概率论与数理统计浙大第四版-第一章.pdf

第一章基本概念§1.1 随机事件§1.2 频率与概率§1.3 等可能概型（古典概型）§1.4 条件概率§1.5 事件的独立性确定性现象随机现象确定性现象随机现象—— 试验发生前不能预言出现什么结果 每次试验后出现的结果不止一个 在相同的条件下进行大量观察或试 验时，出现的结果有一定的规律性 —— 称之为统计规律性统计规律性第一章第一章基本概念§1.1 随机事件§1.1 随机事件对某事物特征进行观察, 统称试验试验.若它有如下特点,则称为随机试验随机试验,用E表示 试验前不能预知出现哪种结果基本术语基本术语 可在相同的条件下重复进行 试验结果不止一个,但能明确所有的结果样本空间样本空间—— 随机试验E 所有可能的结果样本空间的元素, 即E 的直接结果, 称为随机事件随机事件 —— 的子集, 记为 A ,B…E…它是满足某些条件的样本点所组成的集合.组成的集合称为样本空间样本空间记为(或S)样本点样本点(or基本事件基本事件) 常记为，= {}},, 3 , 2 , 1 , 0{2NS}),{(213TyxTyxS其中T1 ,T2 分别是该地区的最低与最高温度:3E观察某地区每天的最高温度与最低温度:2E观察总机每天9:00~10:00接到的次数有限样本空间无限样本空间:1E投一枚硬币3次，观察正面出现的次数 }3 , 2 , 1 , 0{1S例1例1给出一组随机试验及相应的样本空间给出一组随机试验及相应的样本空间基本事件基本事件——仅由一个样本点组成的子集 它是随机试验的直接结果,每次试验必定发 生且只可能发生一个基本事件.必然事件必然事件——全体样本点组成的事件,记为S, 每次试验必定发生的事件.随机事件发生随机事件发生 —— 组成随机事件的一个样 本点发生不可能事件不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为,每次试验必定不发生的事件.A随机事件的关系和运算 雷同集合的关系和运算事件的关系和运算事件的关系和运算文氏图文氏图 ( Venn diagram ) ——A 包含于BBA 事件 A 发生必 导致事件 B 发生A B BA BAAB 且1. 事件的包含2. 事件的相等BA或BABAA B事件 A与事件B 至 少有一个发生BA发生nAAA,,,21的和事件——niiA1 ,,,,21nAAA的和事件——1iiA—— A 与B 的和事件3. 事件的并(和)BA或AB事件A与事件B 同时 发生BA 发生nAAA,,,21的积事件——niiA1,,,,21nAAA的积事件————A 与B 的积事件1iiABABA4. 事件的交(积)BABA发生事件 A 发生，但 事件 B 不发生BABA——A 与B 的差事件5. 事件的差——A 与B 互斥ABA、B不可能同时发生 ABnAAA,,,21两两互斥,,,,21nAAA两两互斥njijiAAji,, 2 , 1,,,, 2 , 1,,,jijiAAji6. 事件的互斥(互不相容)——A 与B 互相对立BAAB,每次试验 A、B中有且只有一个发生ABAB 称B 为A的对立事件(or逆事件)， 记为注意：“A与B互相对立”与 “A与B互斥”是不同的概念7. 事件的对立A8. 完备完备事件组 niiA1nAAA,,,21若两两互斥，且nAAA,,,21则称为完备完备事件组1AnA1nA2A3AnAAA,,,21或称为的一个划分吸收律AABAAAA)(ABAAAAA)(幂等律AAAAAA差化积)(ABABABA重余律AA运算律运算律对应事件 运算集合 运算交换律ABBABAAB结合律)()(CBACBA )()(BCACAB分配律)()()(CBCACBA ))(()(CABABCA BABABAABniiniiAA11niiniiAA11德摩根律BCA )(BCAB ACA分配律图 示))((CABAAAB)(BABABABA))((红色 区域黄色 区域红色 区域黄色 区域交交例2例2用图示法简化用图示法简化. ))((BABAABAA)(BA例3例3化简事件ACCBA)(解解原式ACCBAACCBCACBAACCBAACCBA)( CBCCA)(CBA 例4例4利用事件关系和运算表达多 个事件的关系A ,B ,C 都不发生——CBACBAA ,B ,C 不都发生—— CBAABC例5例5在图书馆中随意抽取一本书， A表示数学书， B表示中文书， C表示平装书.——抽取的是精装中文版数学书CAB BC——精装书都是中文书 BA——非数学书都是中文版的，且中文版的书都是非数学书则事件§1.3频率与概率§1.3频率与概率历史上概率的三次定义历史上概率的三次定义③公理化定义②统计定义①古典定义概率的最初定义基于频率的定义1930年后由前 苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出设在 n 次试验中，事件 A 发生了m次，频率频率nmAfn)(则称为事件 A 发生的频率频率频率的性质频率的性质 1)(0Afn 1)(nf事件A, B互斥，则)()()(BfAfBAfnnn可推广到有限个两两互斥事件的和事件非负性非负性归一性归一性可加性稳定性可加性稳定性某一定数某一定数)()(limAPAfnn 投一枚硬币观察正面向上的次数n= 4040, nH=2048, f n( H ) = 0.5069n= 12000, nH=6019, f n( H ) = 0.5016n= 24000, nH=12012, f n( H ) = 0.5005频率稳定性的实例频率稳定性的实例蒲丰( 蒲丰( Buffon )投币)投币皮尔逊( 皮尔逊( Pearson ) 投币) 投币频 率 的 应 用当试验次数较大时有当试验次数较大时有事件发生 的概率事件发生 的概率事件发生 的频率事件发生 的频率根据如下百年统计资料可得 世界每年发生大地震的概率根据如下百年统计资料可得 世界每年发生大地震的概率近百年世界重大地震1905.04.04 克什米尔地区8.0 88 万1906.08.17 智利瓦尔帕莱索港地区8.4 2 万 1917.01.20 印度尼西亚巴厘岛1.5 万 1920.12.16 中国甘肃8.6 10 万 1923.09.01 日本关东地区7.9 14.2 万 1935.05.30 巴基斯坦基达地区7.5 5 万时 间地 点级别死亡“重大”的标准①震级7 级以上②死亡5000人以上时 间地 点级别死亡1948.06.28 日本福井地区7.3 0.51 万 1970.01.05 中国云南7.7 1 万 1976.07.28 中国河北省唐山7.8 24.2 万1978.09.16 伊朗塔巴斯镇地区7.9 1.5 万 1995.01.17 日本阪神工业区7.2 0.6 万 1999.08.17 土耳其伊兹米特市7.4 1.7 万 2003.12.26 伊朗克尔曼省6.8 3 万 2004.12.26 印尼苏门答腊岛附近海域9.0 15 万世界每年发生大地震概率约为14%世界每年发生大地震概率约为14%概率的 统计定义概率的 统计定义概率的定义概率的定义在相同条件下重复进行的 n 次试验中, A 发生的频率fn (A)稳定地在某一 常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越 小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A).对本定义的评价对本定义的评价优点：直观 易懂缺点：粗糙 模糊不便 使用设是随机试验E 的样本空间，若能找到 一个法则，使得对于E 的每一事件A 赋于一个 实数，记为P ( A ), 称之为事件A 的概率，这种 赋值满足下面的三条公理：  非负性：0)(,APA 归一性：1)(P 11)(ii iiAPAP 可列可加性： ,,21AA其中为两两互斥事件，概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫(A.H.Колмогоров)1933年建立.概率的公理化定义概率的公理化定义概率的性质概率的性质0)(P)(1)(APAP1)( AP有限可加性: 设nAAA,,21两两互斥 niiniiAPAP11)(若BA)()()(APBPABP )()(BPAP对任意两个事件A, B, 有 )()()(BAPBPABPBAB=A∩B+(B – A) P(B)=P(A∩B) + P(B – A∩B)B - A∩BA∩B加法公式：对任意两个事件A, B, 有 )()()()(BAPBPAPBAP )()()(BPAPBAP推广推广：)()()()()()()()(CBAPCBPCAPBAPCPBPAPCBAP例例小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答 出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王解解事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题” (1)6 . 01 . 07 . 0)()()(ABPAPBAP(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率(2)8 . 0)()()()(ABPBPAPBAP (3)2 . 0)()(BAPBAP例例设A , B满足P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下P(A∩B) 取得最大(小)值？ 最大(小)值是多少？解解)()()()(BAPBPAPBAP)()()()(BAPBPAPBAP3 . 01)()(BPAP1)( BAP最小值在时取得6 . 0)()(APBAP—— 最小值—— 最大值)()(BPBAP最大值在时取得设 随机试验E 具有下列特点：基本事件的个数有限  每个基本事件等可能性发生 则称E 为 古典(等可能)概型古典概型中概率的计算：记中包含的基本事件总数n的基本事件个数组成 Ak  nkAP/)(则概率的 古典定义概率的 古典定义§§1.4 古典概型古典概型排列组合有关知识复习排列组合有关知识复习乘法原理乘法原理：如果一个过程分两个阶段进行，第一个阶段有m种不同的做法，第二个阶段有n种不同的做法，且第一个阶段的任意一种做法都可以与第二个阶段的任意一种做法相配合，则整个过程有m*n种的做法。

乘法原理在排列和组合的问题中被广泛的使用加法原理加法原理：如果完成一个过程有n类方法，第一类方法有m1种不同的做法，第二类方法有m2种不同的做法，……第n类方法有mn种不同的做法，则完成这一过程有m1＋m2＋……＋mn种做法 加法原理在概率问题中被广泛的使用排列排列从n 个不同的元素中取出r个(不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有 (1)(2)(1)r nAn nnnr 全排列全排列!n nAn可重复排列可重复排列从n 个不同的元素中可重复地 取出r 个排成一排, 不同的排法有rn种组合组合从n 个不同的元素中取出m 个(不放 回地）组成一组， 不同的分法共有!(1)(1) ! ! ()! !r rn nn r nnACrrn nnr r nCnrr。