数学初三基础知识+练习.pdf

1 一. 实数1、实数的概念实数的性质：①实数 a 的相反数是— a，实数 a 的倒数是 a1（a≠0） ；②实数 a 的绝对值：)0()0(0)0(aaaaaa③正数大于0，负数小于 0，两个负实数，绝对值大的反而小二次根式：①积与商的方根的运算性质：baab（a≥0，b≥0） ； baba（a≥0，b＞0） ；②二次根式的性质： )0()0(2aaaa aa近似数、有效数字和科学记数法2009 年 10 月 11 日，第十一届全运会将在美丽的泉城济南召开．奥体中心由体育场，体育馆、游泳馆、网球馆，综合服务楼三组建筑组成，呈“三足鼎立”、 “东荷西柳” 布局．建筑面积约为359800 平方米，请用科学记数法表示建筑面积是（保留三个有效数字） （）平方米A．35.9 ×105 B ．3.60 ×105C．3.5.9 ×105D．35.9 ×104 答案： B 实数的运算计算： （π－ 3）0－|5－3| ＋（－13）-2－5．解：原式＝ 1－3＋5＋9－5 ＝7 二 整式、分式、二次根式①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘， 底数不变， 指数相加，即nmnmaaa（m 、n 为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除， 底数不变， 指数相减，即nmnmaaa（a≠0，m 、n 为正整数， m>n ） ；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即nnnbaab )(（n 为正整数）；④零指数：10a（a≠0） ；⑤负整数指数： nnaa1（a≠0，n 为正整数）；⑥平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，即22))((bababa；⑦完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2 倍，即2222)(bababa；1. 分式①分式有意义：分母不为零②分式的值为零：分子为零且分母不为零分式的概念 ：当x时，分式12x没有意义．答案： 2 分式的运算1.分式111(1)aa a的计算结果是（）A ．11aB． 1aaC．1aD．1aa答案： C先化简：22422 6926aaaaa，再任选一个你喜欢的数代入求值． 解：2242 2 6926aaaaa2(2)(2)2(3) 2 (3)2aaaaa242633aaaa23a二次根式 ：在下列二次根式中，与a是同类二次根式的是（）A ．2a B．23aC．3aD．4a答案： C 三. 一次方程（组）1、方程的解例 1：已知关于x的方程432xm的解是xm，则m的值是 ______________。

答案： 2 2、解一元一次方程例 2：2(1)10x答案：解：（1）2210x21x∴12x3、二元一次方程组例方程组1y3x24y3x的解是（）A ． 1y1xB． 1y1xC． 2y2xD． 1y2x答案： B 例已知21xy是二元一次方程组71axbyaxby的解，则ab的值为（）A．1 B．－ 1 C． 2 D．3 答案： B 4、二元一次方程组的解法例解方程组123xyxy答案：2 yx O13蔬 菜 种 植 区前侧空地5、二元一次方程组与一次函数 例：用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（）A．203210xyxy，B．2103210xyxy，C．2103250xyxy，D．20210xyxy，答案： D四. 一元二次方程①一元二次方程02cbxax(a ≠ 0）的求根公式：)04( 2422 acb aacbbx②一元二次方程根的判别式：acb42叫做一元二次方程02cbxax（a≠0）的根的判别式：0方程有两个不相等的实数根；0方程有两个相等的实数根；0方程没有实数根；1、一元二次方程的概念例 1：请你写出一个有一根为1 的一元二次方程：．答案：答案不唯一，如21x例 2：若关于x的一元二次方程2(3)0xkxk的一个根是2，则另一个根是 ______．答案： 12、解一元二次方程例：解方程：2310xx．答案：解：131abc，，，224(3)41(1)13bac，1231331322xx，．例：解方程：2230xx答案：解：移项，得223xx，配方，得2 14x，∴12x，∴1213xx，．（注：此题还可用公式法，分解因式法求解）3、根的判别式例：已知关于x 的一元二次方程22xmx有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ( ) A ． m＞－ 1 B． m＜－ 2 C．m ≥0 D．m＜0 答案： A4、一元二次方程与二次函数例：已知二次函数22yxxm的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程220xxm的解为．答案：11x，23x；五、一元二次方程的应用 例 7： （2008 河北）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入， 2007 年投入 3 000 万元，预计 2009 年投入 5 000 万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面 所列方程正确的是（）A ．23 000(1)5 000xB．23 0005 000xC．23 000(1)5 000x％D ．23 000(1)3 000(1)5 000xx答案： A 例 8：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室， 要求长与宽的比为2 : 1．在温室内， 沿前侧内墙保留 3m 宽的空地，其它三侧内墙各保留 1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是2288m？答案：解法一：设矩形温室的宽为mx，则长为2 mx．根据题意，得(2) (24)288xx．解这个方程，得110x（不合题意，舍去） ，214x．所以14x，221428x．答：当矩形温室的长为28m，宽为 14m 时，蔬菜种植区域的面积是2288m．解法二：设矩形温室的长为mx，则宽为1m 2x．根据题意，得288)4(2 21 xx．