浅谈无穷集合及其基数.pdf

浅谈无穷集合及其 基数姓名：徐永贺班级：数 1001 班学号： 20103067 摘要作为自然数的两大基本理论之一基数理论，我们在这里讨论一下它在无穷集合中的有关性质与特点在本文中，我们将利用映射， 特别是利用一一对应作为工具，建立可数集和连续统集的概念， 并研究它们的一些性质， 从而得出无穷集合的特征性质（无穷的本质）；然后把有穷集合元素个数的概念推广到无穷集合上去，建立起无穷集合基数的概念； 接着建立基数的比较以及基数的算术运算，从而使无穷集合也有了“大小”与“多少”之分；最后，介绍一下集合的一些悖论首先，我们回顾一下基数理论的概念基数理论：当我们把所有表示数量的符号放在一起就得到了一个集合，我们称之为“数集”， 为了度量“数集”当中表示数量的符号个数，我们首先要定义一个概念就是“基数” 19 世纪中叶，数学家康托以集合理论为基础提出了自然数的基数理论 等价集合的共同特征称为基数对于有限集合来说， 基数就是元素的个数自然数就有有限集合 A 的基数叫做自然数记作“” 当集合是有限集时，该集合的基数就是自然数空集的基数就是0而一切自然数组成的集合，我们称之为自然数集，记为 N 自然数的基数理论以集合论的基本概念为基础。

在集合论中，如果集合A和 B的元素之间可以建立一一对应关系，就称集合 A与 B 对等，记作 A∽B集合的对等是一种等价关系，即对等关系满足（1）反身性： A∽A；（2）对称性： A∽B，则 B∽A；（3）传递性：若 A∽B，B∽C，那么 A∽C 定义 1：如果两个集合A、B 对等，我们称这两个集合具有相同的基数，集合 A的基数记为，若则规定集合 A 的基数不小于集合B 的基数，即§1 可 数 集1.1 对等定义 1 设 X,Y 是两个集合， 若 X与 Y之间有一个一一对应，则称 X 与 Y对等，记为 X～Y～”这是一个关系，而且是一个 等价关系 ，于是就可以把集合分成几类 1.2 可数集定义定义 2 凡与自然数集合N＝｛1，2，3，, ， n，,, ｝对等的集合都称为无穷可数集合，简称可数（或可列集、可列）说明： (1) 以后无特殊说明，N总是代表自然数集2.“无穷”与“无限”称为同义词，不加区分类似的，“有穷”与“有限”也是一样定义 3 （等价定义） 若从自然数集N到集合 X存在一个一一对应f：N → X，则称集合X是无穷可数集合，或可数定义 4 若 X有限或无穷，则称X至多可数 。

若 X不是可数集且也不是有限集，则称X为不可数的无穷集，或不可数集但是，在科学上很少有用否定词下定义的）说明： （1）有限集合既不是可数集也不是不可数集（ 2）可数与不可数只是对无穷集合而言的例题例 1．所有整数形成的集合是一个可数集显然，f是一一对应例 2．所有偶数形成的集合是一个可数集解：f：E→N，，显然，f是一一对应6 -4 -2 0 2 4 6 8 ,,,,7 5 3 1 3 5 6 8 ,,例 3．下例集合都是可数集A=｛1， 3，5，7，, ｝，B=｛2，4，6，8，, ｝，C= ｛1，4，9，16，25，, ，n2，, ｝D=｛1，，，, ，，, ｝，E=｛1，，，, ，，, ｝等等1.3 性质由于自然数集合N中元素可以排列一个无穷序列的形式：1， 2，3，, ，n，,因此与 N一一对应的集合A中的元素也可以排列一个无穷序列的形式：a1，a2，, ，an，,反之，对于一个集合A，若 A中的元素可以排成上述无穷序列的形式，则A一定是可数的吗？回答是肯定的因为 A中元素 an与自然数集合N中元素 n 之间可以建立起一一对应，所以有：定理 1 集合 A为可数集的充分必要条件是A中的全部元素可以排成没有重复项的无穷序列：a1，a2，, ，an，,形式，即A＝｛ a1，a2，, ， an，, ｝。

