第八章 回归方程的函数形式.docx

第八章 回归方程的函数形式 第八章 回来方程的函数形式回忆参数线性模型和变量线性模型〔见5.4〕我们所关注的是参数线性模型，而并不要求变量Y与X必须是线性的在参数线性回来模型的限制下，回来模型的形式也有多种 我们将特殊探讨下面几种形式的回来模型： (1) 对数线性模型(不变弹性模型) (2) 半对数模型 (3) 双曲函数模型 (4) 多项式回来模型上述模型的都是参数线性模型，但变量却不必须是线性的8.1 三变量线性回来模型以糖炒栗子需求为例，此时此刻考虑如下需求函数：Y =AXiB2 ( 8 - 1 ) 此处变量Xi是非线性的但可将式( 8 - 1 )做恒等变换表示成另一种形式： lnYi= lnA+B2lnXi ( 8 - 2 )其中，ln表示自然对数，即以e为底的对数；令 B1= lnA ( 8 - 3 )可以将式( 8 - 2 )写为：lnYi = B1 + B2lnXi ( 8 - 4 )参加随机误差项，可将模型( 8 - 4 )写为：lnYi = B1+B2lnXi+ui ( 8 - 5 )( 8 - 5 )是一个线性模型，因为参数B1和B2是以线性形式进入模型的；形如式( 8 - 5 )的模型称为双对数模型或对数-线性( log-linear )模型。

一个非线性模型可以通过适当的变换转变为线性(参数之间)模型的： 令 Yi* = lnYi ,Xi* = lnXi 那么( 8 - 5 )可写为：Yi* = B1 + B2 Xi* + ui ( 8 - 6 )这与前面探讨的模型相像：它不仅是参数线性的，而且变形后的变量Y*与X*之间也是线性的假如模型( 8 - 6 )满意古典线性回来模型的根本假定，那么很简单用平凡最小二乘法来估计它，得到的估计量是最优线性无偏估计量 双对数模型(对数线性模型)的应用特别广泛，缘由在于它有一个特性：斜率B2度量了Y对X的弹性假如Y代表了商品的需求量，X代表了单位价格，?Y代表 1 Y的一个小的变动，?X代表X的一个小的变动〔?Y/?X是dY/dX的近似〕，E是需求的价格弹性，定义弹性E为：E= ?Y101/Y ?X101 / X= ?Y X ?X YY=斜率×X ( 8 - 7 ) 对于变形的模型〔8 - 6〕 B2= ?Y? ??lnY?X? ?lnX? ?Y/Y ?Y X??X/X ?X Y可得B2是Y对X的弹性因为?lnYdlnY1???YdYY?Y?lnY?Y所以对数形式的变更量就是相对变更量：?图8 - 1 a描绘了函数式( 8 - 1 )，图8 - 2 b是对式( 8 - 1 )做对数变形后的图形。

图8 - 1 b中的直线的斜率就是价格弹性的估计值(－B2) 2由于回来线是一条直线(Y和X都采纳对数形式)，所以它的斜率(－B2)为一常数；又由于斜率等于其弹性：所以弹性为一常数—它与X的取值无关由于这个特别的性质，双对数模型(对数线性模型)又称为不变弹性模型例8.1 对炒栗子的需求 回忆炒栗子一例的散点图，不难发觉需求量和价格之间是近似线性关系的，因为并非全部的样本点都恰好落在直线上假如用对数线性模型拟合表8-1给出的数据，状况又会怎样？ OLS回来结果如下：ln Yi = 3.9617 - 0.2273lnXise = (0.0416) (0.0250) ( 8 - 8 ) t = (95.233) -(9.0880) r 2 = 0.9116可知价格弹性约为－0.23，说明价格提高1个百分点，平均而言需求量将下降0.23个百分点截距值3.96表示了lnX为零时，lnY的平均值，没有什么详细的经济含义 r2=0.9166，表示logX说明了变量logY91%的变动对数线性模型的假设检验线性模型与对数线性模型的假设检验并没有什么不同在随机误差项听从正态分布(均值为0，方差为假如用?22)的假定下，每一个估计的回来系数均听从正态分布。

的无偏估计量S2代替，那么每一个估计的回来系数听从自由度为(n－k)的t分布，其中k为包括截距在内的参数的个数在双变量模型中，k为2，在三变量模型中，k为3，等等依据式( 8 - 8 )的回来结果，很简单检验每一个估计的参数在5%的显著水平下，都显著不为零，t值分别为9.08(b2)，95.26(b1)，均超过了t临界值2.306 (自由度为8，双边检验) 3 8.3 多元对数线性回来模型双变量对数线性回来模型很简单推广到模型中说明变量不止一个的情形例如，可将三变量对数模型表示如下：lnYi= B1+ B2lnX2i+ B3lnX3i+ ui ( 8 - 9 )偏斜率系数B2、B3又称为偏弹性系数B2是Y对X2的弹性(X3保持不变)，即在X3为常量时，X2每变动1%，Y改变的百分比由于此时X3为常量，所以称此弹性为偏弹性类似地，B3是Y对X3的(偏)弹性(X2保持不变)简而言之，在多元对数线性模型中，每一个偏斜率系数度量了在其他变量保持不变的条件下，应变量对某一说明变量的偏弹性 例8.2 柯布-道格拉斯生产函数 模型( 8 - 9)是闻名的柯布-道格拉斯生产函数(Cobb-Douglas production function)(C-D函数, Y=B1X2B2X3B3)。

