)点图标，倒出矩形的四个角，完成整个图形，如图3―18所示      图3―19绘中心线                                    图3―20绘出外边的矩形        图3―21绘出各圆                图3―22绘出左上角的两条水平线 图3―23剪切掉左上角圆的左半边                    图3―24绘出外圆图3―25绘出右上角的圆        图3―26用Mirror命令复制图形         图3―27  用array命令复制圆    3.6.3  三视图的绘制            在制图中，物体的投影称为视图，正面投影称为正立面图，水平投影称为平面图，侧面投影称为左侧立面图一个简单物体，一般都可以用这三个视图表达清楚在一张图纸上，按长对正、高平齐和宽相等原则绘制的正立面图、平面图、左侧立面图称为物体的三视图(亦称主视图、俯视图和侧视图)长对正、高平齐可利用十字光标线来确定，而宽相等不易直接处理，通常可采用人工测量或辅助线方法来实现，为提高绘图效率，我们介绍辅助线法            我们用AutoCAD软件绘制如图3―28所示的三视图。

操作步骤如下：(1)根据物体的尺寸大小布局要求设置合适的绘图环境：①用Limits命令设定绘图边界②用Units命令设定计量单位③用Grid命令控制是否显示网格④用Snap命令设定步距锁定⑤用Layer命令建立三视图及辅助线图层，并设好相应的线型及颜色       图3―28   三视图             (2)根据物体的测量尺寸绘制正立面图及左侧立面图，然后在辅助线图层上绘制辅助线辅助线可采用两种方法绘制：             方法1：在第四象限绘制45°斜线P1－P2，过A2、B2、C2、D2分别作L－R的垂线，定平面图各点的坐标，从而画出平面图             方法2：过A2、B2、C2、D2点分别作L－R的垂线，交L－R于A22、B22、C22、D22点，以P1点为圆心，过A22、B22、C22、D22点，在第四象限画圆弧，交U－D线于A11、B11、C11、D11点，由正立面图及A11、B11、C11、D11点，即可确定平面图各点的坐标，画出平面图          (3)同理，如先画出正立面图及平面图，亦可通过第四象限的辅助线确定左侧立面图上各点的坐标，画出左侧立面图。

          (4)关闭辅助线层，屏幕上见到的即为物体的三视图。