证：设 A是可数的，则N与 A间存在一个一一对应f，于是 A中的元素可以排成一个序列 a1，a2，a3, , ， an，, ，其中设 A的全部元素可以排成没有重复项的序列a1，a2，, ， an，, 的形式，则A是无穷的，令，则f是从 A到 N的一个一一对应，从而A是可数的说明： （1）由此定理知例题中的各个集合都是可数的是显然的把 I 排成： 0，1，-1 ，2，-2 ，3，-3 ，,把偶数集 E排成： 0， 2，-2 ， 4，-4 ，, 等等2）有的书把此定理作为定义定理 2 无穷集 A必包含有可数子集证： 从 A中取一个元素，记为a1因为 A是无穷集，所以｛a1｝仍是无穷集，故可以在｛a1｝再取一个元素，记为a2一般地，假如已得到了不相同元素a1，a2，, ， an，那么由于｛a1，a2，, ，an｝是无穷集，所以又可以从中取一个元素，记为 an+1如此继续下去，便得到了一个无穷集合M ＝｛ a1，a2，, ，an，, ｝显然，M是可数集且 MA说明： 此定理说明可数集是无穷集中“最小”的定理 3：可数集的任一无限子集也是可数的证：设 A为可数集，则A的全部元素可以排成一个没有重复项的无穷序列：a1，a2，, ， an，, 。

设 B是 A的一个无穷子集，依次观察上述序列，不时发现B的元素， 按发现 B的元素的早晚次序依次对应N的元素 1，2，3，, 由于 BA，所以必在上述序列中出现，从而必对应N中的某个元素再由B是无穷集可知B是可数集合说明：这个定理再次说明了可数集是无穷集合是“最小”的推论 1：从可数集A中除去一个有限集M ，则 A\M仍是可数集定理 4 设 A是可数集， M是有限集，则AM是可数集证： 因 A是可数集，所以可设A＝｛ a1，a2，, ， an，, ｝令 P＝且， 则的元素可排列成b1，b2，, ，br，a1，a2，, ，an，,因此，是可数集定理 5 两个可数集的并仍然是可数集证： 设 A＝ ｛ a1， a2，, ， an, ｝ ， B＝ ｛b1，b2， , ， bn，, ｝ 均是可数集 不妨设，即无公共元素，则的元素可以排列如下的无限序列形式：a1，b1，a2，b2，, ，an， bn，,由定理可知，是可数的推论 1 有限个可数集之并仍然是可数的〔或设A1，A2，, ，An（）都是可数集，则也是可数集〕证：因为 A1， A2，, ，An都是可数集，不失一般性可设它们是两两不相交且A1＝｛ a11，a12，, ，a1n, ｝A2＝｛ a21，a22，, ，a2n, ｝,,,,,,An＝｛ an1，an2，, ，ann, ｝则的全部元素可排成如下的序列a11，a21，, ，an1，a12， a22，, ，an2， a31，,由定理 1，是可数集。

推论 2 可数个有限集之并至多可数即若A1，A2，, ， An，, 是有限集合的无穷序列，则或为有限集，或为可数集推论 3 可数个可数集之并仍然是可数集即设A1，A2，, ， An，, 为可数集合的一个无穷序列，则是数集证：不妨设A1，A2，, ， An，, 是两两不相交的由于每个An是可数集，所以可设A1，A2，, 的全部元素可排成如下的无限表阵：,,,,,按表中箭头所指的方向对这些元素进行排列就得到了的全部元素的一个序列由定理可知，是可数集说明：若 A1， A2， , ， An， , 不是两两不相交的，则令 B1＝A，于是Φ, 再由上面的证明便得是可数集定理 6 全体有理数之集Q是可数集证： 因为因此只须证明是可数集即可我们知道，每个正有理数均可写成p/q 的形式，其中p 与 q 为自然数于是，，令，则是可数集，并且由定理可知，是可数集因此，Q是可数集推论 4 区间〔 0，1〕中的一切有理数之集是可数集1.4 代数数推论 5 整系数代数多项式的全体是一个可数集定义 5 整系数代数多项式的根称为代数数非代数数称为超越数 （超越了代数的能力）由于每个多项式仅有有限个根，而整系数代数多项式的全体之集又是可数的，所以有定理 7 代数数的全体是可数的。