令Y表示产出，X2表示劳动投入，X3表示资本投入，式( 8 -9 )反映了产出与劳动力、资本投入之间的关系表8 - 2给出1955～1974年间墨西哥的产出Y，用国内生产总值GDP度量，劳动投入X2，以及资本投入X3的数据得到如下回来结果1：lnYt = -1.6524 + 0.3397 lnX2t + 0.8640 lnX3tse= (0.6062) (0.1857) (0.09343) (8-10) t = (-2.73) (1.83) (9.06) p= (0.014) (0.085) ( 0.000 ) R2 = 0.1014 4 偏斜率系数0.3397表示产出对劳动投入的弹性，即在资本投入保持不变的条件下，劳动投入每增加一个百分点，平均产出将增加3 4%类似地，在劳动投入保持不变的条件下，资本投入每增加一个百分点，产出将平均增加0.85个百分点将两个弹性系数相加，得到一个重要的经济参数—规模酬报参数(returns to scaleparameter)，它反映了产出对投入的比例变动假如两个弹性系数之和为1，那么称规模酬报不变(例如，同时增加劳动和资本为原来的两倍，那么产出也是原来的两倍)；假如弹性系数之和大于1，那么称规模酬报递增(increasing returns to scale)。

假如弹性系数之和小于1，那么称规模酬报递减(decreasing returns to scale)本例中，两个弹性系数之和为1.185 7，说明当时墨西哥经济是规模酬报递增的 R2值为0.1015，说明(对数)劳动力和资本说明了大约101.5%的(对数)产出的变动，说明了模型很好地拟合了样本数据8.4 半对数模型：被说明变量是对数形式用来测量被说明变量的增长率〔相对变动率〕例8.4 美国消费信贷的增长率表8 - 3给出了美国1973～11017年间消费者信贷的数据现求此期间信贷的增长率(Y) 复利计算公式：Yt= Y0 ( 1+ r) t ( 8 - 11 ) 其中，Y0—Y的初始值Yt—第t期的Y值r—Y的增长率(复利率) 将式( 8 - 11 )两边取对数，得： lnYt= lnY0 + tln(1+r) 令B1= lnY0 B2=ln(1+r) 可得lnYt=B1+B2t引进随机误差项，得：lnYt=B1+B2t+ut ( 8 - 12 ) 用平凡最小二乘法来估计模型，得到如下回来结果： 5 lnYt = 12.007 + 0.094 6t se = (0.0319) (0.0035) t = (376.40) (26.03) R2 = 0.10124形如式( 8 - 12 )的回来模型称为半对数模型，因为仅有一个变量以对数形式出现。

斜率0.0946表示Y的年增长率为9.46%，因为，在诸如式(8-12)的半对数模型中，斜率度量了给定说明变量的肯定改变所引起的Y的比例变动或相对变动将此相对变更量乘以101，就得到增长率利用微分，可以证明：B2 =dYdlnY1dYdt??dtYdtY 8.5 线性对数模型：说明变量是对数形式度量说明变量每变动1%所引起的被说明变量的肯定变更量例8.5 美国GNP与货币供应假定联储很关注货币供应的变动对GNP的影响表8 - 4给出了GNP和货币供应(用M2度量)的数据考虑下面模型：Yt=B1+B2lnX2t+ut ( 8 - 13 ) 其中，Y=GNP，X=货币供应用微分，可以证明：dY1?B2 dXXdYdY ( 8 - 14 ) B2?X?dX(dX)X=Y的肯定改变量 X的相对改变量因此，模型( 8 - 13 )中的斜率系数度量了Y的肯定改变量和X的相对改变量的比值假设乘以101，那么式( 8 - 14 )给出了X每变动一个百分点引起的Y的肯定变动量回来结果：Yt = -16329.0 + 2584.8lnXt t = (-23.494) (27.549) R2= 0.10132发觉货币供应每增加一个百分点，平均而言，GNP将增加25.84亿美元。

6 形如式( 8 - 13 )的线性对数模型常用于探究说明变量每变动1%，相应应变量的肯定改变量的情形当然，模型可以有不止一个的对数形式的说明变量每一个偏斜率系数度量了在其他变量保持不变的条件下，某一给定变量X每变动1%所引起的应变量的肯定变更量 8.6 双曲函数模型形如下式的模型称为双曲函数模型：1Yi = B1 + B2〔〕+ ui ( 8 - 15 )Xi该模型变量之间是非线性，因为X以倒数形式进入模型的，但模型是参数线性模型 模型的显著特征是，随着X的无限增大，(1/Xi)将接近于零，Y将渐渐接近B1渐进值或极值 双曲函数模型的一些可能的形态： 平均固定本钱假设Y表示生产的平均固定本钱( A F C )，也即总固定本钱除以产出，X代表产出，那么随着产出的不断增加，AFC将渐渐降低，最终接近其渐进线(X=B1) 7 菲利普斯曲线(Philips curve)工资的改变对失业水平的反映是不对称的：失业率每改变一个单位，那么在失业率低于自然失业率UN水平常的工资上升的比在当失业率在自然失业率水平以上时快。

B1说明了渐进线的位置菲利普斯曲线这条特别的性质可能是由于制度的因素，比方工会交易势力、最少工资、失业保险等等。