第七章 非线性控制系统分析.doc

《自动控制原理》 电子教案第七章 非线性控制系统分析[教学目的] 1、理解非线性的含义 2、掌握典型非线性环节的特性 3、理解极限环的含义 4、掌握应用相平面法绘制相轨迹 ５、掌握应用描述函数法计算自持振荡的频率和振幅以及系统稳定性分析[主要内容]1、典型非线性环节的特性描述2、应用相平面法绘制相轨迹3、应用描述函数法计算自持振荡的频率和振幅以及系统稳定性分析7.1 引言 实际上，大多数控制系统，严格地说均不属于线性系统，而用现行方法来研究这类系统往往只能是近似的因此，有必要进一步研究分析设计这类系统的有效方法所谓非线性是指元件或环节的静特性不是按线性规律变换而言；如果控制系统包含一个或一个以上具有非线性静特性的元件或环节，则称这类系统为非线性系统下面介绍典型非线性特性1.饱和特性图中为非线性元件的输入信号，为非线性元件的输出信号，其数学表达式为式中 ——线性区宽度；——线性区特性的斜率；符号函数为2.死区特性图中为非线性元件的输入信号，为非线性元件的输出信号，其数学表达式为式中 ——死区宽度； ——线性输出的斜率；3．间隙特性图中为非线性元件的输入信号，为非线性元件的输出信号，其数学表达式为——间隙宽度； ——间隙特性斜率；4．继电器特性图中为非线性元件的输入信号，为非线性元件的输出信号，其数学表达式为——继电器吸上电压; ——继电器释放电压; ——饱和输出5．变增益特性图中为非线性元件的输入信号，为非线性元件的输出信号，其数学表达式为——变增益特性斜率; ——切换点7.2 相平面法 相平面法是状态空间法在二维空间特殊情况下的应用。

它是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准确方法相平面设二阶系统有微分方程来描述，其中 为 和 的线性函数或非线性函数上式所示系统的时间解可用 与 的关系图来表示，也可以 为参变量，用 和 的关系图来表示在通过 和 表示系统运动状态的情况下，如果用 和 作为平面上的直角坐标轴，则系统在每一时刻上的运动状态都对应上述平面中的一个点当时间 变化时，该点在 平面上便描绘出一条表征系统状态变化过程的根轨迹， 平面称为相平面在相平面上，由一簇相轨迹构成的图象，称为相平面图在一些情况下，相平面图对称于 轴、 轴或同时对称于 轴和 轴 奇点设描述二阶系统自由运动的线性微分方程为分别取 和 为相平面的横坐标与纵坐标，并将上列方程改写成上式代表描述二阶系统自由运动的相轨迹各点处的斜率从式中看出在 及 ，即坐标原点(0,0)处的斜率 这说明，相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值的确定，相平面上的这类点成为奇点由于在奇点处的速度和加速度都为零，故奇点与系统的平衡状态相对应奇点的类型无阻尼运动形式( )对应的奇点是中心点；欠阻尼运动形式 ( )对应的奇点是稳定焦点；过阻尼运动形式( )对应的奇点是稳定节点；负阻尼运动形式( )对应的奇点是不稳定焦点；负阻尼运动形式( )对应的奇点是不稳定节点；描述的二阶系统的奇点(0,0)称为鞍点，代表不稳定的平衡状态。

