平行四边形辅助线.doc

平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相 同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直， 构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题 处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1） 连对角线或平移对角线：（2） 过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3） 连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平 行或中位线（4） 连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角 形5） 过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形例1如左下图1,在平行四边形ABCD中，点E, F在对角线AC上，且AE二CF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）⑴连结BF ⑵BF二DE⑶证明：连结 DB,DF，设DB,AC交于点0•••四边形ABCD为平行四边形AO = 0C, DO = 0B•/ AE =FC.四边形EBFD为平行四边形.A0 - AE =0C - FC••• BF即 0E 二 OF=DE图1第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。

例2如右图2,在平行四边形 ABCD中，对角线AC和BD相交于点0,如果AC =12， BD =10， AB =m，那么m的取值范围是（ ）A1 ：： m ：： 11 B 2 ：： m ：： 22 C10 ：： m ：： 12 D 5 ：： m ：： 6解：将线段DB沿DC方向平移，使得DB =CE ,DC = BE ,则有四边形CDBE为平行四边形 •/在 ACE 中，AC =12,CE 二 BD =10, AE 二 2AB 二 2m•••12—10 ：：2m < 12 10,即 2 2m ：： 22 解得 1 ：： m <11 故选 A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题例3已知：如左下图3，四边形ABCD为平行四边形图2求证：2 2 2 2 2 2AC BD AB BC CD DAA D证明：过A,D分别作AE _ BC于点E , DF _ BC的延长线于点F••• AC— AE2 CE2 二 AB2 一 BE2 (BC 一 BE)2 二 AB2 BC2 一 2BE BCBD2 二 DF2 BF2 =(CD2 —CF2) (BC CF)2 二 CD2 BC2 2BC CF则 AC2 BD2 二 AB2 BC2 CD2 DA2 2BC CF -2BC BE•••四边形 ABCD为平行四边形 • AB // CD且AB = CD , AD = BC• . ABC DCF :乙 AEB EDFC =90°•-二ABE 三.'DCF •- BE = CF2 2 2 2 2 2•- AC BD = AB BC CD DAFFAA DA D• CDF 也 KAF• CE 二 DF• 1 = 2v Z1 £3=900 •乙2 £3=900• CPB =900,则 KPB =90。

第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形例4:已知：如右上图 4,在正方形 ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点，求证：AP二AB证明：延长CF交BA的延长线于点 K•••四边形ABCD为正方形• AB // CD 且 AB 二 CD , CD 二 AD , BAD - BCD - D = 90°• 1 = K 又••• . D "DAK =90° , DF = AF1 1• AK =CD =AB •/ CE =」CD DF =丄 AD，••• BCD 二 D =90° • BCE 也 CDF• AP 二 AB第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形例5如左下图5,在平行四边形 ABCD中，点E为边CD上任一点，请你在该图基础上， 适当添加辅助线找出两对相似三角形解：延长 AE与BC的延长线相交于 F，则有 AED s .IFEC门FAB ^ FEC门AED FABAEB图5CNOFBE图6第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线1例6已知：如右上图6，在平行四边形 ABCD中，AN =BN ,BE =」BC NE3 ，交BD于F，求BF : BDBD ••• OA =OC,OB = OD =-2解：连结AC交BD于点0，连结ON11 小BEBFAN=BN••• ON // BC 且 ON二 BC22ONFOBE1Jbc• BE :ON =2:3• BF23FO3BF2••• BF : BD =1:5BO5•••四边形ABCD为平行四边形综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线 等，这样可将平行四边形转化为三角形(或特殊三角形) 、矩形(梯形)等图形，为证明解决问题创造条件。

课堂练习1、如图，已知△ ABC是等边三角形，D、E分别在BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使 EF=AE，连结 AF、BE 和 CF1) 请在图中找出一对全等三角形，用符号“也”表示，并加以证明;(2) 判断四边形 ABDF是怎样的四边形，并说明理由；(3) 若AB=6 , BD=2DC，求四边形 ABEF的面积A DA D12、如图，在矩形 ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，点 G、H在DC边上，且 GH= DC2若AB=10 , BC=12，则图中阴影部分的面积为 DGHFA D3、如图，E、F分别是平行四边形 ABCD对角线BD所在直线上两点，DE=BF，请你以F为 个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线 段相等只需研究一组线段相等即可）1）连结 ；（ 2）猜想： ；（ 3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）4、如图，在 口ABCD中，E、F分别为 AB、CD的中点，连结 DE、BF、BD1） 求证：△ ADE ◎△ CBF2） 若AD丄BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论。