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测量的误差和不确定度测量的误差和不确定度 测量是物理实验的基础 测量结果应包括数值、单位和对测量结果精确程度的评价（不确定度） 以电阻测量为例 测量对象 数值 不确定度 单位含义： R 的真值有相当大（例如95%）的可能（概率）位于区间 （909.9，910.7） 之内测量分为直接测量和间接测量 直接测量：由仪器直接读出测量结果的 间接测量：由直接测量结果通过公式计算 而得出结果的例：测量铜柱的密度时，我们可以用米尺量出它的高h和直径d，算出体积 然后用天平称出它的质量M，算出密度 这里铜柱的高 h、直径 d 和质量 M是直接测得量， 体积V和密度是间接测得量误差分类误差分类 系统误差：测量值对真值的偏离（包括大小和方向） 总是相同的具有恒定性，不能用增加测量次数的方法使它减小 偶然误差：由大量、微小、不可预知的因素引起 具有随机性，服从统计律 产生原因： 系统误差： 如仪器误差，方法误差，人员误差 偶然误差： 如实验条件和环境因素的起伏，估读数 的偏差，测量对象的不稳定.系统误差的处理系统误差的处理已定系统误差：设法消除，或修正 测量结果 = 测得值(或其平均值)-已定系统误差 （如电表、螺旋测微计的零位误差；伏安法测电阻时电表内阻引起的 误差）未定系统误差：估计其限值（仪器的允差），归入B类不确定度参与对测量结果的评价（如仪器误差）。

B B类不确定度的估算类不确定度的估算仪 器 名 称量 程最小分度值最 大 允 差钢板尺150mm500mm1000mm1mm1mm1mm0.10mm0.15mm0.20mm游标卡尺125mm0.02mm0.05mm0.02mm0.05mm螺旋测微器（千分尺）025mm0.01mm0.004mm七级天平（物理天平）500g0.05g0.08g（接近满量程）0.06g（1/2量程附近）0.04g（1/3量程附近）普通温度计精密温度计（水银）0100010010.110.2电表级别%量程数字万用电表电流表（量程30mA, 0.5级）仪器误差 举例：偶然误差的处理偶然误差的处理偶然误差的特点：统计规律性 小误差出现的概率大；大误差出现的概率小,具 有单峰性； 正、负误差对称分布， 具有抵偿性处理方法： 取多次测量的平均值为测量结果的最佳估计值 研究其分布，找出其特征值，归入A类不确定度，参与对测量结果的评价偶然误差的分布偶然误差的分布偶然误差一般服从正态分布，可用概率密度函数来描述，概率密度函数为(1). 当测量次数 时，所有测量值的算术平均值就等于真值 所以增加测量次数可以减小偶然误差2). 称为标准差，是 中的参数，反映误差的离散程度 (3). 置信区间 与置信概率（置信水平）的关系： 偶然误差的处理方法 假定系统误差已消除，对同一个物理量进行n次测量，测得的值为xi (i =1, 2，n)(1) 用多次测量的算术平均值作为x0的估计值： (2) 用算术平均值的标准差 作为 的估计值 按贝塞耳公式求出：测量结果可以表述为： 为了估计测量结果的可靠程度，测量结果应写成不确定度 是概率意义上对测量结果精确程度的评价。

表示测量结果是一个范围它表示待测物理量的真值有一定的概率落在上述范围内（关键是找出 置信区间与置信概率的关系） 若置信概率为100%，则相应的 就称为极限误差， 用 表示，写作： 不确定度不确定度 也常用标准差 表示，写作 这时置信概率就为68.3% 要完整地表示一个物理量，应该有数值、单位 、不确定度这三个要素 相对误差和相对不确定度： 常用相对不确定度估计相对误差的大小例：测得两个物体的长度为： 其相对不确定度分别为： 两者不确定度相等，但相对不确定度后者大1个数量级注：不确定度一般取12位有效数字不确定度分类 不确定度分为两类： A 类分量 (多次重复测量时)可用统计学方法计算的 分量；（常指标准差） B 类分量 用其他方法估算的分量（比如仪器的允差或极限误差） 总不确定度是这两类分量的方和根合成： A A类不确定度类不确定度A的计算的计算 计算标准偏差 计算算术平均值的标准差 单次测量的几种情况： (1).仪器精度较低；(2).对测量的准确程度要求不高(3).受测量条件限制 单次测量只能考虑B类分量，即仪器的允差或极限误差 ，表达式： 若要在 与 间换算，单次测量的不确定度单次测量的不确定度直接测量的数据处理程序直接测量的数据处理程序 求测量数据的平均值 修正已定系统误差 (例如初读数x0），得 求算术平均值的标准偏差根据所用仪器得 B=仪 =e将极限误差换算为标准差 由A、 B合成总不确定度u : 给出直接测量的最后结果： 例：用一级螺旋测微计测某一圆柱体的直径d共6次，测量值如下表： 螺旋测微计的初读数为：- 0.003mm， 螺旋测微计的仪器误差为仪= 0.004mm，求测量结果。