7.3非线性系统的相平面分析一般非线性系统可用分段线性微分方程来描述在相平面的不同区域内，代表该非线性系统运动规律和微分方程是线性的，因而每个区域内的相轨迹都是线性系统的相轨迹，仅在不同区域的边界上相轨迹要发生转换区域的边界线称为开关线或转换线因此，一般非线性系统相轨迹，实际上就是分段线性系统相轨迹用相平面法分析非线性系统的一般步骤为：1. 将非线性特性用分段的直线特性来表示，写出相应线段的数学表达式2. 首先在相平面上选择合适的坐标，一般常用误差 及其导数分别为横坐标及纵坐标然后将相平面根据非线性特性分成若干区域使非线性特性在每个区域内都呈线性特性3. 确定每个区域的起点类别和在相平面上的位置要注意，在一些情况下奇点与输入信号的形式及大小有关4. 在各个区域内分别画出各自的相轨迹5. 将相邻区域的相轨迹，根据在相邻两区分界线上的点对于相邻两区具有相同工作状态的原则连接起来，便得到整个非线性系统的相轨迹6. 基于该相轨迹，全面分析二阶非线性系统的动态及稳态特性含饱和特性的非线性系统分析 设含饱和非线性特性的非线性系统方框图如图所示，试绘制当输入信号为(=常值)时的相轨迹分析：其中饱和特性的数学表达式为： 描述系统运动过程的微分方程为 由上列方程组写出以误差e为输出变量的系统运动方程为其中变量x与误差e的关系见饱和特性的数学表达式.解：在这种情况下，由于在t>0时有 ，故系统运动方程可写成根据饱和非线性特性，相平面可分为三个区域，即Ⅰ区( )、Ⅱ区 及Ⅲ区( ) 非线性系统工作在Ⅰ区，即线性区时的运动方程为 将 代入运动方程，求得Ⅰ区相轨迹的斜率方程为 以 及 代入上式，得到这说明相平面 的原点(0，0)为I区相轨迹的奇点，该奇点因位于I区内，故为实奇点。

若 ，则系统在I区工作于欠阻尼状态，这时的奇点(0，0)为稳定焦点，若则系统在I区工作于过阻尼状态，这时的奇点(0，0)为稳定节点非线性系统工作在II、III区，即非线性特性的饱和区时的运动方程为求得II、III区相轨迹的斜率方程为若记 ，则分别求得II、III区的等倾线方程为应用等倾线法，在相平面图的II、III区分别绘制的一簇相轨迹如图所示其中直线 (II区) (III区)分别为II、III区内 的等倾线绘制在阶跃输入信号下含饱和特性的非线性系统的完整相轨迹图，其中相轨迹的初始点由来确定若 及 的情况整个绘制过程的曲线如下图所示7.4 描述函数法 非线性特性的描述函数表示法，是线性部件频率特性法在非线性特性中的推广，它是对非线性特性在正弦信号作用下的输出进行谐波线性处理之后得到的这是非线性特性的一种近似描述，表达形式上类似线性理论中的幅相频率特性描述函数法是分析系统稳定性和自激振荡的常用方法，其要点是用一次基波分量代替非线性特性输出的总体，而忽略所有高于一阶的谐波分量在一定的条件下，这种忽略具有一定的合理性谐波线性化系统中常见的非线性特性，当输入 为正弦函数时，输出一般为同周期的非正弦函数。

设 ，则 输出 可用傅氏级数来表达如果非线性特性是奇对称的，则输出的基波分量为谐波线性化处理的方法是：以输出的基波分量 近似代替整个输出 这意味着一个非线性元部件在正弦输入下，其输出也是一个同频率的正弦量，只是幅值和相位发生了变化这与线性元部件在正弦信号作用下的输出具有形式上的相似性，故称上述处理方法为谐波线性化描述函数的定义非线性特性在进行谐波线性化之后，仿照线性系统幅相频率特性的定义，可建立非线性特性的等效幅频特性，即描述函数描述函数 定义为非线性特性输出的基波分量与输入正弦量的复数比，即 上式中, 为输入正弦量 的幅值. , 为输出正弦量中基波分量（一次谐波）的傅氏系数：一般情况下，描述函数 是一个与输入信号幅值 和频率 有关的复数量但对于大多数非线性元件，其描述函数仅是 的函数，记为 尽管描述函数是非线性特性经过以傅氏级数为数学基础的谐波线性化处理之后得到的，但本质上不同于以泰勒级数为数学基础的小扰动线性化，不同于线性部件因为线性元部件的频率特性是和输入正弦量的幅值毫不相干的可见，描述函数的建立只是形式上借用了线性系统的频率响应的概念，实质上仍然保留了非线性的基本特征。

