中考攻略专题16：函数自变量取值范围的探讨(含答案).doc

2013年中考攻略】专题16：函数自变量取值范围的探讨函数是初中数学中一个十分重要的内容，为保证函数式有意义，或实际问题有意义，函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件，只有正确理解函数自变量的取值范围，我们才能正确地解决函数问题 初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为三种类型，结合2011年和2012年全国各地中考的实例，我们从这三方面进行函数自变量取值范围的探讨：（1）函数关系式中函数自变量的取值范围；（2）实际问题中函数自变量的取值范围；（3）几何问题中函数自变量的取值范围一、函数关系式中函数自变量的取值范围：初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式：分母≠0；（3）函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；（4）函数关系式含0指数：底数≠0典型例题：例1： （2012浙江衢州3分）函数的自变量x的取值范围在数轴上可表示为【 】A．　　B．　　C．　　D．【答案】D考点】函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，在数轴上表示不等式的解集。

分析】根据二次根式有意义的条件，计算出的取值范围，再在数轴上表示即可，不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须故在数轴上表示为：例2：（2012湖南郴州3分）函数y= 中自变量x的取值范围是【 】A．x=2 B．x≠2 C．x＞2 D．x＜2【答案】B考点】函数自变量的取值范围，分式有意义的条件分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须例3：（2012湖南衡阳3分）函数中自变量x的取值范围是【 】A．x＞﹣2 B．x≥2 C．x≠﹣2 D．x≥﹣2【答案】A考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须　例5：（2012四川内江3分）函数的图像在【 】 A.第一象限 B.第一、三象限 C.第二象限 D.第二、四象限【答案】A。

考点】函数的图象，函数的定义域和值域，平面直角坐标系中各象限点的特征分析】∵函数的定义域为，∴，∴根据面直角坐标系中各象限点的特征知图像在第一象限，故选A练习题：1. （2012湖南怀化3分）在函数中，自变量的取值范围是【 】 A． B. C. D.2. （2012山东威海3分）函数的自变量x的取值范围是【 】A. x＞3 B. x≥3 C. x≠3 D. x＜－33. （2012四川德阳3分）使代数式有意义的x的取值范围是【 】A. B. C.且 D.一切实数4. （2012江苏无锡2分）函数中自变量x的取值范围是　 ▲ 　．5. （2012四川自贡4分）函数中，自变量x的取值范围是 ▲ ．二、实际问题中函数自变量的取值范围：在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素：（1）自变量自身表示的意义，如时间、路程、用油量等不能为负数；（2）问题中的限制条件，此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围典型例题：例1： （2012上海市10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示．（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．（注：总成本=每吨的成本×生产数量）【答案】解：（1）利用图象设y关于x的函数解析式为y=kx+b，将（10，10）（50，6）代入解析式得：，解得：。

∴y关于x的函数解析式为y=x+11（10≤x≤50）2）当生产这种产品的总成本为280万元时，x（x+11）=280，解得：x1=40，x2=70（不合题意舍去）∴该产品的生产数量为40吨考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组和一元二次方程分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可，根据当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，得出x的定义域2）根据总成本=每吨的成本×生产数量，利用（1）中所求得出即可例2：（2012湖北鄂州10分）某私营服装厂根据2011年市场分析，决定2012年调整服装制作方案，准备每周（按120工时计算）制作西服、休闲服、衬衣共360件，且衬衣至少60件已知每件服装的收入和所需工时如下表：服装名称西服休闲服衬衣工时/件收入（百元）/件321设每周制作西服x件，休闲服y件，衬衣z件1） 请你分别从件数和工时数两个方面用含有x,y 的代数式表示衬衣的件数z2） 求y与x之间的函数关系式3） 问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总收入是多少？【答案】解：（1）从件数方面：z=360－x－y， 从工时数方面：由x+y+z=120整理得：z=480－2x－y。

2）由（1）得360－x－y=480－2x－y，整理得：y=360－3x3）由题意得总收入s=3x＋2y＋z=3x＋2（360－3x）＋2x=－x＋720由题意得，解得30≤x≤120由一次函数的性质可知，当x=30的时候，s最大，即当每周生产西服30件，休闲服270件，衬衣60件时，总收入最高，最高总收入是690百元考点】一次函数和一元一次不等式组的应用分析】（1）根据题目中的已知条件分别从件数和工时数两个方面用含x，y的关系式表示z2）由（1）整理得：y=360－3x3）由题意得s=3x+2y+z，化为一个自变量，得到关于x的一次函数由题意得，解得30≤x≤120，从而根据一次函数的性质作答例3：（2012湖北黄冈12分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价定为3000 元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元．(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元?(2)设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)【答案】解：（1）设件数为x，依题意，得3000－10（x－10）=2600，解得x=50。

答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元2）当0≤x≤10时，y=（3000－2400）x=600x；当10＜x≤50时，y=[3000－10（x－10）－2400]x，即y=－10x2+700x；当x＞50时，y=（2600－2400）x=200x3）由y=－10x2+700x可知抛物线开口向下，当时，利润y有最大值，此时，销售单价为3000－10（x－10）=2750元，答：公司应将最低销售单价调整为2750元考点】二次函数的应用分析】（1）设件数为x，则销售单价为3000－10（x－10）元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解2）由利润y=销售单价×件数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三种情况列出函数关系式3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价例4：（2012四川巴中9分）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？【答案】解：（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每件商品的利润为：（60－50＋x）元，总销量为：（200－10x）件，商品利润为：y=（60－50＋x）（200－10x）=－10x2＋100x＋2000。

∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，∴0＜x≤122）∵y=－10x2＋100x＋2000=－10（x－5）2+2250，∴当x=5时，最大月利润y=2250答：每件商品的售价定为5元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2250元考点】二次函数的应用，二次函数的最值分析】（1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y与x的函数关系式2）根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式（或用公式法），从而得出当x=5时得出y的最大值例5：（2012辽宁锦州10分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元.调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元. 设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元. （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围. （2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？ （3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？【答案】解：（1）依题意得自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数。

2）当y=2520时，得，解得x1=2,x2=11（不合题意，舍去） 当x=2时，30+x=32 ∴每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元 （3） ∵a=－10＜0 ∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5 ∵0＜x≤10且x为正整数，∴当x=6时，30+x=36,y=2720， 当x=7时，30+x=37,y=2720∴每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润最大的月利润是2720元考点】二次函数的应用，二次函数的最值，解一元二次方程分析】（1）根据销售利润=销售量×销售单价即可得y与x的函数关系式因为x为正整数，所以x＞0；因为每件玩具售价不能高于40元，所以x≤40－30=10故自变量x的取值范围是：0。