机器人学的数学基础.doc

第3章机器人学的数学基础在机器人操作手工作时，我们需要在其特定三维工作空间中掌握各个物体之 间的儿何关系，这些物体包括操作手组成自身的各个活动杆件、底座、末端执行 器、抓持工具、待抓取物体、障碍物等，它们之间的三维空间儿何关系可用两个 非常重要的特性来描述：位置和姿态3. 1位置和姿态表示为了精确描述各个连杆或物体之间的位置和姿态关系，我们首先定义一个固 定的坐标系，并以它作为参考坐标系，所有静止或运动的物体就可以统一在同一 个参考染标系中进行比较该坐标系统通常被称为世界坐标系基于此共同的 坐标系描述机器人自身及其周围物体，是机器人在三维空间中工作的基础通常, 我们对每个物体或连杆都定义一个木体坐标系，乂称局部坐标系，每个物体与附 着在该物体上木体坐标系是相对静止的，即其相对位置和姿态是固定的因此，每个物体之间位置和姿态的关系就可以用它们自身的木体坐标系之间 的位姿关系来确定了，木体坐标系原点之间的关系代表了它们的位置关系，木体 坐标系各个坐标轴方向之间的关系代表了方位关系图3-1表示了机器人手臂及 其周围物体在世界坐标系Y中及各自木体坐标系中的位置和姿态阁3-1机器人手臂及其周闱物体的位置和姿态3.1.1位置描述建立坐标系之后，三维空间中的任何一点都可以用一个具有三个分量的位置 矢量来进行定位。

例如，图3-1中立方体的质心p在世界坐标系中的表示是：pwxPw = PwyPWZ下标W代表了世界坐标系，因为位置矢量p在不同坐标系中数值表示不同以上就是典型的基于笛卡尔坐标系的三维空间位置矢量的描述方法当采用不同的 坐标系表示时，会有不同的位置描述方法例如基于圆柱坐标系的空间矢量表 示方法，基于球坐标系的空间矢量表示方法等3. 1. 2方位描述机器人手臂工作时，不但要考虑所抓取的物体的质心的位置，还要考虑空间 中该物体的姿态，既方位空间中的物体，不但要考虑它的位置，还要考虑它的 方位空间物体通常用自身木体坐标系的坐标原点表示位置，坐标轴的方向代表 方位物体的相对位置和方位通常用它们各自的木体坐标系之间的关系来表示 相对位置关系用局部坐标系的坐标原点之间的关系表示，方位关系用各自木体染 标系的坐标轴单位方向矢量之间的关系来表示常用的方位描述括旋转矩阵表 示法，固定角表示法，欧拉角表示法，等效轴角表示法，欧拉参数表示法等我 们主要介绍旋转矩阵方位描述法，并简介固定角表示法，其它方法参考教科书A.旋转矩阵描述法一个木体坐标系｛B｝相对于另一个参考坐标系｛A｝的姿态描述，用这个木体坐 标系｛B｝的三个坐标轴的单位方向向量分别在参考坐标系的｛A｝三个坐标轴上的 投影值，共9个投影分量所组成的矩阵（称作旋转矩阵）来表示两个染标系之间 的方位关系，这种方位描述方法称作旋转矩阵方位描述法。

具体解释如下：如图3-2所示，我们用表示本体坐标系｛B｝的三个坐标轴的单位方 向矢量，；^尤,24表示参考坐标系｛A｝的三个坐标轴的单位方向矢量则本体坐 标系｛B｝的X轴单位方向向量在参考坐标系｛A｝中的表示即本体坐标系 布参考坐标系｛A｝的三个坐标轴单位向量;上的投影，我们用矢量:一 八 八 ■Xb.Xacos（x„xj"4Xb =A. Z\=COS（XBJA）/ \cos（x„zj来表示，这三个投影值代表了本体坐标系｛B｝的X轴与参考坐标系｛A｝的各个坐 标轴的夹角的余弦值同样道理，本体坐标系｛B｝的在参考坐标系｛A｝中 都可以如上述表示，得出矢量：At=-八 /\匕.XA=COS（YH9Xa） COS（YbJa）, COS（YB,ZA）_八 八八 八■■八 A 麵2, - X,"cos（z„xj"么=八 /\久八 A7 .7乙 A-co求 x），cos（z„zj则，本体坐标系｛B｝在参考坐标系｛A｝中的方位描述可以用公式3-1表示,其中三行三列矩阵"中的9个分量描述了了 ｛B｝在｛A｝中的方位，我们称该矩阵八 八3-1为旋转矩阵旋转矩阵的每个分量代表了两个坐标系坐标轴方向夹角的余弦值。