解:(1)求直径 d 的算术平均值、对已定系统误差进行修正 (2)计算A类不确定度 i123456Di /mm8.3458.3488.3448.3438.3478.344(3)计算B类不确定度(4)合成不确定度(5)测量结果为 设被测量y可写成m个直接测量量 的函数通过直接测量已得则或适用条件(1).各直接测量量 互相独立；(2).各直接测量量 的已定系统误差已 被消除或修正常用函数的不确定度合成公式 间接测量的数据处理程序间接测量的数据处理程序1. 求出各直接测量量 xi 的平均值 和(总)不确定度2. 求y的平均值3. 据 求出 或3.用 求出 或先用 求出 再求4.完整表示出y的结果 例：已知金属环的外径 内径 高 求环的体积V ，并正确表示测量结果解：环体积公式为 （1）环体积的最可靠值为 （2）首先将环体积公式两边同时取自然对数后，再求全微分 则相对不确定度为（3）不确定度为（4）环体积的测量结果为 V=9.440.08 cm3 9.436应与0.08取齐，故将9.436修约为9.44 有效位数的概念 测量结果用且只用它的有效位数表示 不确定度决定有效位数具体为：不确定度的有效位数取1位，测量结果的末位与 不确定度末位对齐。

测量结果的有效位数越多，其相对不确定度越小，精确度越高 例：0.0123与1.23与123的有效位数都是3位0.01230有效位数是4位, 最右边的“0”是有效位数，不可以省略不写 2-22-2数值的数值的有效位数及其运算规则有效位数及其运算规则记例1：光速C=30万公里每秒不正确的写法：C=300000km/s；C=30km/s正确的写法：C=3.0105km/s=3.0108m/s例2：电子电量e =1.60218910-19C科学记数法仪器的读数规则(1).刻度式仪表，在最小分度值后要估读一位(2).数字显示仪表，直接读取仪表的示值3).游标类量具，读到游标分度值的整数倍有效位数的运算规则 “4舍6入5凑偶”:(1).要舍弃的数字小于5时，舍去；(2).要舍弃的数字大于5时，进1；(3).要舍弃数字刚好是5，凑偶例：保留3位有效位数，则9.8249=9.829.82571=9.839.8250=9.82数值的修约规则运算过程多保留1至2位，最终结果的有效位数由不确定度决定要点：(1).避免运算过程引入不必要的“舍入误差”(2).最终结果按有效位数的规则进行修约，归根到底，不确定度决定有效位数有效位数的运算规则例：已知 ， 求 并正确表示测量结果。

解： (1) 注意应取 = 3.1416 参与运算 (2) 注意多算出1位，最后再作修约 (3) V=9.440.08 cm3 注意最终结果的正确表达 (1).两数相加（减），其和（差）的有效位数的最后（即最右）一位与两数中最后一位位数高者相同如：11.4+3.56 =15.0 ； 75-10.350 =65 十分位 十分位 个位 个位(2).两数相乘（除），其积（商）的有效位数与两数中有效位数少者相同如：98 2003 =2.0105 ； 2.0000.991=2.02 二位 二位 三位 三位 注：正确数不适用上述规则常数应取足够的有效位数参与运算简化的运算规则3.3.实验数据的列表与作图实验数据的列表与作图3-1 3-1 数据列表数据列表3-2 3-2 作图法处理实验数据作图法处理实验数据3-1 3-1 数据列表数据列表所有实验数据都要用列表的方法记录例：表1：伏安法测电阻实验数据作图可形象、直观地显示出物理量之间的函数关系可用来求某些物理参数作图规则：（以伏安法测电阻实验为例）表1：伏安法测电阻实验数据要用坐标纸作图根据坐标分度值和数据范围，确定坐标纸的大小坐标分度值的选取应能基本反映测量值的准确度或精密度坐标轴的标注（所代表的物理量的名称、单位、分度值等）标出数据点连成光滑曲线，标注图题及必要的说明 3-2 3-2 作图法处理实验数据作图法处理实验数据I (mA)U (V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00电阻伏安特性曲线利用所绘直线作有关计算I (mA)U (V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)由图上A、B两点可得被测电阻R为：不当图例展示：n(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图图1曲线太粗，不均匀，不光滑。

应该用直尺、曲线板等工具把实验点连成光滑、均匀的细实线n(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图改正为：图2I (mA)U (V)02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00电学元件伏安特性曲线横轴坐标分度选取不当横轴以3 cm 代表1 V，使作图和读图都很困难实际在选择坐标分度值时，应既满足有效数字的要求又便于作图和读图，一般以1 mm 代表的量值是10的整数次幂或是其2倍或5倍I (mA)U (V)o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00电学元件伏安特性曲线改正为：定容气体压强温度曲线1.20001.60000.80000.4000图3P(105Pa)t()60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00图纸使用不当实际作图时，坐标原点的读数可以不从零开始定容气体压强温度曲线1.00001.15001.20001.10001.0500 P(105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t()改正为：。