二次函数和一元二次方程-辅导讲义.docx

学习必备 欢迎下载讲 义 内 容学问概括 学问点一：一元二次方程 ax2+bx+c=0〔a≠0〕 的解的情形等价于抛物线 y=ax2+bx+c〔c ≠0〕 与直线 y=0〔 即 x轴〕 的公共点的个数；抛物线 y=ax2+bx+c〔a ≠ 0〕 与 x 轴的公共点有三种情形：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：2 2(1) 抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴有两个公共点 〔x 1，0〕〔x 2，0〕 一元二次方程 ax +bx+c=0 有两个2不等实根 △ =b -4ac>0 ；(2) 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴只有一个公共点时， 此公共点即为顶点 一元二次方程2ax +bx+c=0 有两个相等实根，(3) 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴没有公共点 一元二次方程 ax2+bx+c=0 没有实数根 △=b2 -4ac<0.(4) 事实上，抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=h 的公共点情形 方程 ax2 +bx+c=h 的根的情形；2 2抛物线 y=ax +bx+c 与直线 y=mx+n的公共点情形 方程 ax +bx+c=mx+n的根的情形；方法总结：⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 依据图象的位置判定二次函数y ax2bx c 中a ， b ， c 的符号，或由二次函数中 a ， b ， c 的符号判定图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称， 可利用这一性质， 求和已知一点对称的点坐标， 或已知与 x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标 .⑸ 与二次函数有关的仍有二次三项式， 二次三项式ax 2bx c〔a0) 本身就是所含字母 x 的二次函数；下面以 a 0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0 抛物线与 x 轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0 抛物线与 x 轴只有一个交点0 抛物线与 x 轴无交点二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根 .学习必备 欢迎下载题型一 求字母系数的取值范畴【例 1】如二次函数 y2〔k1) x24kx2〔k1〕 的图象与 x 轴有两个交点，求 k 的取值范畴；练习 1：已知：关于 x 的函数 ykx27x 7 的图象与 x 轴总有交点，求 k 的取值范畴？练习 2：已知抛物线 y x23 2kx k （k 为常数，且 k＞ 0）．证明：此抛物线与 x 轴总有两个交点；4练习 3：已知关于 x 的二次函数 y＝x2－（ 2m－ 1） x＋ m2＋3m＋4.探究 m满意什么条件时，二次函数 y 的图象与 x 轴的交点的个数 .题型二 一次函数图象和二次函数图象的交点问题【例 2】已知抛物线 C经过（ -5 ，0），（0， 5 ），（1，6）三点, 直线 l 的函数表达式为 y22 x 3 ；（1）求抛物线的表达式；（2）证明抛物线 C与直线 l 无交点；（3）如与 l 平行的直线y 2xm 与抛物线 C只有一个公共点 P，求点 P 的坐标；学习必备 欢迎下载2练习 1：已知二次函数 y=﹣x +bx+c 的图象如下列图，它与 x 轴的一个交点坐标为（﹣ 1，0），与 y轴的交点坐标为（ 0， 3）．（1）求出 b，c 的值，并写出此二次函数的解析式；（2）依据图象，写出函数值 y 为正数时，自变量 x 的取值范畴．题型三 关于二次函数图象交点的综合问题【例 3】已知抛物线y x2 kx3 k 2 （k 为常数，且 k＞0）．4（1）证明：此抛物线与 x 轴总有两个交点；（2）设抛物线与 x 轴交于 M、N 两点，如这两点到原点的距离分别为 OM、ON，且 1 1 2 ，求 k 的值．ON OM 3练习 1：抛物线y x2bx c 的部分图象如下列图，就方程x 2 bx c0 的两根为 .练习 2：以下命题：①如a b c0 ，就 b2 4ac 0 ；②如 b a c ，就一元二次方程ax 2bx c0 有两个不相等的实数根；③如 b2a 3c ，就一元二次方程ax2bx c0 有两个不相等的实数根；④如 b 2 4ac0 ，就二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是 2 或 3.其中正确选项（ ）．Ａ. 只有①②③Ｂ．只有①③④Ｃ．只有①④Ｄ．只有②学习必备 欢迎下载2【例 4】已知二次函数 y=x +bx﹣ c 的图象与 x 轴两交点的坐标分别为（ m，0），（﹣ 3m，0）（m≠0）．（1）证明 4c=3b2；（2）如该函数图象的对称轴为直线 x=1，试求二次函数的最小值．2练习：已知关于 x 的方程 mx﹣（ 3m﹣ 1） x+2m﹣ 2=0．（1）求证：无论 m取任何实数时，方程恒有实数根；（2）如关于 x 的二次函数 y=mx2﹣（ 3m﹣1） x+2m﹣ 2 的图象与 x 轴两交点间的距离为 2 时，求抛物线的解析式；（3）在直角坐标系 xoy 中，画出（ 2）中的函数图象，结合图象回答疑题：当直线 y=x+b 与（ 2）中的函数图象只有两个交点时，求 b 的取值范畴．。