高等数学 第三章逐次逼近法.doc

第三章第三章 逐次逼近法逐次逼近法1.1 1、一元迭代法 xn+1=φ(xn)收敛条件为： 1）映内性 x∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L∣x-y∣其中 L＜1，此时 φ 为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集由微分中值定 理，如果∣φ’∣≤L＜1，显然它一定满足压缩性条件 2、多元迭代法x xn+1=φφ(x xn)收敛条件为：1）映内性x xn∈ΩΩ，φφ(x xn) ∈ΩΩ 2）压缩性 ρ（▽φ▽φ）＜1，其中▽φ▽φ为x xn处的梯度矩 阵，此时φφ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集3、当φφ(x x)= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B B）＜1，此时 x xn+1= Bxn+f，在不断的迭代中，就 可以得到线性方程组的解4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 ULDAJacobi 迭代公式的矩阵形式 fBxbDxULDxnnn 11 1)(Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 fBxbLDUxLDxnnn 11 1)()(超松弛迭代法公式的矩阵形式fBxbLDxUDLDxkkk111)(])1[()(三种迭代方法当时都收敛。

1)(B5、线性方程组的迭代解法，如果 A 严格对角占优，则 Jacob 法和 Gauss-Seidel 法都收敛 6、线性方程组的迭代解法，如果 A 不可约对角占优，则 Gauss-Seidel 法收敛7、Newton 迭代法，单根为二阶收敛 2 211 '' '21lim)(2)(lim               kkkkk kkkxxxxffc xx8、Newton 法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数 m， 仍为二阶收敛)()('1 kk kkxfxfmxx   9、弦割法 的收敛阶为 1.618，分半法的收敛速度为（b-a）)()())((11 1  kkkkk kkxfxfxxxfxx/2n-110、Aitken 加速公式1121 111 2)(),(),(                     kkkkk kkkkkk xxxxxxxxxxx1.2 典型例题分析典型例题分析 1、证明如果 A 严格对角占优，则 Jacob 法和 Gauss-Seidel 法都收敛。

证明：首先证 Jacob 法收敛，因为 A 严格对角占优，则，于是),...,2 , 1( ,, 1niaanijjijii ，从而，这又有，因),...,2 , 1( , 11, 1niaanijjij ii 1)(1ULD1))((1ULD此 Jacob 迭代法收敛再证 G-S 法收敛，因为，由定理 1.6，非奇异，而1)(1ULD)(1ULDI，所以0)det()det()det())(det())(det(1111ADADULDDULDI，从而严格对角占优矩阵一定可逆0)det(A在 G-S 法中，，从而，求矩阵特征值时，0)det(1 niiiaLD0))det((1LD0))(det())det()))(()det(())(det(111ULDLDULDLDULDI只能是，因为 A 严格对角占优，，如果0))(det(ULD),...,2 , 1( ,, 1niaanijjijii ，两边乘，这1 nijijijijnijijijijnijjijiiaaaaaa111111, 1,那么说明矩阵仍然严格对角占优，前面已证明，该行列式不能为 0，这是一个矛ULD)(盾。

因此，只能是，而这恰好说明 Gauss-Seidel 迭代法收敛12、证明：如果 A 的对角元非零，超松弛迭代法收敛的必要条件是20证明：令，如果超松弛迭代法收敛，应该有])1[()(1UDLDL1)(L niinniiinniiiddUDLDL11111)1 ()1 ()())1det(())det(()det(而，11, 1)max(1)1 (, 1max)( 1111 n ininiinniin iniL，所以从而必须满足203、分析方程 2x-3x+4x-5x+6x-7x+8x-9x+10x=10 是否有实根，确定根所在的区间，写出求根的 Newton 迭代公式,并确定迭代的初始点解：0)ln() 1()(, 0)2(, 0) 1 (,10) 1()(102'102             iixfffixfxiixii显然令因此该方程在[1,2]有且仅有一个实根，Newton 迭代公式为/（） ，x0=1.5 即可(1   nnxx)10) 1(102     nxiii)ln() 1(102iinxii    4、由求的 Newton 迭代公式 a,..., 2 , 1 , 0, 0),(211kxxaxxk kkk证明：对一切 是递减序列。