1.5 无穷集合定理 8 设 M是一个无穷集，A是有限或可数集，则证： 因为 M是一个无穷集，所以由定理可知M必有一个可数子集D令 P＝M\D，则由 P～P，，得到定理 9 设 M是一个无穷不可数集，A是 M的至多可数子集（即A有穷或可数），则M ～M\A证： 因为 M是无穷不可数集，A至多可数，所以M\A 是无穷集由定理可知，，即 M\A~M 所以 M~M\A 说明 ：（1）此定理中M是无穷不可数集的假设可以改为M是无穷集且M\A也是无穷集2）由定理 3，推论 1以及定理8 得到，每个无穷集必与其自身的某个真子集对等，但有限集却没有此性质于是得到无穷集合的一个正面定义定义 6 凡能与自身的一个真子集对等的集合称为无穷集合，或无穷集合定理 10 设 N是自然数集合，则是可数集证：中元素可以排成如下形式：(1,1) (1,2) (1,3) ,(2,1) (2,2) (2,3) ,(3,1) (3,2) (3,3) ,（4,1) (4,2) (4,3) ,按上面箭头所指的方向排列这些元素，则这样排列后就在与自然数集合N之间建立了一个一一对应，从而是可数集。

推论 1：设 A和 B是可数集，则也是可数集合证： 设 A和Ｂ是可数集合，则有令，，容易验证，f是一个一一对应，所以是可数集推论 2 设 A1，A2，, ，An（）都是可数集，则A1× A2×, ×An也是可数集证：对ｎ施行归纳证明当ｎ＝ 2 时，由推论1 显然成立假设ｎ＝ｋ时，推论成立，往证当ｎ＝ｋ+1 时定理也成立为此令Ｄ=A1×A2×, ×Ak，则由归纳假设Ｄ是可数集再由ｎ＝2 时的证明： A1×A2×, ×Aｋ×Aｋ+1也是可数集，故A1×A2×, ×Aｋ×Aｋ+1是可数集，推论得证§2 连续统集在上节中讨论了无穷集中“最小的” 集－可数集的性质然而是否存在不可数的无穷集呢？下面的定理回答了这个问题2.1 不可数集的存在定理 1 区间〔 0，1〕中的所有实数构成的集合是不可数无穷集合证：区间〔 0，1〕中的每个实数，都可以写成十进制无限位小数形式0.a1a2a3, ，其中每个若其中某些数有两种表示形式，例如，约定每个有限位小数后均补以无限多0，这样每个小数都有唯一的十进制无穷位小数表示形式假设定理不成立，则〔 0，1〕中的全体实数之集是可数集于是〔0，1〕中的全体实数可排成一个无穷序列：a1，a2，a3，, ， an，, 。

每个 aｉ写成十进制无限小数形式排成下表,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,其中今构造一个新的小数ｂ，每个，其定义为可是，，由假设，ｂ又必与某个相等，这就得到矛盾所以，〔0，1〕中所有实数之集是不可数无穷集合说明： （1） 定理 1 的证明方法， 构造与 a1， a2， , ，an， , 每个均不相等的小数的方法称为“ cantor的对角线法”其基本思想 就是ｂ1, ｂ2, ｂ3,, 与表（1）中“对角线”上的元素a11，a22，a33，, 分别不相等，从而保证了ｂ与每个ａｉ不相等对角线法是一个重要的方法2）现在得到了另一种与自然数集合Ｎ不是一一对应的无穷集〔0，1〕，这是无穷集合的另一类型，以〔0，1〕作为这一类型的典型代表（标准），便得到如下定义2.2 连续统集的定义定义 1：凡与〔 0，1〕对等的集合称为具有“连续统的势”的集合，简称连续统例：设ａ与ｂ为实数且ａ＜ｂ，则区间〔ａ，ｂ〕中的一切实数之集 （仍记为 〔ａ，ｂ〕）是一个连续统证： 令不难证明是一个一一对应，从而～因此是连续统推论 1：（1）～～～（ 2）～～～（ 3）实数集合Ｒ是一个连续统证： 令，则f是一一对应。