·P（1，1）1 1 2 2 3 3 －1 －1 O xy3 解这个方程，得120x（不合题意，舍去） ，228x．所以28x，11 2814 22x．答：当矩形温室的长为28m，宽为 14m 时，蔬菜种植区域的面积是2288m六 .分式方程1、解分式方程例 1：解方程： 121xx（交叉相乘）解答：原方程变形得12xx∴1x经检验1x是原方程的根例 2、113 22xxx解答：3 2121xxx方程两边同乘(2)x，得1(1)3(2)xx．解这个方程，得2x．检验：当2x时，20x，所以2x是增根，原方程无解例 3、解方程220 11xxx解答：解：方程两边同乘(1)(1)xx，得2(1)0xx．解这个方程，得2x．检验：当2x时， (1)(1)0xx．所以2x是原方程的解．2、分式方程的解例 4：已知关于x 的方程3 22xmx的解是正数，则 m 的取值范围为_____________．解答：46mm或3、分式方程的应用例 6： “5·12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120 米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前 4 天开通了列车． 问原计划每天修多少米？某原计划每天修x米，所列方程正确的是（）A．1201204 5xxB．1201204 5xxC．120120 4 5xxD．120120 4 5xx解答： B 例：某工厂准备加工600 个零件，在加工了100 个零件后，采取了新技术， 使每天的工作效率是原来的2 倍，结果共用7 天完成了任务，求该厂原来每天加工多少个零件？解答：解：设该厂原来每天加工x 个零件，由题意得：7 2500100xx解得x=50 经检验： x=50 是原分式方程的解答：该厂原来每天加工50 个零件．七 .一元一次不等式（组）不等式的基本性质：①不等式两边都加上 （或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘以（或除以） 同一个正数， 不等号的方向不变；③不等式两边都乘以（或除以） 同一个负数， 不等号的方向 改变；1、不等式的性质 例 1：若xy，则下列式子错误的是（）A ．33xyB．33xyC．32xyD． 33xy解答： B 例2、据佛山日报报道，2009年6月1日佛山市最高气温是33℃，最低气温是 24℃，则当天佛山市气温t（℃）的变化范围是 () A ．33tB．24t ≤C．2433tD．2433t≤≤解答： D2、不等式的解集例 3：把不等式组110xx≤> 0,的解集表示在数轴上，正确的为图中的（）A．B．C．D．解答： B 3、不等式（组）的解法例 4：解不等式：32 2xx解答：1x例 5：解不等式组27163(1)5xxxx≥，①， ②并求出所有整数解的和．解答：解不等式①，得2x，解不等式②，得32x．4 O x y A B 1yx2 原不等式组的解集是32 2x≤．则原不等式组的整数解是21 0 1，，，．所有整数解的和是：2(1)012．4、不等式（组）的应用例 “六一”儿童节前夕，某消防队官兵了解到汶川地震灾区一帐篷小学的小朋友喜欢奥运福娃，就特意购买了一些送给这个小学的小朋友作为节日礼物．如果每班分10 套，那么余 5 套；如果前面的班级每个班分13 套，那么最后一个班级虽然分有福娃， 但不足 4 套． 问： 该小学有多少个班级？奥运福娃共有多少套？解答：解：设该小学有x个班， 则奥运福娃共有(105)x套．由题意，得10513(1)410513(1).xxxx，解之，得146 3x．x只能取整数，5x，此时10555x．答：该小学有5 个班级，共有奥运福娃55 套．八 .一次函数1.一次函数的概念:y=kx+b(k ≠ 0) k>0,一、三象限，上坡，y 随 x 的增大而增大b正二， b负四k0,一、三象限，下坡，y 随 x 的增大而减小k0 开口向上， a<0 开口向下对 称 轴x= ab2顶点坐标) 44, 2(2abacab最值当 x= ab2时，y有最小值当 x= ab2时，y有最大值增减性在对称轴左侧y 随 x的增大而减小y 随 x 的增大而增大在对称轴右侧y 随 x的增大而增大y 随 x的增大而减小khxay2顶点坐标（ h,k ） ，))((21xxxxayx y C O A B 5 a b M P N 1 2 3 yx O13例 1：已知函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0，c＞0 B．a＜0，c＜ 0 C．a＜0，c＞0 D．a＞0，c＜ 0 解答： D 例 2：二次函数21(4)5 2yx的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）A. 向上、直线x=4、 （4，5） B. 向上、直线x=-4、 （-4，5）C. 向上、直线 x=4、 （4，-5）D. 向下、直线x=-4、 （-4，5）解答： A 2、二次函数的增减性例 3： 已知二次函数cbxaxy2的图象过点A （1， 2） ，B（3，2） ，C（5，7） ．若点 M（-2，y1） ，N（-1，y2） ，K（8，y3）也在二次函数cbxaxy2的图象上，则下列结论正确的是（）A．y1＜y2＜yB．y2＜y1＜ y3C．y3＜y1＜ y2D ．y1＜y3＜y2解答： B 3、二次函数的最值例 4：函数 y=(x－2)(3－x)取得最大值时，x=______．解答：5 24、二次函数图象与坐标轴的交点例 5： 二次函数221yxx与 x 轴的交点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3 解答： B 5、二次函数的平移例 6：要得到二次函数222yxx的图象，需将2yx的图象（）A．向左平移2 个单位，再向下平移2 个单位B．向右平移2 个单位，再向上平移2 个单位C．向左平移1 个单位，再向上平移1 个单位D．向右平移1 个单位，再向下平移1 个单位解答： D 6、二次函数与一元二次方程例 7：已知二次函数22yxxm的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程220xxm的解为解答：11x，23x十一、图形的初步认识1、线段、射线、直线的性质例 1：如图，点 C 是线段 AB 上的点，点D 是线段 BC 的中。