121xxaxkk并且有证明：首先，如果中的 xk>0 ，于是  10, 0kkxx则迭代序列又因为 k=1 开始,...2 , 1 , 0,, 1.2 .21)(2111kaxxaax xaaxaxk kkkkk所以，为递减序列所以，于是1221, 1))(1 (21)1 (21kk kkk kxxaa xa xxax5、若 f(x)在零点ξ的某个邻域中有二阶连续导数，并且 f’(ξ)≠0，试证：由 Newton 迭代法产生的xk(k=0,1,2,…)有)(2)(lim'' '2 211  ffxxxxkkkkk 证明：由 Taylor 公式，得证由于，整理得到）式变为）后，（）代替（用（）（）（迭代公式整理可以得到由）（）（,)(2)()(! 2)())(()()(23440))(()(30))(()(2)(! 2)())(()()(1)(! 2)())(()()(11111 1'' '2 2112 21' '11' 1111' 1212' 22 21' '212' 212 2' '22' 2a   kkkkxk kxkkkkkkx kkkkkkkkkkkkkkkx kkkkkkx kkkxxffxxxxxxfxxxfxfxfxxxfxfxxxfxfNewtonxxfxxxfxfxfxxfxxxfxfxf6、证明：A∈Cn*n,对任意范数有，)(limAAkkk   证明：首先存在某种范数 所以)()()()(*AAAAAkkkkk    ，而，取 得到))(/1)(()()(*AAAAAkkkkk     )(Ak ，对不等式同时取极限即得到 )(2)(*AAAkkk  )(lim*AAkkk   再根据范数的等价性 对不等式同时取极限即得到对任意范数有*2*1kkkAcAAc  结果 )(limAAkkk   7、确定常数 p,q,r，使如下迭代法收敛到，该方法至少几阶？52213,kkkkxra xqapxxa    解：根据定理 3.6，一个迭代格式，在根附近它的 p-1 阶导数为零，就至少有 p 阶收敛速度速度。

附近，至少有三阶收敛，此时该迭代格式在根立即可以解出：右端求函数和导数值对数值和各阶导数，令为根，在此处求函，那么如果它收敛到由迭代格式91,95)(, 0)(, 0)(,)(,)(3“3'3333 522rqpxaaaaaxaxra xqapxx1.3 习题解答习题解答 1、 判断正误、选择和填空： 1） 、对于迭代过程，xn+1=φ(xn)，若迭代函数在 x* 的邻域有连续的二阶导数，且，则迭代过程为超线性收敛1)(*'x（不正确） ，xn+1=φ(xn)的迭代收敛条件有两条，1）映内性 xn∈[a,b]，φ(xn) ∈[a,b] 2）压缩性更不能保证有超线性收敛，例如：1)(*' Lx，它只有线性收敛速度但是满足，迭代收敛，并有根023)(311)(,38197. 0) 1(31)(*2 1212112**2 1limlim xxxxx xxxxxxxxxkkkkkkkkkkkkk2） 用 Newton 迭代法求任何非线性方程 均局部平方收敛 （不正确） 3） 若线性方程组 Ax=b 的系数矩阵 A 为严格对角占优，则 Jacobi 迭代法和 G-S 迭代法都 收敛。

（正确） 4） 解非线性方程 f(x)=0 的弦解法迭代具有（局部超线性敛速 1.618） （A） 局部平方收敛；（B）局部超线性收敛；（C）线性收敛 5） 任给初始向量 x(0)及右端向量 f，迭代法 x(k+1)=Bx(k)+f 收敛于方程组 Ax=b 的精确解 x*的充要条件是（） 1)(B6） 设 φ(x)=x-β(x2-7)，要使迭代法xk+1=φ(xk)局部收敛到 x*=，则 β 取值范围是7（） 7/107）用迭代法 xk+1=xk-λ(xk)f(xk)求 f(x)=x3-x2-x-1=0 的根，若要使其至少具有局部平方收敛，则（） ) 123(1)(2收敛到kx) 123(1)(0) 123)((1) 123)(()()(1)(0)() 123)(()()(1)() 1)(()()()(222'''2''23，所以，而时，应有如果平方收敛，则，fxxxxxfxxxxxxxxfxxx8）用二分法求 x3-2x-5=0 在[2，3]内的根，并要求，需要迭代（18）步。

51021kx9） 求 f(x)=5x-ex=0 在[0，1 的根，迭代函数的简单迭代公式收敛阶为（线性） ；xex51)(Newton 迭代公式的函数（） ；其收敛阶为（二阶） xxeexxx55)(10） 给定方程组，a 为实数，当 a 满足（ ） ，且 0