7.5非线性系统的描述函数分析应用描述函数法分析非线性系统主要包括判断系统是否稳定，是否产生自持振荡，确定自持振荡的振幅与频率，以及对系统进行校正以消除自持振荡等内容这里重点分析如何确定自持振荡的振幅与频率自持振荡设非线性系统经过变换和归化，可表示为非线性部分与线性部分 相串联的典型反馈结构如图所示从图中可写出非线性系统经谐波线性化处理线性化系统的闭环频率响应为由上式求得图中所示非线性系统特征方程为，还可写成其中 称为非线性特性的负倒描述函数若有使上式成立，便有 或 ，对应着一个正弦周期运动若系统扰动后，上述周期运动经过一段时间，振幅仍能恢复为 ，则具有这种性质的周期运动，称为自激振荡可见自激振荡就是一种振幅能自动恢复的周期运动周期运动解 可由特征方程式求得，亦可通过图解法获得由等式在复数平面上分别绘制 曲线和 曲线两曲线的交点对应的参数 即为周期运动解有几个交点就有几个周期运动解至于该解是否对应着自激振荡状态，取决于非线性系统稳定性分析设含饱和特性的系统方框图如图所示，其中饱和特性的参数为 =1、k=2.试求取开环增益K=15时自持振荡的振幅 与角频率 ，并计算使系统不产生自持振荡时开环增益K的最大值。

解：(a) 在k=2情况下，饱和特性的负倒描述函数曲线—1/N（A）为Nyquist图中负实轴上-1/2~-∞区段若K=15时的线性部分频率响应 与-1/N（A）的交点来确定为此，首先由解出曲线 穿越Nyquist图负实轴处的角频率 将 代入求得 因为 ，证实了曲线 在-1/2~-∞区段内穿越Nyquist图负实轴所以给定系统有自持振荡存在，其角频率等于曲线 与-1/N（A）相交处的角频率，即 = 其次由 求解自持振荡振幅 ，即由解出 =2.47b) 由于曲线 通过点（-1/2，j0）表明在给定系统中出现自持振荡的临界状态，故使给定系统不产生自持振荡的开环增益最大值或临界值 可由来确定，即由解出 在Nyquist图上绘制的给定系统线性部分频率响应 与饱和特性负倒描述函数曲线 如图所示 稳定性分析所谓非线性系统是稳定的，是指非线性系统在受到扰动后，能够恢复原来的平衡位置说非线性系统是不稳定的是指非线性系统受到扰动后，其输出将增大，不能恢复原来的平衡位置介于稳定与不稳定之间的状态，称为临界状态周期运动解就是一种临界状态，对照线性系统中奈魁斯特稳定判据知， 相当于线性系统稳定性分析时复平面上的 点地位。

所以，非线性系统中的临界点为 曲线在描述函数法中，可用系统中线性部分的频率特性 和临界点轨迹 的相对位置来判断非线性系统的稳定性用Nyquist稳定判据判断非线性系统稳定性和确定系统是否存在自激振荡状态设线性部分传递函数 的正极点个数为 1. 若 曲线与 曲线没交点则系统不存在周期运动解若 曲线逆时针包围整个 曲线 圈，则该非线性系统是稳定的，否则是不稳定的2. 若 曲线与 曲线有交点，则非线性系统处于临界状态，对应着系统存在着近似于正弦的周期运动解 交点处的参数 分别为周期运动解的振幅和频率若该周期运动是稳定的，则系统出现自激振荡3. 为判断系统是否存在自激振荡（即判断有无稳定的周期运动解），只需要在 曲线上，在 和 交点邻近 增大方向一侧取一点，由坐标原点过该点 作一直线， 曲线在该点以远，正负穿越此直线的次数差 ，则该交点对应了系统的一个自振状态，相应的周期运动解是稳定的否则就不是自振状态，只是一个不稳定的周期运动解4. 如果中没有正极点，即 此时，上述结论要简单一些设 ，若 不包围 曲线，则非线性系统稳定；若 曲线包围 曲线，则非线性系统不稳定若 曲线和 曲线相交，则系统存在周期运动；若交点处 轨迹向 轨迹包围的区。