2022年高考导数.pdf

学习必备欢迎下载第二部分：泰勒展开式1.2311,1!2!3!(1)!nnxxxxxxxeenn其中(01)；2. 231ln(1)( 1),2!3!nnnxxxxxRn其中111( 1)()(1)! 1nnnnxRnx；3.35211sin( 1)3!5!(21)!kknxxxxxRk，其中21( 1)cos(21)!kknxRxk；4. 24221cos1( 1)2!4!(22)!kknxxxxRk其中2( 1)cos(2 )!kknxRxk；第三部分：新课标高考命题趋势及方法许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型.这类题目容易让学生想到用 分离参数 的方法， 一部分题用这种方法很凑效，另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华山一条路分类讨论和假设反证的方法 . 虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂，学生掌握起来非常困难. 研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了00”型的式子， 而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则 . 第四部分：洛必达法则及其解法洛必达法则： 设函数( )f x 、( )g x 满足：（1） lim( )lim( )0 xaxaf xg x；（2）在( )Ua 内，( )fx和( )gx 都存在，且( )0g x；（3）( )lim( )xafxAgx（A可为实数，也可以是）. 则( )( )limlim( )( )xaxaf xfxAg xgx. （2011 新） 例： 已知函数ln( )1axbf xxx，曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程为230 xy. （）求a、b的值；（ ）如果当0 x，且1x时，ln( )1xkf xxx， 求k的取值范围 . （）略解得1a，1b. （） 方法一：分类讨论、假设反证法由（）知ln1( )1xf xxx，所以22ln1(1)(1)( )()(2ln)11xkkxf xxxxxx. 考虑函数( )2lnh xx2(1)(1)kxx(0)x，则22(1)(1)2( )kxxh xx. (i) 当0k时，由222(1)(1)( )k xxh xx知，当1x时，( )0h x. 因为(1)0h，所以当(0,1)x时，( )0h x，可得21( )01h xx；当(1,)x时，( )0h x，可得精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载21( )01h xx，从而当0 x且1x时，ln( )()01xkf xxx，即ln( )1xkf xxx；（ii ） 当01k时，由于当1(1,)1xk时，2(1)(1)20kxx， 故 ( )0h x， 而( 1 )0h， 故当1(1,)1xk时，( )0h x，可得21( )01h xx，与题设矛盾 . （iii）当1k时，( )0h x，而(1)0h，故当(1,)x时，( )0h x，可得21( )01h xx，与题设矛盾 .综上可得，k的取值范围为(0，. 注： 分三种情况讨论：0k；01k；1k不易想到 . 尤其是01k时，许多考生都停留在此层面，举反例1(1,)1xk更难想到 . 而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同，这是高中阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升. 当0 x，且1x时，ln( )1xkf xxx，即ln1ln11xxkxxxx，也即2ln1ln2 ln1111xxxxxxkxxxx，记22 ln( )11xxg xx，0 x，且1x则2222222222(1)ln2(1)2(1)1( )=(ln)(1)(1)1xxxxxgxxxxx，记221( )ln1xh xxx，则22222214(1)( )+=0(1+)(1+)xxh xxxxx，从而( )h x在(0,)上单调递增，且(1)0h，因此当(0,1)x时，( )0h x，当(1,)x时，( )0h x；当(0,1)x时，( )0g x，当(1,)x时，( )0gx，所以( )g x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增 . 由洛必达法则有2211112 ln2 ln2ln2lim( )lim(1)1lim1lim0112xxxxxxxxxg xxxx，即当1x时，( )0g x，即当0 x，且1x时，( )0g x. 因为( )kg x恒成立，所以0k. 综上所述，当0 x，且1x时，ln( )1xkf xxx成立，k的取值范围为(0，. 注： 本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数k分离出来 . 然后对分离出来的函数22 ln( )11xxg xx求导，研究其单调性、极值. 此时遇到了“当=1x时，函数( )g x值没有意义”这一问题，很多考生会陷入困境. 如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法.例（2010 新） ：设函数2( )1xf xexax. （）若0a，求( )f x的单调区间；（）当0 x时，( )0f x，求a的取值范围 . 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载应用洛必达法则和导数（）当0 x时，( )0f x，即21xexax.当0 x时，aR；当0 x时，21xexax等价于21xexax. 记21( )xexg xx(0 +)x，则3(2)2( )xxexgxx. 