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[研究生入学考试题库]考研数学一模拟85一、填空题问题:1. 直线的最短距离d=______．答案:[分析一] 公垂线的方向向量为 公垂线方程为 直线，L1的参数方程为x=3+2t，y=t，z=1； 直线L2的参数方程为x=-1+t，y=2，z=t． 将L1的参数方程代入公垂线方程得垂足；将L2的参数方程代入公垂线方程得垂足，所以L1与L2的最短距离 [分析二] 记M1(3，0，1)，M2(-1，2，0)，则，L1的方向向量s1={2，1，0}；L2的方向向量s2={1，0，1}； 问题:2.答案:[分析]问题:3.答案:问题:4.答案:问题:5.答案:问题:6.答案:[分析]二、选择题问题:1. 下列结论正确的是 答案:A[分析] 对于(A)：由得 故(A)正确． 对于(B)：例如函数f(x)=|x|，x0=0，则 但是，函数f(x)在点x0=0处并不可导．故(B)不正确． 对于(C)：例如函数则对任意的x，与x同为有理数或无理数，所以恒有，从而有 但是函数f(x)在(-∞，+∞)内处处间断，因而在任何一点都不可导．故(C)不正确． 对于(D)：因为当△x→0时，-△x或正或负，所以 而左导数为 故(D)不正确． 综上分析，应选(A)． 问题:2.答案:B问题:3.答案:D问题:4.答案:B问题:5.答案:D 问题:6.答案:B 问题:7.答案:B问题:8.答案:A三、解答题问题:1. 求过点(1，2，1)且与直线平行的平面方程．答案:设所求平面方程为A(x-1)+B(y-2)+C(z-1)=0，由于s1=={1，-2，-3}是L1的一个方向向量，是L2的一个方向向量，而根据 题意，所求平面的法向量n={A，B，C}与s1，s2都垂直，所以有 故所求平面方程为(x-1)-(y-2)+(z-1)=0． 问题:2. 设函数f(x)在x=1的某邻域内连续，且有 (Ⅰ)求f(1)及 (Ⅱ)求f'(1)，若又设f"(1)存在，求f"(1)； (Ⅲ)x=1是否是f(x)的极值点?若是，是极大值点还是极小值点? 答案: [分析与求解] (Ⅰ)由条件知 又在x=0的某空心邻域内f(x+1)+3sin2x≠0，现利用等价无穷小因子替换：当x→0时， ln[1+f(x+1)+3sin2x]～f(x+1)+3sin2x， (Ⅱ)方法1° 由在x=1的某邻域内可导 f"(1)=-2． 方法2° 用泰勒公式．先由一阶泰勒公式得 f'(1)=0． 当f"(1)存在时，可用二阶泰勒公式得 f"(1)=-2． (Ⅲ) 由及极限的不等式性质知，当0＜|x|＜δ时 即 f(x+1)＜0=f(1) x=1是f(x)的极大值点．[评注] 题(Ⅲ)是按定义判断函数f(x)在某点取极具值，不能用题(Ⅱ)的结论.因为在题(Ⅲ)中未假设f(x)在点x=0处二阶可导.若又假设f(x)在x=1处二阶可导，则就可用题(Ⅱ)的结论得知，f(x)在点x=1处取极大值. 问题:3. ．答案:问题:4. 答案: 问题:5. 计算I=[f(x,y,z)+x]dydz+[2f(x,y,z)+y]dzdx+[f(x，y，z)+z]dxdy，其中f(x，Y，z)为连续函数，∑是x-y+z=1在第四卦限部分的上侧．答案: [详解] ∑的单位法向量，则 其中Dxy={(x，y):0≤x≤1，x-1≤y≤0}．[分析] 将第二类曲面积分化成第一类曲而积分后，即可得解． [评注] 本题中的f(x，y，z)是虚设的，将第二类曲面积分转化成第一类曲面积分后就可以消去．如看不到这一点，就不知如何进行计算了． 6. 设α1，α2……，αn。

为n个n维线性无关的向量，且β与α1，α2，…，αn正交．证明：β=0；答案:令因为α1，α2，…，αn线性无关，所以r(A)=n．又因为α1，α2…，αn与β正交，所以Aβ=0，从而r(A)+r(β)≤n，注意到r(A)=n，于是r(β)=0，即β为零向量．7. 设α1，α2，…，αn-1为n-1个n维线性无关的向量，α1，α2，…，αn-1与非零向量β1，β2正交，证明：β1，β2线性相关．答案:方法一： 令因为α1，α2，…，αn-1线性无关，所以r(A)=n-1．又因为α1，α2，…，αn-1与β1，β2正交，所以AB=O，从而r(A)+r(B)≤n，注意到r(A)=n-1，所以r(B)≤1，即β1，β2线性相关． 方法二： 令因为α1，α2，…，αn-1线性无关，所以r(A)=n-1．因为α1，α2，…，αn-1与β1，β2正交，所以β1，β2为方程组AX=0的两个解，而方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以β1，β2线性相关． 设α=(1，1，-1)T是的一个特征值． 8. 确定参数a，b及特征向量所对应的特征值；答案: 9. 问A是否可以对角化?说明理由．答案:由|λE-A|=(λ+1)3=0，得λ=-1是三重特征值． 因为r(-E-A)=2，所以λ=-1对应的线性无关的特征向量只有一个，所以A不可以对角化． 问题:10. 设随机变量X的密度函数为f(x)，已知方差D(X)=1，而随机变量Y的密度函数为f(-y)，且X与Y的相关系数为-，记Z=X+Y． (Ⅰ)求E(Z)，D(Z)的值； (Ⅱ)用切比雪夫不等式估计P(|Z|≥2)． 答案: (Ⅰ) 令y=-x，则 所以 E(Z)=0． 已知D(X)=1，D(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2=E(Y2)-[-E(X)]2， 而 所以D(Y)=E(Y2)-[-E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2=D(X)=1． D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X，Y) ，即D(Z)=1.5． (Ⅱ)[分析] 函数f(x)与f(-x)的图形关于y轴对称，故X与Y的数学期望也应关于y轴对称，即E(X)=-E(Y)．f(x)与f(-x)反映随机变量离散程度的方差是一致的，即D(X)=D(Y)． 切比雪夫不等式为 问题:11. 若f(x)二阶可导，且，试证： (Ⅰ) 存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=0； (Ⅱ) 存在η∈(0，1)，使得f"(η)-f(η)=0． 答案: 由于，根据极限的保号性定理，存在δ＞0，当x∈(0，δ)时，恒有，从而存在c∈(0，δ)，使得f(C)＞0． 可得：存在1＞d＞c，使得f(d)＜0． 对f(x)在[c，d]上使用零点定理可得：存在，使得f(ξ)=0． (Ⅱ) 欲证结论 因此可构造辅助函数F(x)=ex[f'(x)-f(x)]，这样只需找到ξ1。

ξ2∈(0，1)，使得 f'(ξi)=f(ξi)(i=1，2)． 由于，所以f(0)=0；又由可得f(1)=0． 令g(x)=e-xf(x)，对g(x)分别在区间[0，ξ]，[ξ，1]上使用罗尔中值定理可得：存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，1)，使得g'(ξ1)=0，g'(ξ2)=0，从而f'(ξi)=f(ξi)(i=1，2)． 对F(x)=ex[f'(x)-f(x)]在区间[ξ1，ξ2]上使用罗尔定理可得：存在，使得F'(η)=0，即f"(η)-f(η)=0．。