1981年-20XX年全国中学高中数学联赛试题分类汇编(2)函数与方程.doc

1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编函数与方程部分2019A1、已知正实数满足，则的值为 ．◆答案： ★解析：由条件知，故，所以2019A二、（本题满分 40 分）设整数满足 ． 记，求的最小值．并确定使成立的数组的个数．★解析：由条件知． ① 由于及（）均为非负整数，故有且．于是② ………………10 分由①、②得，结合及，可知 ．③ ………20 分 另一方面，令，（），此时验证知上述所有不等式均取到等号，从而的最小值．………………30 分 以下考虑③的取等条件．此时，且②中的不等式均取等， 即，（）因此，且对每个（），中至少有两项等于．易验证知这也是③取等的充分条件． 对每个（），设中等于 的项数为，则为正整数，且，即 ④，该方程的正整数解的组数为，且每组解唯一对应一个使④取等的数组，故使成立的数组有个………………40 分2019B 10. （本题满分20分）设均大于，满足，求的最大值★解析：设，，，由，可知由条件及换底公式得，，即，由此令（），则，得所以，当且仅当，即时取得等号，相应的，所以的最大值为2018A 5、设是定义在上的以为周期的偶函数，在区间上严格递减，且满足，，则不等式组的解集为 ◆答案：★解析：由为偶函数及在区间上严格递减知，在上递增，结合周期性知，在上递增，又，，所以不等式等价于，又所以，即不等式的解集为2018A，B 9、（本题满分16分）已知定义在上的函数为，设是三个互不相同的实数，满足，求的取值范围。

★解析：不妨设，由于在上递减，在上递增，在上递减，且，，结合图像知：，，，且由得，即，此时，又，由得，所以2018B 7、设是定义在上的以为周期的偶函数，在区间上严格递减，且满足，，则不等式组的解集为 ◆答案：★解析：由为偶函数及在区间上严格递减知，在上递增，结合周期性知，在上递增，又，，所以不等式等价于，又，即不等式的解集为.2017A1、设是定义在上函数，对任意的实数有，又当时，，则的值为 ◆答案： ★解析：由条件知，，即，故，即函数的周期为，所以2017B 3、设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则的值为 ◆答案：★解析：由条件知，，，两式相加消去，可知：，即.2016A 3、正实数，，均不等于，若，，则的值为 ◆答案：★解析：令，，则，，条件化为，，由此可得，因此．2016A 10、（本题满分20分）已知是上的奇函数，，且对任意，均有★解析：设=1，2，3，…），则．在中取，注意到，及为奇函数．可知……………………5分即，从而．……………………10分因此……………………20分2015A1、设、为两不相等的实数，若二次函数满足，则的值为 ◆答案：★解析：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得，即，所以．2015A 9、（本题满分16分）若实数满足，，求的最小值。

★解析：将分别记为，则．由条件知，，故．8分因此，结合平均值不等式可得，．12分当，即时，的最小值为（此时相应的值为，符合要求）． 由于，故的最小值．16分2016B 4、已知,均为定义在上的函数，的图像关于直线对称，的图像关于点中心对称，且，则的值为 ◆答案：★解析：由条件知 ① ②由图像的对称性，可得结合①知， ③由②、③解得从而另解：因为， ①所以 ②因为的图像关于直线对称，所以 ③又因为的图像关于点中心对称，所以函数是奇函数，，，从而 ④将③、④代入①，再移项，得 ⑤在⑤式中令，得 ⑥由②、⑥解得于是2014A1、若正数、满足，则的值为 ◆答案：★解析：设，则，，，从而2015B1、已知函数，其中为常数，如果，则的取值范围为 ◆答案： ★解析：，所以，解得：．2015B 2、已知为偶函数，且，则的值为 ◆答案： ★解析：由己知得，即=2015．2014A 3、若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 ◆答案： ★解析：在上，单调递增，等价于，即。

在上，单调递增，等价于，即，因此实数的取值范围是2014B1、若函数的图像是由依次连接点，，的折线，则 ◆答案： ★解析：可求得直线与函数图像的交点为，即，根据反函数的性质知2014B 8、设，是定义在区间上的函数，则函数的图像与轴所围成图形的面积为 ◆答案： ★解析：显然的图像与轴围成一个半圆，我们用表示与轴围成的图形直线是半圆的对称轴，它将分成左右两个部分我们知道：（），这个式子的几何意义如下图所示：根据祖暅原理的二维形式，的左半部分与右半部分的面积之和恰好是四分之一圆的面积即我们要求的面积是2014B二、（本题满分40分）在同一直角坐标系中，函数（）与其反函数的图像恰有三个不同的交点. 求实数的取值范围，并证明你的结论★解析：由题意可得其反函数，记与其反函数的交点坐标为，则，两式子相减得，得或，若，显然两个函数的图像都在第一象限，所以，联立和，得到一个交点（另一个是负数），与题目要求三个交点不相符，故当时，联立和，得交点；联立和，得交点或，考虑这两个交点不重合，且坐标非负，故解得，即所求的范围为2013A 5、设为实数，函数满足：对任意，都有，则的最大值为 ◆答案：★解析：由题意得，所以，当且仅当，即时，，故所求最大值为。