AYb AZb八 AA八 八我们从空间几何意义上知道，姿态变换后又反变换回去，最终姿态不变观察 ｛B｝相对于｛A｝的方位（描述，）（图3-2）, ｛A｝相对于⑻的方位（描述，）与 之大小相等方向相反，因此利用旋转矩阵描述的方位应满足如下关系：1 0 0 0 1 0 0 0 1_即： ar=br~1 3-2Kij根据公式3-1旋转矩阵的定义，我们得到:A • ZA • ZA •3-3观察矩阵3-3的第一行与矩阵3-1的第一列相同，第二行与第二列相同，第三行 与第三列相同因此，我们得出：J/?=X 3-4由公式3-2和3-4联立，我们得出了旋转矩阵的重要特性：3-5即旋转矩阵的逆阵等于它的转置矩阵这就为求旋转矩阵的逆阵提供了一条 简单的方法，直接转置就可以了利用旋转矩阵3-1的定义，我们可以得到旋转矩阵的特性：1. 旋转矩阵的行向量或列向量都是单位方向向量llxHNHW:12. 旋转矩阵的行向量或列向量彼此两两唾直XA y —aY a7 —aV a7 — H a. 入 ti. 心.—u3. 旋转矩阵的9个分量中只有3个独立变量，六个约束而特性123与公式3-5是等效的有兴趣的冋学自己验证）。

因此，判断 一个3*3矩阵是否是旋转矩阵的充分必要条件就是看公式3-5是否成立例一坐标系｛B｝相对于坐标系｛A｝绕X轴逆时针方向旋转30度，利用旋转 矩阵的定义求｛B｝相对于｛A｝旋转矩阵和｛A｝相对于｛B｝旋转矩阵了/?及它们之间的关系解：｛A｝：实线｛B｝：虚线图3-3如图3-3所示，根据旋转矩阵的定义，根据旋转矩阵的定义和公式3-3,得到A p _\Ay Ay Ay 衫八—L八B, 1~而 axb =r00 CO5（30）00.8660 "-環（3O0）0一 0.50篇（30（,）0.5COS（30）0.866因此，｛B｝坐标系相对于｛A｝坐标系的旋转矩阵是:1 0 0 三尺=0 0.866 -0.50 0.5 0.866利用同样的道理，求得;及它们之间的关系:1 0 0 0.866 0 -0.500.5 =X 0.866通过例1的学习，我们熟悉并复习前面学到的旋转矩阵的定义和方法例二：判断下面的矩阵是不是有效的旋转矩阵?1一 200120(1),1一 2001_7|20_7|110—0—，丁2 __—丁2(2)，解：利用旋转矩阵的特性1和2 ,或者公式3-5检验矩阵是不是有效的旋转矩阵，矩阵1中，第一列向量和第三列向量的点积是不是零，不符合旋转矩阵特性1 ,因此矩阵1不是旋转矩阵。