记( )(2)2xh xxex(0 +)x，则( )(1)1xh xxe，当(0 +)x，时，( )0 xhxxe，所以( )(1)1xh xxe在(0 +)，上单调递增， 且( )(0)0h xh，所以( )(2)2xh xxex在(0 +)，上单调递增，且( )(0)0h xh，因此当(0 +)x，时，3( )( )0h xgxx，从而21( )xexg xx在(0 +)，上单调递增 . 由洛必达法则有，20000111lim( )limlimlim222xxxxxxxexeeg xxx即当0 x时，1( )2g x，所以当(0 +)x，时，所以1( )2g x，因此12a. 综上所述，当12a且0 x时，( )0f x成立 . 自编 ：若不等式3sin xxax对于(0,)2x恒成立，求a的取值范围 . 解：应用洛必达法则和导数当(0,)2x时，原不等式等价于3sinxxax. 记3sin( )xxf xx，则43sincos2( )xxxxfxx. 记( )3sincos2g xxxxx，则( )2cossin2g xxxx. 因为( )cossincos (tan )gxxxxx xx，( )sin0gxxx，所以( )gx在(0,)2上单调递减，且( )0gx，所以( )g x在(0,)2上单调递减，且( )0g x. 因此( )g x在(0,)2上单调递减，且( )0g x，故4( )( )0g xfxx，因此3sin( )xxf xx在(0,)2上单调递减 . 由洛必达法则有3200000sin1cossincos1lim( )limlimlimlim3666xxxxxxxxxxf xxxx，精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载即当0 x时，1( )6g x，即有1( )6f x.故16a时，不等式3sinxxax对于(0,)2x恒成立 . 通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足：（1）可以分离变量；用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性；出现“00”型式子 . 2010 海南宁夏文（ 21）已知函数2( )(1)xf xx eax. （）若( )f x在1x时有极值，求函数( )f x的解析式；（）当0 x时，( )0f x，求a的取值范围 . 解： （） 应用洛必达法则和导数0 x时，( )0f x，即2(1)xx eax. 当0 x时，aR；当0 x时，2(1)xx eax等价于1xeax，也即1xeax. 记1( )xeg xx，(0,)x，则(1)1( )xxegxx.记( )(1)1xh xxe，(0,)x，则( )0 xh xxe，因此( )(1)1xh xxe在(0,)上单调递增，且( )(0)0h xh，所以( )( )0h xgxx，从而1( )xeg xx在(0,)上单调递增 . 由洛必达法则有0001lim( )limlim11xxxxxeeg xx，即当0 x时，( )1g x所以( )1g x，即有1a. 综上所述，当1a，0 x时，( )0f x成立. 2010 全国大纲理（ 22）设函数( )1xf xe. （）证明：当1x时，( )1xf xx； （）设当0 x时，( )1xf xax，求a的取值范围 .解： （）略（） 应用洛必达法则和导数由题设0 x，此时( )0f x. 当0a时，若1xa，则01xax，( )1xf xax不成立；当0a时，当0 x时，( )1xf xax，即11xxeax；若0 x，则aR；若0 x，则11xxeax等价于111xexax，即1xxxxeeaxex. 记1( )xxxxeeg xxex，则2222221( )=(2)()()xxxxxxxxex eeegxexexexxex. 记2( )2xxh xexe，则( )2xxh xexe，( )+20 xxhxee. 因此，( )2xxh xexe在(0)，上单调递增，且(0)0h，所以( )0h x，精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载即( )h x在(0)，上单调递增，且(0)0h，所以( )0h x. 因此2( )=( )0()xxegxh xxex，所以( )g x在(0)，上单调递增 . 由洛必达法则有000011lim( )limlimlim122xxxxxxxxxxxxxxxeexeexeg xxexexeexe，即当0 x时，1( )2g x，即有1( )2g x，所以12a. 综上所述，a的取值范围是1(,2. （2008）例 ：设函数sin( )2cosxf xx（）求( )f x的单调区间；（）如果对任何0 x，都有( )f xax，求a的取值范围解： （）22(2cos )cossin(sin )2cos1( )(2cos )(2cos )xxxxxfxxx当222 2 33kxk（kZ）时，1cos2x，即( )0fx；当242 2 33kxk（kZ）时，1cos2x，即( )0fx因此( )f x在每一个区间222 2 33kk，（kZ）是增函数，( )f x在每一个区间242 2 33kk，（kZ）是减函数（）应用洛必达法则和导数sin( )2cosxf xaxx若0 x，则aR；若0 x，则sin2cosxaxx等价于sin(2cos )xaxx，即sin( )(2cos )xg xxx则222 cos2sinsincos( )(2cos )xxxxxxgxxx. 记( )2 cos2sinsincosh xxxxxxx，2( )2cos2 sin2coscos212 sincos212sin2 sin2sin (sin)h xxxxxxxxxxxxxxx因此，当(0,)x时，( )0h x，( )h x在(0,)上单调递减，且(0)0h，故( )0g x，所以( )g x在(0,)上单调递减，而000sincos1lim( )li。