第九单元 不等式教材复习课“不等式”相关基础知识一课过不等式、一元二次不等式[过双基]1．两个实数比较大小的方法(1)作差法(2)作商法2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔bb，b>c⇒a>c；(3)可加性：a>b⇔a＋cb＋c；a>b，c>d⇒a＋cb＋d；(4)可乘性：a>b，c>0⇒acbc；a>b>0，c>d>0⇒acbd；(5)可乘方性：a>b>0⇒anbn(n∈N，n≥1)；(6)可开方性：a>b>0⇒(n∈N，n≥2)．3．三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2 (x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x>x2或xb>0，则下列不等式中恒成立的是( )A.> B．a＋>b＋C．a＋>b＋ D.>解析：选C 由a>b>0⇒0<<⇒a＋>b＋，故选C.2．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则( )A．M >N B．M ≥NC．M＜N D．M≤N解析：选A 由题意知，M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝2a2－4a－(a2－2a－3)＝(a－1)2＋2>0恒成立，所以M>N.3．已知一元二次不等式f(x)＞0的解集为xx＜－1或x＞，则f(10x)＞0的解集为( )A．{x|x＜－1或x＞lg 2} B．{x|－1＜x＜lg 2}C．{x|x＞－lg 2} D．{x|x＜－lg 2}解析：选C 一元二次不等式f(x)＞0的解集为xx＜－1或x＞，则不等式f(10x)＞0可化为10x＜－1或10x＞，解得x＞lg ，即x＞－lg 2，所以所求不等式的解集为{x|x＞－lg 2}．4．不等式－6x2＋2＜x的解集是________．解析：不等式－6x2＋2＜x可化为6x2＋x－2＞0，即(3x＋2)(2x－1)＞0，解不等式得x<－或x>，所以该不等式的解集是∪.答案：∪[清易错]1．在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．3．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别a的符号．1．若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )A．(1，＋∞) B．(－∞，－1)C. D.∪(1，＋∞)解析：选C ①当m＝－1时，不等式为2x－6<0，即x<3，不符合题意．②当m≠－1时，则解得m<－，符合题意．故实数m的取值范围为.2．对于实数a，b，c，有下列命题：①若a＞b，则ac＜bc；②若ac2＞bc2，则a＞b；③若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；④若c＞a＞b＞0，则＞；⑤若a＞b，＞，则a＞0，b＜0.其中真命题的序号是________．解析：当c＝0时，若a＞b，则ac＝bc，故①为假命题；若ac2＞bc2，则c≠0，c2＞0，故a＞b，故②为真命题；若a＜b＜0，则a2＞ab且ab＞b2，即a2＞ab＞b2，故③为真命题；若c＞a＞b＞0，则＜，则＜，则＞，故④为真命题；若a＞b，＞，即>0，故ab＜0，则a＞0，b＜0，故⑤为真命题．故②③④⑤为真命题．答案：②③④⑤3．若不等式ax2－bx＋c＜0的解集是(－2,3)，则不等式bx2＋ax＋c＜0的解集是________．解析：∵不等式ax2－bx＋c＜0的解集是(－2,3)，∴a＞0，且对应方程ax2－bx＋c＝0的实数根是－2和3，由根与系数的关系，得即＝－6，＝1，∴b＞0，且＝1，＝－6，∴不等式bx2＋ax＋c＜0可化为x2＋x－6＜0，解得－3＜x＜2，∴该不等式的解集为(－3,2)．答案：(－3,2)简单的线性规划问题[过双基]1．一元二次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C＞0不包括边界直线Ax＋By＋C≥0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )解析：选C 由(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇔或结合图形可知选C.2．(全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选D 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，平移直线y＝－x，当直线经过点A(3,0)时，z＝x＋y取得最大值，此时zmax＝3＋0＝3.3．在平面直角坐标系xOy中，P为不等式组所表示的平面区域上一动点，则直线OP斜率的最大值为( )A．2 B.C. D．1解析：选D 作出可行域如图中阴影部分所示，当点P位于的交点(1,1)时，(kOP)max＝1.4．已知z＝2x＋y，实数x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是( )A. B.C. D.