2013A 7、若实数满足，则实数的取值范围为 ◆答案：★解析：令，，显然，，且，即为，亦为（，），以为坐标作图如图示，在平面内，的轨迹为如图所示的实线部分含原点，因此，即2013A 11、（本题满分20分）设函数，求所有的正实数对，使得对任意的实数均有★解析：已知即可变为：①先寻找所满足的必要条件①式中，令，的对任意的都有，由于，故可以取到任意大的正值，因此必有，即①式中，令，得，即对任意实数，有②记，即 要恒成立，则，即，，③下面证明对满足③的任意实数对及任意实数，总有①成立，令恒成立，事实上，在③成立时，有，，，又，可得综上所述，满足条件的为2013B 2、设为虚数单位，则 ．◆答案：★解析：因为2013B 5、在区间中，方程的解的个数为 ．◆答案：★解析：因为当时，，方程无解；当时，，做出及的图像即可得到2013B 6、定义在实数上的函数的最小值是 ．◆答案：★解析：因为，，知，又当时，，所以所求最小值为2013B 7、设为实数，函数满足：对任意，，则的最大值为 ．◆答案：★解析：由题意得，所以，当且仅当，即时，，故所求最大值为。

2012A 3、设，则的最大值为 ◆答案：★解析：不妨设则因为所以当且仅当时上式等号同时成立.故2012A 6、设函数是定义在上的奇函数，且当时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ◆答案：★解析：由题设知,则因此,原不等式等价于因为在上是增函数,所以即又所以当时,取得最大值因此,解得故的取值范围是2012A 9、（本题满分16分）已知函数，.⑴若对任意,都有，求实数的取值范围；⑵若，且存在,使得，求实数的取值范围；★解析：⑴令，则，函数即为，由即对任意恒成立，即，解得，故所求实数的取值范围为⑵因为，所以的对称轴，有在上递增，所以的最小值为，即的最小值为，由，解得，又，故所求实数的取值范围为2012B 4、若关于的不等式组，（）的整数解有且只有一个，则的取值范围为 ◆答案：★解析：由解得或，所以不等式组的唯一整数解只可能为或记函数，由于对称轴，所以整数解只能是，因此有，解得，故所求范围为2012B 7、设函数是定义在上的奇函数，且当时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ◆答案：★解析：由题设知,则因此,原不等式等价于因为在上是增函数,所以即又所以当时,取得最大值因此,解得故的取值范围是2012B 9、（本题满分16分）已知函数，.⑴若对任意,都有，求实数的取值范围；⑵若，且存在,使得，求实数的取值范围；★解析：⑴令，则，函数即为，由即对任意恒成立，即，解得，故所求实数的取值范围为⑵因为，所以的对称轴，有在上递增，所以的最小值为，即的最小值为，由，解得，又，故所求实数的取值范围为2011A 2、函数的值域为 ◆答案： ★解析：提示：设，且，则．设，则，且，所以 ．2011A 3、设为正实数，，，则 ◆答案： ★解析：由，得．又 ，即． ①于是 ．② 再由不等式①中等号成立的条件，得．与②联立解得或，故．2011A 9、（本题满分16分）已知函数，实数（）满足，.求实数的值。

★解析：因为，所以，所以或，又因为，所以，所以．又由有意义知，从而，于是．所以．从而．又，所以，故 ．解得或（舍去）．把代入解得． 所以 ，． 2011B 3、若正实数满足，，则 .◆答案： ★解析：由，得．又 ，即． ①于是 ．② 再由不等式①中等号成立的条件，得．与②联立解得或，故．2011B 9、（本题满分16分）已知实数满足：，，.求实数的取值范围.★解析：令，由得，代入得由方程有实根，得，解得由方程及可得，，又，所以，即，解得，综上可得，即，所以实数的取值范围为2011B三、（本题满分50分）设实数，且满足，求的最大值.★解析：由已知等式可得，①令，，则，，则①式等价于②易知.令，则当时，由平均不等式得③所以，从而，整理得，即，所以③式中等号成立的条件是，即，代入②得，因此，的最大值即的最大值为2010AB1、函数的值域为 ◆答案： ★解析：易知的定义域是，且在上是增函数，从而可知的值域为.2010AB 2、已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 ◆答案：★解析：令，则原函数化为，即.由，， 及 知 即 . （1）当时（1）总成立；对；对.从而可知 2010AB 5、函数（，且）在区间上的最大值为，则它在这个区间上的最小值为 。