2023年考研数学真题及解析.docx

2023 年考研数学〔一〕真题一、选择题：1~8 小题，每题 4 分，共 32 分. 以下每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上1. x ® 0+ 时，以下无穷小量中最高阶是〔 〕( )A. òx0et2 - 1 dt B. òx ln(1+0t3 )dtC. òsin x sin t2dt D. ò1-cos xsin t3 dt0【答案】 Dòx (et2-1)dtòx (et20-1)dt 1 1【解析】( A) lim 0x®0+ x3= lim 0x®0+= ，可知 x ® 0+ ，òx (et2 -1)dt ~ x3 ，3x2 3 0 3ò x ln(1+ t3 )dt2 x 2 5(B) lim 0= lim = ，可知ò ln(1+ t3 )dt ~ x 2 ， x ® 0+x®0+5ln(1+ x3 )x 2òsin x sin t 2dtx®0+ 2 3 5 0 5x25(C) lim 0= lim sin(sin2 x) ×cos x = lim cos x = 1，可知òsin x1sin t2dt ~ x3 ，x®0+x ® 0+x3ò 1-cos xx®0+10 2sin t3 dt3x2x®0+ 3 3 0 3sin3 (1- cos x) sin x(1- cos x)3 sin x1(D) lim 0= lim = = ，可知x®0+1-cos xx5 x®0+ 5x415x410 2ò sin t3 dt ~0x5 ， x ® 0+通过比照， ò1-cos x0sin t3 dt 的阶数最高，应选(D)2. 设函数 f (x)在区间(-1,1)内有定义，且lim f (x)= 0 ，则〔 〕x®0xA. 当lim f (x) = 0 ， f (x)在 x = 0 处可导.x®0x2B. 当limx®0f (x) = 0 ， f (x)在 x = 0 处可导.x.C. 当 f (x)在 x = 0 处可导时， lim f (x) = 0x®0x2.D. 当 f (x)在 x = 0 处可导时， lim f (x) = 0x®0【答案】C 【解析】当 f (x) 在 x = 0 处可导时，由 f (0) = lim f (x)= 0 ，且xx®0f ¢(0) = limf (x) - f (0)= limf (x) ，也即limf (x) 存在，从而limf (x) = 0 ，应选Cx®0x - 0x®0 xx®0 xx®0n ´ (x, y, f (x, y )x2 + y23. 设函数 f (x, y)(0,0)f (0,0)= 0æ ¶fn =¶f ö, ,-1 d在点 处可微，， ç ¶x ¶y÷ ( ) 非零向量 与n × (x, y, f (x, y )x2 + y2n 垂直，则〔 〕è ø 0,0A. limd × (x, y, f (x, y )x2 + y2(x, y )®(0,0)= 0 存在. B.limd ´ (x, y, f (x, y )x2 + y2(x, y )®(0,0)= 0 存在.limC. (x, y )®(0,0)= 0 存在. D.lim(x, y )®(0,0)= 0 .【答案】 A【解析】函数 f (x, y)在点(0,0)处可微， f (0,0)= 0 ，x2 + y2f (x, y) - f (0,0) - f ¢(0,0) x - f ¢(0,0) ylimx®0 y®0x yx2 + y2f (x, y) - f ¢(0,0) x - f ¢(0,0) y= 0 ，limx®0 y®0x y = 0由于n ×(x, y, f (x, y))= f¢(0,0) x + f ¢(0,0) y - f (x, y)，所以n × (x, y, f (x, y )x2 + y2x ylim(x, y )®(0,0)4. 设 R 为幂级数å¥n=1= 0 存在a rn 的收敛半径， r 是实数，则〔 〕nA. å¥n=1a rn 发散时， r ³ R . B. å¥nn=1a rn 发散时， r £ R .nC. r ³ R 时， å¥n=1a rn 发散. D. r £ R 时， å¥nn=1a rn 发散.n【答案】 A【解析】R 为å¥n=1a rn 的收敛半径，所以å¥nn=1a rn 在(-R, R) 必收敛，所以å¥nn=1a rn 发散n时， r ³ R .