解析：选A 根据题意画出如图所示的可行域如图中阴影部分所示．平移直线l：2x＋y＝0，当l过点A(m，m)时z最小，过点B(1,1)时z最大，由题意知，zmax＝4zmin，即3＝4×3m，解得m＝.[清易错]1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先把二元一次不等式化为ax＋by＋c>0(a>0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．实数x，y满足使z＝ax＋y取得最大值的最优解有2个，则z1＝ax＋y＋1的最小值为( )A．0 B．－2C．1 D．－1解析：选A 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，∵z＝ax＋y取得最大值的最优解有2个，∴－a＝1，a＝－1，∴当x＝1，y＝0或x＝0，y＝－1时，z＝ax＋y＝－x＋y有最小值－1，∴ax＋y＋1的最小值是0.基本不等式 [过双基]1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；(2)＋≥(a，b同号)；(3)ab≤2(a，b∈R)；(4)2≤(a，b∈R)．3．算术平均数与几何平均数设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)． 1．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )A. B．2C．2 D．4解析：选C 由＋＝，知a＞0，b＞0，所以＝＋≥2 ，即ab≥2，当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.2．已知直线2ax＋by－2＝0(a＞0，b＞0)过点(1,2)，则＋的最小值是( )A．2 B．3C．4 D．1解析：选C 由直线2ax＋by－2＝0(a＞0，b＞0)过点(1,2)，可得2a＋2b＝2，即a＋b＝1.则＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2 ＝4，当且仅当a＝b＝时取等号．∴＋的最小值为4.3．已知x，y∈R且2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围为________．解析：根据题意知，2x＞0,2y＞0，所以1＝2x＋2y≥2＝2，即2x＋y≤＝2－2，x＋y≤－2，所以x＋y的取值范围为(－∞，－2]．答案：(－∞，－2] [清易错]1．求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．2．多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．1．在下列函数中，最小值等于2的函数是( )A．y＝x＋B．y＝cos x＋C．y＝D．y＝ex＋－2解析：选D 当x<0时，y＝x＋≤－2，故A错误；因为02，故B错误；因为≥，所以y＝＋>2，故C错误；因为ex>0，所以y＝ex＋－2≥2－2＝2，当且仅当ex＝，即ex＝2时等号成立，故选D.2．(天津高考)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．解析：因为ab>0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时取等号，故的最小值是4.答案：4一、选择题1．(洛阳统考)已知a<0，－1ab>ab2 B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a解析：选D ∵－1ab2>a.2．下列不等式中正确的是( )A．若a∈R，则a2＋9>6aB．若a，b∈R，则≥2C．若a>0，b>0，则2lg≥lg a＋lg bD．若x∈R，则x2＋>1解析：选C ∵a2－6a＋9＝(a－3)2≥0，∴A错误；显然B不正确；∵a>0，b>0，∴≥.∴2lg≥2lg＝lg(ab)＝lg a＋lg b，∴C正确；∵当x＝0时，x2＋＝1，∴D错误，故选C.3．若角α，β满足－<α<β<π，则α－β的取值范围是( )A. B.C. D.解析：选B ∵－<α<π，－<β<π，∴－π<－β<，∴－<α－β<.又∵α<β，∴α－β<0，从而－<α－β<0.4．若关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝( )A. B.C. D.解析：选A 由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0，(a>0)的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝.5．不等式组所表示的平面区域的面积为( )A．1 B.C. D.解析：选D 作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2.由得yD＝，所以S△BCD＝×(2－1)×＝.6．(成都一诊)已知x，y∈(0，＋∞)，且log2x＋log2y＝2，则＋的最小值是( 。
