九年级数学(上册)知识详解-2.doc

九年级数学（上册）知识详解 第一章：证明（二）§1.1 你能证明它们吗本节知识以三角形全等的判定公理为基础来讲解等腰三角形的性质定理和判定定理，以及等边三角形的性质定理和判定定理.对于这一部分内容，我们应该抓住它们性质定理和判定定理的条件，在应用时一定要先找出定理的所有条件，才能下结论.同时，我们还应该知道每一个定理的用途，知道它们的功能，这样，我们在应用时就会做到有的放矢.一、学习目标要求1、正确理解证明的必要性；2、掌握等腰三角形的性质定理和判定定理，并会灵活应用；3、掌握等边三角形的性质定理和判定定理，并会灵活应用.二、重点与难点：重点：等腰三角形的性质定理和判定定理的理解和应用；等边三角形的性质定理和判定定理的理解和应用.难点：灵活应用等腰三角形、等边三角形的性质定理和判定定理，对等腰三角形顶角是锐角、钝角的分类讨论.三、预备知识1、四个公理及一个推论（1）四个公理①三边对应相等的两个三角形全等.（SSS）②两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.（SAS）③两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.（ASA）④全等三角形的对应边相等，对应角相等.（2）一个推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS）2、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形叫等腰三角形；三条边都相等的三角形叫等边三角形.四、知识要点详解1、等腰三角形的性质定理及推论（1）定理：等腰三角形的两个底角相等.（简称为“等边对等角”）①定理的文字解释：如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；②定理的数学解释：已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＝∠C.（2）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.①推论的文字解释：等腰三角形的这一推论也称为“三线合一”，即三线中知其一必可得另二.②推论的数学解释：已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，则：如果AD平分∠BAC，那么AD⊥BC，BD＝CD； 如果AD⊥BC，那么AD平分∠BAC，BD＝CD； 如果BD＝CD，那么AD平分∠BAC，AD⊥BC.2、等腰三角形的判定定理（1）定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. （简称为“等角对等边”）①定理的文字解释：如果一个三角形的两个内角相等，那么这个三角形是等腰三角形；②定理的数学解释：已知：如图3，在△ABC中，∠B＝∠C，求证：AB＝AC.3、等边三角形的性质（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60°；（2）等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴.4、等边三角形的判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；（3）有两个角都等于60°的三角形是等边三角形；（4）三个角都相等的三角形是等边三角形.5、两个重要定理（1）在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.（2）在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于30°.（3）定理与推论的数学解释：已知：如图4，在△ABC中，∠C＝90°，则：如果AB＝2BC，那么∠A＝30°；如果∠A＝30°，那么AB＝2BC.6、反证法（1）反证法的定义：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出了矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种方法可称为反证法.（2）反证法证题的三个步骤：第一步：假设命题的结论不成立；第二步：从假设出发，推导出与公理、定理、定义、已知等相矛盾的结论；第三步：由矛盾可知假设不正确，从而肯定原结论成立.五、典型例题解析例1、已知在等腰△ABC中，∠A＝66°，求∠B的度数.解：∠B的度数为57°、66°或48°.分三种情况来考虑：若∠A是该等腰三角形的顶角，则∠B＝∠C＝（180°－66°）÷2＝57°；若∠A是该等腰三角形的底角，∠B也是底角，则∠B＝∠A＝66°；若∠A是该等腰三角形的底角，∠B是顶角，则∠B＝180°－（66°＋66°）＝48°.例2、如图5，在△ABC中，AB＝AC，O为△ABC内一点，且OB＝OC，求证：AO⊥BC.证明：延长AO交BC于点D，∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，∴△ABO≌△ACO，∴∠BAO＝∠CAO，即∠BAD＝∠CAD，∴AD⊥BC，即AO⊥BC.例3、如图6，已知在△ABC中，AB＝AC＝BC，D、E分别在边BC、BA的延长线上，如果AE＝BD，求证：CE＝DE.证明：过E作EF⊥CD于点F，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BEF＝30°，∴BE＝2BF，即BA＋AE＝BC＋BD＝2BC＋CD＝2（BC＋CF），∴CD＝2CF， ∴CF＝DF，在△CEF和△DEF中，CF＝DF，∠CFE＝∠DFE＝90°，EF＝EF，∴△CEF≌△DEF，∴CE＝DE.。