矩阵2与它的转置矩阵相乘，得到：_」200120氺1一 200120_7|1_7|10—0—_—了2，丁21 0 0 1 0 0满足公式3-5旋转矩阵的条件，因此矩阵2是有效的旋转矩阵旋转矩阵的几何变换含义：从旋转矩阵的定义，我们知道它代表了局部坐标系｛B｝相对于参考坐标系｛A｝ 的方位（姿态）它还有其它的几何变换含义如图3-2所示，假定｛B｝坐标系 初始与参考坐标系｛A｝重合，然后经过旋转到达图示的方位，设｛B｝坐标系相对 于｛A｝坐标系的方位表示用旋转矩阵来表示那么，如果｛B｝坐标系中存在相对于该坐标系静止的矢量= Pm，经过与坐标系｛B｝相同的角度旋转，它在 _Pbz_局部坐标系｛B｝中的姿态与在｛A｝坐标系中相比，同样差了方位j/?,这可以利用坐标投影证明，公式3-6中，分别是｛B｝坐标系的坐标轴单位矢量 在｛A｝坐标系的坐标轴上的投影值，XAII4Z^A&XZARP因此，我们得到如下公式:3-7从公式中看出，矢量G是矢量在参考坐标系｛A｝中的表示，矢量G可以看成是局部坐标系｛B｝中的闹定矢量，因此旋转矩阵也可以看成是对矢量进行旋转的 旋转操作算子B闹定角方位描述法用滚动角，俯仰角和偏摆角来表示方位是航海或航空中常见的轮船及机的方 位描述方法。

滚动角的定义是指绕M定参考坐标系的X轴旋转的角度，俯仰角是 指绕阎定参考坐标系的Y轴旋转的角度，偏摆角是指绕冏定参考坐标系的Z轴旋 转的角度，表3-1表示了固定角表示法中的常用表示表3-1旋转轴，角度表示和所使用的符号参考坐标系的旋转轴角度名称符号表示X轴滚动角（/>Y轴俯仰角eZ轴偏摆角定角描述与旋转矩阵表示的关系：根据旋转矩阵的定义，绕X轴旋转0角的旋转矩阵描述是3-83-91 0 0 0 cos（夕） -sin ⑷ 0 sin ⑷ cos ⑷绕Y轴旋转0角的旋转矩阵描述是:cos ⑻ 0 sin ⑻0 1 0 - sin ⑻ 0 cos ⑻绕Z轴旋转角的旋转矩阵描述是:3-10因此，假定轮船所在的局部坐标系初始与固定参考坐标系重合，该局部坐 标系绕固定参考坐标系依次作滚动0角，俯仰0角，偏摆V角，则其变换后的方 位可以用等效的旋转矩阵表示出来：咖奔R协⑽咖 3-11推导过程：先既定轮船的局部坐标系与参考坐标系重合，局部坐标系中轮船上一固定矢量P，轮船绕参考坐标系作滚动角后，矢量P在参考坐标系中 的丧75是：p=RMp同理，轮船接着再绕参考坐标系作俯仰0角，矢量在参考坐标系中的表不是：p =R人叭 P=R人p)=ry最后，轮船再绕参考坐标系作偏摆V角，矢量在参考染标系中的表示是：p = RzW. p = Rz(y/)\RY⑼Rx[y P)= Rz(y/)RY(e)Rx{^ P从公式中可以看出，矢量P经过旋转变化到/,其旋转算子是：/?(《，Ly ⑻/?x ⑷ 3-12因为矢量P是固定在轮船所在的局部坐标系中，所以，该旋转算子即轮船 旋转后在参考坐标系的旋转矩阵方位描述。

3. 1.3位姿描述前面两节介绍了三维空间物体的位置描述和姿态描述的常用方法本节将介 绍利用位姿描述确定空间中的物体的位置和姿态对于三维空间的任意一刚体，当描述它在参考坐标系中的位置和姿态吋， 因为任意形状的刚体在三维空间中有6个自由度，包括3个平移自由度和3个旋 转自由度，所以它的位置描述有3个独立分量，而姿态描述也有3个独立分量前面所讲的基于笛卡尔坐标系的位置描述和基于旋转矩阵或阎定角的姿态描述 都符合要求而不同坐标系中描述时，通过坐标变换来实现我们先考虑一些特殊坐标变换情况下的位姿描述如阁3-4所示，参考坐标 系｛A｝的坐标轴与刚体所在的局部坐标系｛B｝的坐标轴平行并且方向相同在这种 情况下，刚体在参考坐标系｛A｝中的位置描述用矢量r来表示，即刚体局部坐标 系的原点在参考坐标系｛A｝中的坐标分量而刚体的姿态可以用局部坐标系｛B｝ 在参考坐标系｛A｝中的旋转矩阵来表示，因为局部坐标系与参考坐标系平行且方 向相同，所以：。