应选 A5. 假设矩阵 A 经初等列变换化成B ，则〔A. 存在矩阵 P ，使得 PA = B .〕B.存在矩阵 P ，使得 BP = A .C.存在矩阵 P ，使得 PB = A .D. 方程组 Ax = 0 与 Bx = 0 同解.【答案】B【解析】 A 经过初等列变换化成B ，存在可逆矩阵 P 使得 AP= B ,令 P-1 = P ，得出A = BP ,应选Bx - a6. 直线 L : 2 =1 a1y - b 2 - c2 = 2b c1 11x - a与直线 L : 3 =2 a21 1y - b 2 - c3 = 3b c2 2相交于éa ùa = ê i úi一点，法向量iêb ú ， i = 1,2,3 . 则ëûêc úiA. a1可由a , a2 3线性表示. B. a2可由a , a1 3线性表示.C. a可由a , a线性表示. D. a , a , a线性无关.3 1 2 1 2 3【答案】Cæ x ö æ a ö æ a öx - a= y - b2 - cç ÷ = ç 2 ÷ +ç 1 ÷a +ta【解析】令 L : 2a2 = 2b c= t ，即有ç y ÷ç b ÷t ç b ÷ =21 ç ÷ ç2 ÷ ç 1 ÷ 2 111 1 1æ x ö æ a ö æ a öè z ø è cø è c øç ÷ = ç 3 ÷ + ç2 ÷ =a+taa a = a a由 L 方程得ç y ÷ç b ÷t ç b ÷，两条线相交，得 +t +t2 ç z ÷ ç3 ÷ ç 2 ÷ 3 22 1 3 232è ø è c ø è c ø即a +ta2 1- ta2= a Û ta3 1+ (1- t)a2= a ，应选C37. 设 A ， B ， C 为三个随机大事，且P(A)= P(B)= P(C )= 1 ， P(AB)= 0 ，4P(AC )= P(BC )= 1 ，则 A ， B ， C 中恰有一个大事发生的概率为123 2 1 5A. . B. . C. . D. .4 3 2 12【答案】 D【解析】 P( ABC) = P( ABUC) = P( A) - P( A(BUC))= P(A) - P(AB) - P(AC) + P(ABC) = 1 - 0 - 1 + 0 = 14 12 6P(BAC) = P(BAUC) = P(B) - P(B( AUC))= P(B) - P( AB) - P(BC) + P( ABC) = 1 - 0 - 1 + 0 = 14 12 6P(CAB) = P(C AUB) = P(B) - P(C( AUB))= P(C) - P(CB) - P(CA) + P( ABC) =1 - 1 -1 + 0 = 14 12 12 12所以 P( ABC) + P( ABC) + P( ABC) =1 + 1 + 1 = 58. 设 x , x1 2, , xn6 6 12 12为来自总体 X 的简洁随机样本，其中P(X = 0)= P(X = 1)= 1 ，2F(x)表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得Pæ å100 Xçèii=1ö£ 55÷ 的近似值为øA. 1 - F(1). B. F(1). C.1 - F(0,2). D. F(0,2).【答案】 B【解析】由题意 EX =1 ， DX =1 ,依据中心极限定理å100 X~ N (50, 25)2 4 i ,i=1æå100 öæ 100åçi=125P çX - 50iö÷55 - 50 ÷£所以 PçèX £ 55÷ =i ø ç= F(1)25÷i=1 ç ÷è ø二、填空题：9~14 小题，每题 2 分，共 24 分.请将解答写在答题纸指定位置上.é 1 1 ù9. ê(lim -ex -)ú = .x®0 ë【答案】-11 ln 1 + x ûé 1 1ù éln (1+ x)- ex +1ù ln (1+ x)- ex +1【解析】lim êx- ( )ú = lim ê x ( )ú = lim x®0 ë e -1ln 1+ x û x®0 ë (e -1)ln 1+ x û1 1x®0 x2ln (1+ x)- ex +1x - x2 -1- x - x2 +12 2= lim = lim = -1x®0 x2 x®0 x2í10. 设 ìï x =(t2。