数学建模作业2.docx

正规战与游击战摘要早在第一次世界大战期间，F. W. Lanchester就提出了几个预测战争结局的数学模型正规战争模型便是其中的一种本题运用函数积分等方法来对于双方都是采用正规部队作战方式进行分析第一问中甲方士兵人数减少了ay，同理，甲方可以将乙方士兵杀死，乙方人数减少了bx在此条件下分析只考虑减员率，哪一方剩余人数多或者说哪一方杀死的人多即获得胜利第二问即在双方在战争时，甲方在战斗开始有后备部队来增援，虽然有士兵战死，但与此同时有相应的士兵替补，在后备部队以r的速率增加士兵时，根据一般战争模型列出微分方程，最终可求出甲乙双方某时刻剩余的士兵数，通过比较士兵数量来推算出最后哪一方将会获得胜利关键词: 一般战争模型 正规部队 减员率一、 问题重述甲乙双方进行战争，用建模的思路和方法来判断整个战争的结局二、问题假设一般战争模型 用x(t)和y(t)表示甲乙交战双方时刻t的兵力，不妨视为双方的士兵人数，假设：1、 每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力，甲乙方的战斗减员率分别用f(x,y)和g(x,y)表示2、 每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑等因素引起）只与本方的兵力成正比3、 甲乙双方的增援率是给定的函数，分别用u(t)和v(t)表示。

由此可以写出关于x(t),y(t)的微分方程为X(t) = -f(x,y) – mx +u(t), m>0y(t) = -g(x,y) –nx +v(t),n>0 （1）4、 1） 忽略非战斗减员情况2）忽略由于生病或其他情况引起的人员减少3）忽略交战双方的政治、经济、社会等因素三、问题分析甲乙双方都用正规部队作战，我们只需分析甲方的战斗减员率f(x,y)甲方士兵公开活动，处于乙方每一个士兵的监视和杀伤范围之内，一旦甲方某个士兵被杀伤，乙方的火力立即集中在其余士兵，所以甲方的战斗减员率只与乙方兵力有关，可以简单地设f与y成正比，即f=ay.a表示乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤率（单位时间的杀伤数），称乙方的战斗有效系数a可以进一步分解为a=rypy，其中ry是乙方的射击率（每个士兵单位时间的射击次数），py是每次射击的命中率类似地，有g=bx,且甲方的战斗有效系数b=rxpx,rx和px是甲方的射击率和命中率，于是，在这个模型中方程（1）化为 X = -ay –mx + u(t) y = -bx –ny + v(t) （2）在分析战争结局时忽略非战斗员一项（与战斗减员相比，这项很小），并且假设双方都没有增援，记双方的初始兵力分别是x0和y0，方程（2）简化为 X = -ay Y = -bx （3） X(0) = x0, y(0) = y0由方程（3）可知，双方兵力x(t),y(t)都是单调减函数，不妨认为兵力先减至0的一方为负方。

为了得到双方胜负的条件，不必直接求解方程（3），而在相平面上讨论相轨线的变化规律由方程（3）可得 dydx=bxay （4）其解为 ay2 – bx2 = k （5）注意到方程（3）的初始条件，有 k=ay02-bx02 （6）如果k>0,轨线将与y轴相交就是说存在某时刻t1,使x(t1)=0,y(t1)=√ka>0,即当甲兵力为0时乙方兵力为正值，表明乙方获胜同理可知，当k<0时甲方获胜，而当k=0时双方平战进一步分析某一方比如乙方取胜的条件，由（6）式并注意到a,b的含义，乙方获胜的条件可表示为：（y0x0）2>ba = rxpxrypy （7）所要解决的问题： 可以说明，双方初始兵力之比y0/x0以平方关系影响着战争的结局现设乙方与甲方的战斗有效系数之比a/b=4，初始兵力x0,y0相同1） 问乙方取得胜时剩余兵力是多少，乙方取得的胜利如何确定？（2） 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援，重新建立模型，讨论如何判断双方的胜负？四、模型的建立与求解针对第一问，可根据题意，甲方减少人数为ay,乙方减少人数为bx，甲方初始人数为x0，乙方初始人数为y0,用x(t)，y(t)表示在t时刻交战时甲乙双方的人数，可得： dxdt=-ay dydt=-bx X(0)=x0,y(0)=y0求得 乙方取胜时的剩余兵力为： Y(t1) = ay02-bx02a = 32y0 乙方取胜时间t1,需求解方程（3），解得 X(t)=x0-y0abeabt+x0+y0abe-abt/2 令 x(t1)=0, a/b=4, 解得 t1=In34b针对第二问，因为甲方有增援，且以r的速率增加，列出相应方程如下： dxdt=-ay+r dydt=-bx X(0)=x0,y(0)=y0由此可得dxdy=-ay+r-bx,即bxdx=aydy-rdy,通过积分可得相轨线为ay2-2ry-bx2 = k, ay02-2ry-bx02 = k将此方程化为a(y-ra)2-bx2-r*ra = k乙方取得胜利的条件为k>0,即a(y-ra)2 - bx2-r*r a > 0五、模型的推广与评价5.1、模型优点该模型可以简单方便的反应在正规作战情况下，忽略其他次要因素来判断作战双方谁会获得胜利。

5.2、模型缺点该模型仅适用于正规作战，但实际生活中往往不是如此，很多其他因素会不可避免的影响作战情况，也不一定双方都采用正规作战，也可能是游击战，也可能是混合战，所以该模型的分析情况还是有些片面5.3、模型的推广可将模型推广为混合站模型来更精确分析数据六、参考文献[1]姜启源等编写，数学模型（第四版），高等教育出版社，2011年1月第四版。